冀教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)26.3 解直角三角形 素養(yǎng)提升練（含解析）

第第頁(yè)冀教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)26.3解直角三角形素養(yǎng)提升練（含解析）第二十六章解直角三角形

26.3解直角三角形

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練

知識(shí)點(diǎn)1直角三角形中的數(shù)量關(guān)系

1.(2022廣西北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū)中考)如圖,某博物館大廳電梯的截面圖中,AB的長(zhǎng)為12米,AB與AC的夾角為α,則高BC是()

A.12sinα米B.12cosα米

C.米

2.【新獨(dú)家原創(chuàng)】如圖,京杭大運(yùn)河滄州段改造工程中,為測(cè)量某段運(yùn)河兩岸A,B兩點(diǎn)間的距離,嘉琪發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B在點(diǎn)A的正南方向,嘉琪自點(diǎn)B出發(fā),向東走50m到達(dá)點(diǎn)C,若∠ACB=37°,則該處河寬AB約

為m.參考數(shù)據(jù):sin37°≈,cos37°≈,tan37°≈

知識(shí)點(diǎn)2解直角三角形

3.【新獨(dú)家原創(chuàng)】在Rt△ABC中,∠C=90°,BC,AB的長(zhǎng)都是一元二次方程x2-3x+2=0的根,則∠B的度數(shù)為()

A.15°B.20°

C.30°D.60°

4.(2022陜西中考)如圖,AD是△ABC的高,若BD=2CD=6,tanC=2,則邊AB的長(zhǎng)為()

A.3

5.【教材變式·P115例1】在Rt△ABC中,∠C=90°,根據(jù)下列條件解直角三角形.(參考數(shù)據(jù):sin36°≈0.6,cos36°≈0.8)

(1)c=7,∠A=36°;

(2)a=6,b=6.

知識(shí)點(diǎn)3求非直角三角形的邊與角

6.(2022河北灤南期中)如圖,在△ABC中,∠BAC=120°,AC=8,AB=4,則BC的長(zhǎng)是()

A.4C.6D.8

7.(2022河北石家莊模擬)已知△ABC中,∠A、∠B都是銳角,且+|tanB-1|=0.

(1)求△ABC三個(gè)內(nèi)角的度數(shù);

(2)若AC=2,求AB的長(zhǎng)度.

能力提升全練

8.(2022河北中考,16,★★☆)題目:“如圖,∠B=45°,BC=2,在射線BM上取一點(diǎn)A,設(shè)AC=d,若對(duì)于d的一個(gè)數(shù)值,只能作出唯一一個(gè)△ABC,求d的取值范圍.”對(duì)于其答案,甲答:d≥2,乙答:d=1.6,丙答:d=,則正確的是()

A.只有甲的答案對(duì)

B.甲、丙答案合在一起才完整

C.甲、乙答案合在一起才完整

D.三人答案合在一起才完整

9.(2022四川樂(lè)山中考,9,★★☆)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=,點(diǎn)D是AC上一點(diǎn),連接BD.若tan∠A=,tan∠ABD=,則CD的長(zhǎng)為()

A.2

D.2

10.【易錯(cuò)題】【分類(lèi)討論思想】(2022黑龍江齊齊哈爾中考,16,★★☆)在△ABC中,AB=3,AC=6,∠B=45°,則BC=.

11.【數(shù)學(xué)文化】(2022湖南張家界中考,13,★★☆)我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為天文學(xué)著作《周髀算經(jīng)》作注解時(shí),用4個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成一個(gè)大正方形,這個(gè)圖被稱為“弦圖”,它體現(xiàn)了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就.如圖,已知大正方形ABCD的面積是100,小正方形EFGH的面積是4,那么tan∠ADF=.

12.(2022江蘇淮安中考,23,★★☆)如圖,湖邊A、B兩點(diǎn)由兩段筆直的觀景棧道AC和CB相連.為了計(jì)算A、B兩點(diǎn)之間的距離,經(jīng)測(cè)量得

∠BAC=37°,∠ABC=58°,AC=80米,求A、B兩點(diǎn)之間的距離.(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,

tan58°≈1.60)

素養(yǎng)探究全練

13.【應(yīng)用意識(shí)】【項(xiàng)目式學(xué)習(xí)試題】某數(shù)學(xué)研究小組對(duì)武山住房窗戶設(shè)計(jì)遮陽(yáng)篷這一課題進(jìn)行了探究,過(guò)程如下:

問(wèn)題提出:圖1是某住戶窗戶上方安裝的遮陽(yáng)篷,要求設(shè)計(jì)的遮陽(yáng)篷既能最大限度地遮擋夏天炎熱的陽(yáng)光,又能最大限度地使冬天溫暖的陽(yáng)光射入室內(nèi).

