矩形板附加彈性鉸簡支撐的優(yōu)化分析

矩形板附加彈性鉸簡支撐的優(yōu)化分析

近年來，基于彈性的薄結(jié)構(gòu)分析和優(yōu)化設(shè)計研究引起了人們的廣泛興趣。本文采用瑞利-里茲(Rayleigh-Ritz)法優(yōu)化設(shè)計矩形板邊界上彈性鉸(簡)支撐位置,使板的基頻達(dá)到原系統(tǒng)的第二階固有頻率,同時計算獲得支撐的最小剛度值?，F(xiàn)有研究成果已經(jīng)證明1彈簧剛度和橫向位移考慮一個均勻厚度的矩形薄板,僅有一條邊簡支或固支,其他邊自由。矩形板位于x-y平面內(nèi)并做橫向自由振動?，F(xiàn)用一個彈性鉸支撐(彈簧),在約束邊相對的自由邊上固定結(jié)構(gòu),以改善結(jié)構(gòu)的變形,同時提高板的最低階固有頻率,矩形板尺寸如圖1所示。板的自由振動微分方程為:式中:ω表示結(jié)構(gòu)振動頻率;h是板的厚度;D=Eh根據(jù)瑞利-里茲法,板的橫向位移W(x,y)可近似表示為:式中:φ根據(jù)薄板彎曲理論式(4)僅考慮支撐的線彈性剛度,沒有考慮其彎曲剛度。已有研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)2附加支撐位置的選擇當(dāng)支撐位于最優(yōu)點時,可以用一個剛度很小的彈性支撐使板的某階振動頻率達(dá)到其極大值式中:下標(biāo)i表示板的固有頻率階次;W例如,欲提升矩形板的基頻(i=1),附加支撐必須位于使第一階振型相對x軸和y軸轉(zhuǎn)角同時為零的點處。此時,該剛度即為使基頻達(dá)到最大值的最小剛度。若不滿足支撐位置優(yōu)化設(shè)計準(zhǔn)則(式(7a)、式(7b)),則需要較大的支撐剛度才能達(dá)到同樣的頻率設(shè)計目標(biāo)。式(7)也可以說明支撐的彎曲剛度對最小臨界剛度值影響不大,因為此時支撐點的轉(zhuǎn)角為零。3變量的選取根據(jù)瑞利-里茲法,振動系統(tǒng)能量泛函(U式中,為了計算簡便,我們引入了無量綱坐標(biāo)ξ=x/a,η=y/b,板的邊長比α=a/b,頻率參數(shù)4支撐剛度問題的解析為了證明本文所提方法的可行性,我們分析矩形板的邊界支撐位置優(yōu)化設(shè)計和最小支撐剛度問題,如圖1所示。將板的約束邊固定為y軸,x軸與板的中心線重合,則板的所有振型將沿x軸對稱或反對稱。在矩形板約束邊相對的自由邊上,分別用一個或兩個彈性支撐固定結(jié)構(gòu),使板的基頻升到板無附加支撐時的第二階固有頻率4.1固有頻率的滿足由于矩形板的第一階振型對稱于x軸,不難得出支撐點一定位于自由邊的中點P(a,0)。此時,一階振型沿y軸方向的零斜率條件自動得到滿足,只剩下沿x方向的斜率需要強(qiáng)制滿足(式(7b))。此外,由于此點亦位于矩形板的第二階振型的節(jié)線上,由此可知,板的第二階固有頻率不受附加支撐的影響。因此,第二階頻率是第一頻率能夠達(dá)到的最大值。如果支撐的剛度超過了計算所得的最小剛度值,繼續(xù)增加剛度并不能升高板的第一頻率表2列出了矩形板不同約束情況和不同邊長比,無附加支撐時的前兩階固有頻率4.2最小支撐剛度假設(shè)有兩個相同剛度的彈性支撐同時位于約束相對的自由邊上,使矩形板的基頻達(dá)到原來的第二階頻率。由于第一階振型對稱,可知這兩個彈性支撐位于x軸兩側(cè),并對稱于x軸。此時,支撐位置優(yōu)化條件(式(7a)、式(7b))需要同時得到滿足。圖3分別顯示了不同支撐位置時的最小支撐剛度的變化情況。在自由邊的中點,最小支撐剛度值剛好是一個彈性支撐時最小剛度的一半。當(dāng)支撐逐漸離開中點時,最小支撐剛度不斷下降,并達(dá)到最小值。隨后當(dāng)支撐靠近板的角點時,支撐剛度迅速增大。由此,可以確定最優(yōu)支撐位置和相應(yīng)的最小支撐剛度。表3列出了矩形板不同約束情況和不同邊長比時,最小支撐剛度和最優(yōu)支撐位置的計算結(jié)果。此時,最小支撐剛度較只有一個彈性支撐時減小20%左右。有限元驗算結(jié)果表明:此時系統(tǒng)的第一階固有頻率已基本達(dá)到了無支撐時的第二階頻率,且誤差也較小(<3%)。同樣,對于簡支的長方形板(a=1.5),特征方程仍無正實數(shù)解,即二個剛性支撐也無法使板的第一階頻率提高到原來的第二階頻率。必須使支撐離開自由邊才可能達(dá)到設(shè)計目的5優(yōu)化模型的建立若結(jié)構(gòu)本身的設(shè)計形式無法改變,通過改變結(jié)構(gòu)支撐(連接)位置,也能極大地改善其靜、動力學(xué)特性。當(dāng)矩形板的固有頻率需要提高時,如果附加的鉸(簡)支撐位于最優(yōu)位置,一個彈性支撐有時能夠起到一個剛性支撐的作用。本文采用瑞利-里茲法,結(jié)合拉格朗日乘子技術(shù),對一邊固支或簡支其他邊自由的矩形板,附加邊界支撐的最優(yōu)位置進(jìn)行了分析和探討,獲得了使板的基頻升高到系統(tǒng)原來第二階頻率所需要的最小剛度和最優(yōu)位置。兩個數(shù)值算例表明本文提出的方法是有效和可靠的,能夠獲得較滿意的結(jié)果。研究結(jié)果發(fā)現(xiàn):矩形板的邊界支撐條件和邊長比對最小支撐剛度影響很大。如果支撐位置設(shè)計區(qū)域受到某種限制(如只在某一邊界上),有時設(shè)計目標(biāo)可能無法達(dá)到。為了使支撐點的斜率為零,在板的位移表達(dá)式(式(2))中,容許函數(shù)要取很多項數(shù),因此求解支撐最小剛度的特征值問題(由式(7)和式(8)構(gòu)成)的