華師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)22.3 第2課時(shí) 利用一元二次方程解決平均變化率、利潤(rùn)問(wèn)題 課件(共22張PPT)

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第22章一元二次方程

22.3實(shí)踐與探索

第2課時(shí)利用一元二次方程解決平均變化率、利潤(rùn)問(wèn)題

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.能列出關(guān)于平均變化率、利潤(rùn)問(wèn)題的一元二次方程；（重點(diǎn)）

2.體會(huì)一元二次方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用；（重點(diǎn)、難點(diǎn)）

3.經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)．

回顧與思考

問(wèn)題1列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟是哪些？應(yīng)該注意哪些？

問(wèn)題2生活中還有哪類問(wèn)題可以用一元二次方程解決？

某藥品經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，每瓶零售價(jià)由56元降為31.5元。已知兩次降價(jià)的百分率相同，求每次降價(jià)的百分率。

分析若每次降價(jià)的百分率為，則第一次降價(jià)后的零售價(jià)為原來(lái)的(1－x)倍，即56(1－x)元，第二次降價(jià)后的零售價(jià)為56(1－x)元的(1－x)倍。

解：設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)題意，得

56(1－x)2=31.5

解這個(gè)方程，得

x1=0.25，x2=1.75

因?yàn)榻祪r(jià)的百分率不可能大于1，所以x2=1.75不符合題意。經(jīng)檢驗(yàn)，x=0.25=25%符合本題要求。

答：每次降價(jià)的百分率為25%.

典例精析

某工廠計(jì)劃在兩年后實(shí)現(xiàn)產(chǎn)值翻一番，那么這兩年中產(chǎn)值的平均年增長(zhǎng)率應(yīng)為多少

分析翻一番，即為原產(chǎn)值的2倍.若設(shè)原產(chǎn)值為1個(gè)單位，那么兩年后的產(chǎn)值就是2個(gè)單位.

解：設(shè)平均年增長(zhǎng)率為x，原產(chǎn)值為a元.

根據(jù)題意，得a(1＋x)=2a，即1＋x=±，

所以x1=－1，x2=-－1（舍去）

所以x≈0.414=41.4%，即平均年增長(zhǎng)率約為41.4%.

探索

如果調(diào)整計(jì)劃，兩年后的產(chǎn)值為原產(chǎn)值的1.5倍、1.2倍……那么兩年中的平均年增長(zhǎng)率分別應(yīng)調(diào)整為多少？

又如果第二年的增長(zhǎng)率為第一年的2倍，那么第一年的增長(zhǎng)率為多少時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)兩年后產(chǎn)值翻一番

若為原產(chǎn)值的1.5倍、1.2倍，……，則可列方程a(1＋x)=1.5a，a(1＋x)

=1.2a，……，可解得平均年增長(zhǎng)率分別約為22.5%，9.5%，……

設(shè)第一年的增長(zhǎng)率為x，則第二年的增長(zhǎng)率為2x

根據(jù)題意，得a(1＋x)(1＋2x)=2a，

整理，得2x＋3x－1=0

解得x1=，x2=（舍去）

所以x≈0.281=28.1%，即當(dāng)?shù)谝荒甑脑鲩L(zhǎng)率約為28.1%時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)兩年后產(chǎn)值翻一番。

歸納小結(jié)

概括一下“變化率問(wèn)題”的基本特征嗎？解決“變化率問(wèn)題”的關(guān)鍵步驟是什么？

“變化率問(wèn)題”的基本特征：平均變化率保持不變；解決“變化率問(wèn)題”的關(guān)鍵步驟：找出變化前的數(shù)量、變化后的數(shù)量，找出相應(yīng)的等量關(guān)系．

當(dāng)堂練習(xí)

1.某花生種植基地原有花生品種每公頃產(chǎn)量為3000千克，出油率為55%。改用新品種之后，每公頃收獲的花生可加工得到花生油2025千克。已知新品種花生的每公頃產(chǎn)量和出油率都比原有品種有所增加，其中出油率增加是每公頃產(chǎn)量增長(zhǎng)率的一半，求兩者的增長(zhǎng)率，(精確到1%)

解：設(shè)新品種花生的出油率增加x，則每公頃產(chǎn)量的增長(zhǎng)率為2x，

根據(jù)題意，得3000(1+2x)(55%+x)=2025.

整理，得80x2+84x－5=0，

解得x1=，x2=（不合題意，舍去）

∴x=≈0.06=6%，∴2x≈12%

答：兩者的增長(zhǎng)率分別約為6%，12%.

