物理習題題庫

習題一映射與函數(shù)

1,討論y=(2、+2r)ln(x+71+x2)的奇偶性.

2、若的的定義域是［01］,求心，1)的定義域.

3、若/切是以2為周期的周期函數(shù)，且在閉區(qū)間［0,2］上/(X)=2X—X2,

求在閉區(qū)間［2,4］上尬的表達式.

4、f(x)=x+\,(p(x)=----,求力夕的+1]與9昭;+2].

\+x

3-3x

5、求定義域產(chǎn)"7+arcsin

5

x

6、已知/[夕㈤]=1+cosx,9㈤=sin',求力%).

1忖<1

7、設(shè)人￥)=<0kl=1，g(x)=ex,求/[g(x)],g[/(x)].

-1|x|>1

14-Y

8、證明函數(shù)./）二——在區(qū)間（0,+8）內(nèi)單調(diào)減.

x

9、設(shè)g(x)與y(x)分別為(一8,+8)內(nèi)的單調(diào)增加函數(shù)與單調(diào)減少函數(shù).令

"(x)=g[/(x)],(p(x)=^(x)],試討論〃(x)與(p(x)各自的單調(diào)性.

10、設(shè)4B、。是任意三個集合，證明：對偶律(4口8尸=301)相:

11、設(shè)映射—匕ZuX,BuX,證明：/(NU8)=/(N)U/(8)

12、收音機每臺售價為90元，成本為60元，廠方為鼓勵銷售商大量采購，

決定凡是訂購量超過100臺以上的，每多訂購1臺，售價就降低1分,但最

低價為每臺75元.

⑴將每臺的實際售價p表示為訂購量x的函數(shù)；

⑵將廠方所獲的利潤P表示成訂購量x的函數(shù)；

(3)某一商行訂購了1000臺，廠方可獲利潤多少？

習題二數(shù)列的極限

1、請列舉兩個數(shù)列U?,均使得）=0,但lim與lim+均不存在.

〃一1^1-1＜10-4.

2、已知lim----=1,求N使當〃>N時，有

〃+1/7+1

3、估算極限

.n7T

sin——

⑴lim(J〃+1-)⑵lim——1

〃一＞8〃一＞8n

(T)"、

⑶lim(4+^^)(4)

〃一＞8YISy

4、用“￡—N"定義證明:

3〃+13⑵lim4二0.

(1)lim

〃一＞oo2〃+12

5^設(shè)數(shù)列&”｝有界，又Hm、n=a證明limx._yn=0.

習題三函數(shù)的極限、無窮大與無窮小

1、根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:

⑵lim皿=0

(1)lim(5x4-2)=12

XT2XT8X

2、求危)=工,0?=旦當xTO時的左右極限，并說明它們在x->0時的

XX

極限是否存在.

exx<0,

3、於)=(,求/(0+0)與人0?0).

ax+bx>0

1-4-Y

4、說明lim^一「不存在.

x-?01

1-ex

..2x4-1

5、求hm-----并說明理由（常數(shù)加無窮?。?

18X

6、用無窮小的理論說明limxsin，=0.

,30x

習題四極限運算法則

..3x4-1

1、lim--——2、lim

?STX+1x->l2x2-x-1

「2x2+x+1

3、lim---------4、hm----

…3x+1x-8x-+1

x3+2x2Alimf13\

5、lim......-O、11IIH_)

-2(X—2產(chǎn)11-x1-x3

7、lim(Jx2+%+1—Jx?—1+1)

.r-?+?<>

「(2x-l),00(3x-2)2002xsinx1

8、lim-------------...-------9、hm.arctan—

i(2x+l)500fVx2+1%

10、證明：設(shè)lim/(x)存在，limg(x)不存在，則lim(/(x)+g(x))不存

X—?XQXTXOXTXO

在.