方案設(shè)計(jì):如圖2,該數(shù)學(xué)課題研究小組通過(guò)調(diào)查研究設(shè)計(jì)了垂直于墻面AC的遮陽(yáng)篷CD.

數(shù)據(jù)收集:通過(guò)查閱相關(guān)資料和實(shí)際測(cè)量了解到:武山一年中,夏至這一天的正午時(shí)刻,太陽(yáng)光線DA與遮陽(yáng)篷CD的夾角∠ADC最大

(∠ADC=60°);冬至這一天的正午時(shí)刻,太陽(yáng)光線DB與遮陽(yáng)篷CD的夾角∠BDC最小(∠BDC=30°);窗戶的高度AB=2m.

問(wèn)題解決:根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù),求CD的長(zhǎng).

圖1圖2

答案全解全析

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練

1.ARt△ABC中,sinα=,∴BC=12sinα(米).

2.答案37.5

解析由題意得∠ABC=90°,∴tan∠ACB=,

∴AB=BC·tan∠ACB≈50×=37.5(m).

3.D解方程x2-3x+2=0,得x1=1,x2=2,

∵BC,AB分別是Rt△ABC的直角邊和斜邊,∴BC=1,AB=2,

∴cosB=,∴∠B=60°.

4.C∵BD=2CD=6,∴CD=3,BD=6,

∵tanC==2,∴AD=2CD=6=BD,∴AB=.

5.解析(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=36°,

∴∠B=90°-36°=54°.∵sinA=,

∴a=c·sinA=7sin36°≈4.2.∵cosA=,

∴b=c·cosA=7cos36°≈5.6.

(2)c=,

∵tanA=,∴∠A=30°,∴∠B=90°-30°=60°.

6.B如圖,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于E.

∵∠BAC=120°,∴∠CAE=180°-120°=60°,

∴AE=AC·cos60°=4,EC=AC·sin60°=4,

∵AB=4,∴BE=AB+AE=8,

∴BC=.

7.解析(1)已知+|tanB-1|=0,

∵≥0,|tanB-1|≥0,

∴cosA-=0,tanB-1=0,∴cosA=,tanB=1,

∴∠A=60°,∠B=45°,

∴∠C=180°-∠A-∠B=75°.

故∠A=60°,∠B=45°,∠C=75°.

(2)過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H,如圖,

在Rt△ACH中,AC=2,∠A=60°,

∴AH=AC·cosA=2×=1,CH=AC·sinA=2×,

在Rt△CHB中,∵∠B=45°,∴BH=CH=,

∴AB=AH+BH=1+.

能力提升全練

8.B由題意知,當(dāng)CA⊥BA或CA≥BC時(shí),能作出唯一一個(gè)△ABC.①當(dāng)CA⊥BA時(shí),∵∠B=45°,BC=2,∴AC=BC·sin45°=2×,即此時(shí)d=;②當(dāng)CA≥BC時(shí),d≥2.綜上,當(dāng)d=或d≥2時(shí)能作出唯一一個(gè)△ABC.

9.C過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB于E,如圖,

∵tan∠A=,tan∠ABD=,

∴AE=2DE,BE=3DE,∴AB=2DE+3DE=5DE,

在Rt△ABC中,tan∠A=,∴AC=2BC=2,

∴AB==5,∴DE=AB=1,

∴AE=2DE=2,∴AD=,

∴CD=AC-AD=.

10.答案3-3

解析本題易因只考慮一種情況而致錯(cuò).

①當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí),過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D,如圖1,

∵AB=3,∠B=45°,∴BD=AD=AB·sin45°=3,

∴CD==3,∴BC=BD+CD=3+3;

圖1圖2

②當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí),過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,如圖2,∵AB=3,∠B=45°,∴BD=AD=AB·sin45°=3,

∴CD==3,

∴BC=BD-CD=3-3.

綜上,BC的長(zhǎng)為3-3.

11.答案

解析∵大正方形ABCD的面積是100,∴AD=10,

∵小正方形EFGH的面積是4,∴小正方形EFGH的邊長(zhǎng)為2,

∴DF-AF=2,設(shè)AF=x,則DF=x+2,由勾股定理得x2+(x+2)2=102,

解得x=6或-8(負(fù)值舍去),∴AF=6,DF=8,

∴tan∠ADF=.

12.解析如圖,過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D點(diǎn),

在Rt△ACD中,∵sin∠DAC=,cos∠DAC=,

∴CD=AC·sin37°≈80×0.60=48(米),

AD=AC·cos37°≈80×0.80=64(米),

在Rt△BCD中,∵tan∠CBD=,

∴BD==30(米),

∴AB=AD+BD=