2.某商店準(zhǔn)備進(jìn)一種季節(jié)性小家電，每臺(tái)進(jìn)價(jià)為40元。經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，銷售定價(jià)為52元時(shí)，可售出180臺(tái)；銷售定價(jià)每增加(或降低)1元，銷售量將減少(或增多)10臺(tái)。商店若希望獲利2000元，則應(yīng)進(jìn)貨多少臺(tái)銷售定價(jià)為多少

本題如何設(shè)未知數(shù)較適宜需要列出哪些相關(guān)量的代數(shù)式

所列方程的解是否都符合題意？如何解釋？

請(qǐng)你為商店估算一下，若要獲得最大利潤(rùn)，則應(yīng)進(jìn)貨多少臺(tái)？銷售定價(jià)為多少

解：(1)本題設(shè)銷售定價(jià)為x元較適宜，需要列出相關(guān)量的代數(shù)式為每臺(tái)的利潤(rùn)：(x－40)元，銷售量：[180+10(52－x)]臺(tái)。

(2)所列方程為[180+10(52－x)](x－40)=2000.

解得x1=50，x2=60.

當(dāng)x=50時(shí)，銷售量為200臺(tái)；

當(dāng)x=60時(shí)，銷售量為100臺(tái)。

兩個(gè)解都符合題意，即當(dāng)銷售定價(jià)為50元時(shí)，應(yīng)進(jìn)貨200臺(tái)；當(dāng)銷售定價(jià)為60元時(shí)，應(yīng)進(jìn)貨100臺(tái)。

(3)設(shè)所獲利潤(rùn)為W元.

則W=[180+10(52－x)](x-40)

=-10(x2-110x+2800)

=-10(x2-110x+3025)+2250

=-10(x－55)2+2250

∵(x－55)2≥0，∴-10(x-55)2≤0

∴W≤2250

∴商店要獲得最大利潤(rùn)，應(yīng)進(jìn)貨180+10×(52-55)=150(臺(tái))，銷售定價(jià)為55元。

3.某市人均居住面積為14.6平方米，計(jì)劃在兩年后達(dá)到18平方米。在預(yù)計(jì)每年住房面積的增長(zhǎng)率時(shí)，還應(yīng)考慮人口的變化因素等。請(qǐng)你把問(wèn)題補(bǔ)充完整，再給出解答。

解：本題是一道開放性問(wèn)題，可以設(shè)想各種不同情境，變換條件進(jìn)行探索，答案不唯一.

如補(bǔ)充條件：該市現(xiàn)有人口10萬(wàn)，預(yù)計(jì)今后兩年每年人口增長(zhǎng)1萬(wàn)，求這兩年每年住房面積的平均增長(zhǎng)率。

解答過(guò)程：設(shè)每年住房面積的平均增長(zhǎng)率為x.

則可列方程14.6×10×(1+x)2=18×12，

整理，得73x2＋146x－35=0.

解得x1≈0.216=21.6%，

x2≈-2.216(舍去)

答：這兩年每年住房面積的平均增長(zhǎng)率約為21.6%

4.商場(chǎng)某種商品的進(jìn)價(jià)為每件100元，當(dāng)售價(jià)定為每件150元時(shí)平均每天可銷售30件．為了盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件．設(shè)每件商品降價(jià)x元(x為整數(shù))．據(jù)此規(guī)律，請(qǐng)回答：

(1)商場(chǎng)日銷售量增加____件，每件商品盈利________元(用含x的代數(shù)式表示)；

(2)在上述條件不變、銷售正常情況下，每件商品降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)日盈利可達(dá)到2100元？

2x

(50－x)

解：(2)設(shè)每件商品降價(jià)x元時(shí)，商場(chǎng)日盈利可達(dá)到2100元．

根據(jù)題意，得

(50－x)(30＋2x)＝2100，

化簡(jiǎn)，得x2－35x＋300＝0，

解得x1＝15，x2＝20.

答：在上述條件不變、銷售正常情況下，每件商品降價(jià)15元或20元時(shí)，商場(chǎng)日盈利可達(dá)到2100元．

5.地震牽動(dòng)著全國(guó)人民的心，某單位開展了“一方有難，八方支援”賑災(zāi)捐款活動(dòng)．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．

(1)如果第二天、第三天收到捐款的增長(zhǎng)率相同，求捐款的增長(zhǎng)率；

(2)按照(1)中收到捐款的增長(zhǎng)速度，第四天該單位能收到多少捐款？

解：(1)設(shè)捐款增長(zhǎng)率為x，則依題意列方程

10000(1＋x)2＝12100，

解方程，得

x1＝－2.1(不合題意，舍去)，x2＝0.1＝10％．

答：捐款的增長(zhǎng)率為10％；

(2)12100×(1＋10％)＝13310(元)．

答：按照(1)中收到捐款的增長(zhǎng)速度，第四天該單位能收到捐款13310元．

課堂小結(jié)

1.用一元二次方程解變化率問(wèn)題

規(guī)律：

變化前數(shù)量×(1±平均變化率)變化次數(shù)＝變化后數(shù)量．

注意：

有