習題五兩個重要極限無窮小比較

sinwxtan3x

1、lim-----2、lim-----

.10x

「sin2x

3、limxcotx4^lim-----

x—>02。sin5x

-..l-cos3xx

5、lim--------6、lim2Wsin—(x工0)

soxsinx82n

7、lim(xsin—4--sinx)8、lim(l-x)r

1°XXXTO

門n+xY、

rinr(x+iY

9、lim----10>lim----

X)x+2J

11、利用等價無窮小性質(zhì)求極限

arctan3x

⑴lim⑵lim

XTO5xx-?OX

tanx-sinx

⑶lim

3

XTOsinx

limJl+—=1

12、利用兩邊夾法則證明:

n

13、x,=10,xw+1=j6+x〃，試證明數(shù)列&〃｝極限存在，并求此極限.

習題六函數(shù)的連續(xù)性與間斷點

1、研究下列函數(shù)的連續(xù)性，并畫出函數(shù)的圖形

x20<x<l

(1)f(x)=<

2-xl<x<2

x

⑵危)=<

1X<-1或x>1

Y元

2、已知歹=----有間斷點，x=k兀+—,x=kTT,(k-0,±1,±2,…)

tanx2

試確定其類型，對于可去間斷點補充定義使之為連續(xù)點.

1—Y

'已知網(wǎng)］吧臺X指出網(wǎng)的間斷點及其類型并做出其圖像

—,XH°

4、設(shè)y（x）=<.;研究—）在點x=0處的左連續(xù)性與右連續(xù)性.

1-re

0,x=0

5、要使兀V）連續(xù)，常數(shù)4,b各應(yīng)取何值？

1.

—sinx,x<0

X

,/to="a、x=0

.1心

xsm—+/),x>0

x

習題七初等函數(shù)連續(xù)性、閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質(zhì)

xV5x—4—y/~X

1、lim\n(e+|x|)2、lim

XTlx-1

「isinx

3、lim(l+3tan2x)coU4^limIn------

XTOx

x<0

5、當。為何值時，/(x)=\,在x=O處連續(xù).

Q+Xx>0

6、證明方程一-3x=1至少有一個根介于1和2之間.

7、證明方程x=asinx+b(a>0.6>0)至少有一個不超過a+6的正根.

8、設(shè)函數(shù)/(x)在［0,2司上連續(xù)，且/(0)=/(2a),證明：在心㈤上至

少存在一點x,使fix')-/(x+a).

9、若/(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，且。</W吃<…Wx”<6,則在區(qū)間

k，X」上必也有」,使/0=,［/(/)+/(%)+???+/(%)］.

n

10>/(x)在［a,+8)連續(xù)，且lim/(x)存在，證明/(x)在［a,+8)有界

習題八導(dǎo)數(shù)概念

1、求導(dǎo)數(shù)

》2口X2

Wy=x4⑵V

X5

⑶廣源⑷尸;

7x

2、己求物體的運動規(guī)律為s=/3(/w),求這物體在，=2秒的速度.

3、求曲線歹=cosx上點,g)處的切線方程和法線方程.

4、在拋物線歹=82上取橫坐標為為=1及=3的兩點，作過這兩點的割

線，問該拋物線上哪?點的切線平行于這條割線.

5、討論y=a乂在x=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性?

6、設(shè)9(x)在x=a處連續(xù),f(x)=(x-a)(p{x},求r(a).

X%<J

7、確定。、b使/'(x)=(處處可導(dǎo).

ax+bx>1

X2x>0

8、fW=二?！罅?⑼及小0).

一x

X>0,在點x=0處連續(xù)，但不可導(dǎo).

9、證明函數(shù)/(x)

x<0

10、證明雙曲線孫=/上任一點處的切線與兩坐標軸構(gòu)成的三角形的面積

等于2a2.

習題九函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則,

反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

I、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

_1_q

(1)y=x2(cosx+Vx)(2)y=-----

1+Jx

(3)y=(x-l)(x-2)(x-3)(4)y=\[xsinx+axex

x

(5)j；=xlog2x4-ln2(6)y=xesecx

3、設(shè)/(x)可導(dǎo)，且/'(x)=sin2[sin(x+l)],/(0)=4,求/(x)的反函數(shù)

/t(x)當自變量取4時的導(dǎo)數(shù)值.

