新人教A版高中數(shù)學選擇性必修一《2.5.1直線與圓的位置關系（第1課時）》教案

2.5.1直線與圓的位置關系（第一課時）(人教A版普通高中教科書數(shù)學選擇性必修第一冊第二章)一、教學目標1.掌握直線與圓的三種位置關系及判定方法（幾何法和代數(shù)法），能夠解決一些簡單的直線與圓位置關系相關的問題；2.經(jīng)歷觀察、探索、總結和運用直線與圓位置關系的判斷方法的過程，培養(yǎng)直觀想象、運算求解、總結概括的思維能力；3.學會用代數(shù)方法解決幾何問題，體會數(shù)形結合、函數(shù)與方程、化歸等數(shù)學思想.二、教學重難點1.教學重點：直線與圓的三種位置關系及其判定方法.2.教學難點：用代數(shù)方法探求直線與圓的位置關系的過程.三、教學過程1.創(chuàng)設情境【實際情境】（展示日出的動圖）古詩里描寫道：“日出江花紅勝火，春來江水綠如藍”，它生動地描繪了日出的絢麗景象。大家有沒有想過，在日出的過程中，其實也蘊含了有趣的數(shù)學知識。問題1：如果我們把太陽近似看作一個圓，海天交線看做一條直線，請大家觀察一下，在日出的過程，體現(xiàn)了直線與圓的哪些位置關系？【預設的答案】直線與圓相交，相切，相離?！驹O計意圖】直線與圓的位置關系在現(xiàn)實生活中有非常多的實例，通過日出的圖象來引入本節(jié)課的內容，直觀且自然，讓學生體會到數(shù)學是源于實際生活的.2.知識回顧問題2：（呈現(xiàn)直線與圓的三種位置關系的圖象）對于這三種位置關系，圖象呈現(xiàn)出什么樣的幾何特征呢？在初中，我們是怎么判斷直線與圓的位置關系的？【預設的答案】通過直線與圓的公共點個數(shù)來判斷，直線與圓相交時有兩個公共點，相切時有一個公共點，相離時沒有公共點。問題3：除了公共點個數(shù)的不同，我們還能直觀地看到，從相交到相離，圓和直線的“距離”在“變遠”，如何從這個角度來刻畫直線與圓的位置關系呢？【預設的答案】比較圓心到直線的距離d與半徑r之間的大小關系，當d<r時直線與圓相交，當d=r時直線與圓相切，當d>r時直線與圓相離。問題4：這兩種判定方法都是從幾何特征來認識直線與圓的位置關系，前面我們學習了直線和圓的方程，已知直線和圓的方程，如何判斷直線與圓的位置關系呢？下面，我們將通過具體例子來進行研究?！驹O計意圖】通過回顧初中時判定直線與圓位置關系的方法，調動學生原有的知識經(jīng)驗，在定性描述的基礎上，結合直線和圓的方法，讓學生思考如何定量刻畫，從而引出本節(jié)課的主要內容。3.探究典例，總結方法例1：已知直線和圓心為C的圓，判斷直線l與圓C的位置關系；如果相交，求直線l被圓C所截得的弦長.【活動預設】探究直線與圓位置關系的判定方法，引導學生將問題進行轉化，轉化為判斷它們的方程組成的方程組有無實數(shù)解、有幾個實數(shù)解的問題。【預設的答案】解法1：聯(lián)立直線l與圓C的方程，得消去y，得，解得所以，直線l與圓C相交，有兩個公共點.把分別代入方程①，得所以直線l與圓C的兩個交點是，因此解法2：圓C的方程可化為，因此圓心C的坐標為，半徑為，圓心C到直線l的距離所以，直線l與圓C相交，有兩個公共點.由垂徑定理，得【活動預設】引導學生總結直線與圓位置關系的判定方法以及求直線與圓相交時弦長的方法。位置關系相交相切相離公共點個數(shù)2個1個0個判斷方法幾何法：設圓心到直線的距離為d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d<rd＝rd>r代數(shù)法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2，))消元得到一元二次方程，可得方程的判別式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0求直線與圓相交時弦長的兩種方法：(1)幾何法：如圖①，直線l與圓C交于A，B兩點，設弦心距為d，圓的半徑為r，弦長為|AB|，則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2＋d2＝r2，即|AB|＝2eq\r(r2－d2).(2)代數(shù)法：如圖②所示，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，設直線與圓的兩交點分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)【設計意圖】通過對例1的探究，學會將幾何問題代數(shù)化，總結出利用方程來判斷直線與圓位置關系的兩種方法，體會數(shù)形結合、轉化與化歸的數(shù)學思想。例2：過點作圓的切下l，求切線l的方程.【活動預設】探究過某一點求圓的切線方程的問題，先探究點在圓外的情況，再設計兩個變式探究點在圓上、點在圓內的情況?！绢A設的答案】解法1：設切線l的斜率為k，則切線l的方程為，即由圓心到切線l的距離等于圓的半徑1，得解得或因此，所求切線l的方程為或解法2：設切線l的斜率為k，則切線l的方程為因為直線l與圓相切，所以方程組只有一組解消元，得①因為方程①只有一個解，所以解得或因此，所求切線l的方程為或變式1：過圓x2＋y2－2x－4y＝0上一點P(3,3)的切線方程為()A．2x－y＋9＝0 B．2x＋y－9＝0C．2x＋y＋9＝0 D．2x－y－9＝0【預設的答案】B變式2：已知圓C:x2＋y2－4x＝0，l是過點P(3,0)的直線，則()A．l與C相交 B．l與C相切C．l與C相離 D．以上三個選項均有可能【預設的答案】A【活動預設】引導學生總結出求過某一點的圓的切線方程的方法。（1）點(x0，y0)在圓上．①先求切點與圓心連線的斜率k，再由垂直關系得切線的斜率為－eq\f(1,k)，由點斜式可得切線方程．②如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程y＝y(tǒng)0或x＝x0.（2）點(x0，y0)在圓外．①設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，由圓心到直線的距離等于半徑建立方程，可求得k，也就得切線方程．②當用此法只求出一個方程時，另一個方程應為x＝x0，因為在上面解法中不包括斜率不存在的情況．③過圓外一點的切線有兩條．【設計意圖】通過對例2的探究，掌握求過圓外一點的圓的切線方程的兩種方法，再通過變式將問題進行拓展，總結出點在圓外、點在圓上和點在圓內的情況。4.課堂練習練習：已知圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一點P(4，－1)，過點P作直線l.（1）當直線l與圓C相切時，求直線l的方程；（2）當直線l的傾斜角為135°時，求直線l被圓C所截得的弦長．【預設的答案】解：（1）圓C的圓心為(2,3)，半徑r＝2.當斜率不存在時，直線l的方程為x＝4，此時圓C與直線l相切；當斜率存在時，設直線l的方程為kx－y－4k－1＝0，則eq\f(|2k－3－4k－1|,\r(1＋k2))＝2，解得k＝－eq\f(3,4)，所以此時直線l的方程為3x＋4y－8＝0.綜上，直線l的方程為x＝4或3x＋4y－8＝0.（2）當直線l的傾斜角為135°時，直線l的方程為x＋y－3＝0，圓心到直線l的距離d＝eq\f(|2＋3－3|,\r(2))＝eq\r(2)，故所求弦長為2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(4－2)＝2eq\r(2).【設計意圖】通過課堂練習，運用本節(jié)課所學知識來解決一些簡單的與直線與圓位置關系相關的問題（求切線方程、求弦長），檢測學生對知識的理解，鞏固所學內容。5.課堂小結【活動預設】引導學