4、以初速度%上拋的物體，其上升高度s與時間t的關(guān)系為

s=%/-gg/2,求①該物體的速度n(/),②該物體達到最高點的時刻J.

5、求拋物線歹=辦2+廄+。上具有水平切線的點.

習題十復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則初等函數(shù)的求導(dǎo)問題

、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1,A,L

(1)y=cot—(2)y=ln(—+In—)

XXX

=ln(x+71+x2)

(3)y=ln(l-x)(4)y-

sin2x

y=++6

(5)(6)y：=X2

_arcsinx2

(7)y一(8)y=sin[cos(tan3x)1

arccosx

(9)y=2sec?x(xW"乃+5,〃為正整數(shù))

2、在下列各題中，設(shè)/(〃)為可導(dǎo)函數(shù)，求半

dx

(1)y-/(sin2x)+sin/2(x).

⑵y=/(e、)e/").

⑶歹=/UV(x)]L

3、設(shè)/(I—x)=x/且/(x)可導(dǎo)，求f\x).

4、設(shè)/Q)為可導(dǎo)函數(shù)，且/(x+3)=/,求廣(x+3)和廣(x)

習題十一高階導(dǎo)數(shù)、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、有參數(shù)方程所

確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1、尸，1八，求嚴⑵；2、y=e'(x2-1)求y°4)；

x(x-l)

3、y=———-----，求y(")；4、y=sin2x,求”“);

x—3x+2

5、y=10',求y⑺(0)；

/1Y~+hx4-cYVf)

6、已知函數(shù)/'(、)=?，在點x=0處有二階導(dǎo)數(shù)，試

ln(l+x)x>0

確定參數(shù)4,6,C的值.

7、設(shè)y=y(x)由方程5x=0所確定，試求包，噌

出廠0dx

8、設(shè)歹=y(x)由方程xe"y)="'所確定，/Q)二階可導(dǎo)且求

d2y

dx21

9、利用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)數(shù)

(1).=Jxsinxjl-e”(2)y-(sinx)ln

10、求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

墳［yx=Itnans(iln+teT)

6號球去

習題十二相關(guān)變化率、函數(shù)的微分、微分在近似計

算中的應(yīng)用

1、設(shè)y=33-x,在Xo=2處，Ar=0.01時與求與力

2、設(shè)V=/(》)在/處可微，Av是/(x)在/處的增量，求lim4y.

3、yJ。均可微，求力?

4、±4=-^=rdr,求4

5、y=e(sin2x,2,d尸/d(sin2x),求4

6、已知kcos—,普存，需.

7、利用微分證明：當國很小時，」^=1一，.（提示：設(shè)/（〃）=，

1+X1+〃

將Xz視為〃）

8、落在平靜水面上的石頭，產(chǎn)生同心波紋，若最外一圈波半徑的增大率總

是6米/秒，間在2秒末擾動水動血積的增大率為多少？

習題十三中值定理

1、若“b>0,說明/(》)=,在［4"上滿足拉格朗日中值定理的條件，并

X

求出使/3)-/(a)=成立的

2、證明方程/+%一1=0只有一個正根.

3、若/(%)是上的正值可微函數(shù)，則有點Je(。,6)使

喘*…?

4、設(shè)/(x)在上連續(xù)，在(a,6)內(nèi)可導(dǎo)，0〉a〉O),求證存在一點

^e(a,b),使/(6)-/(a)=等(〃—/).

5、證明下列等式或不等式.

八、12x兀，、、、

(1)arctanx——arccos----=—(x>1);

2l+x24

,aa-b.aa-b,.八、

(2)<In—<-----(67>>0);

abb

(3)當x>l時，ex>ex；

(4)|sinx2-sinx]|<|x2-X1|

6、若/(x)在(4,6)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，且/5)=/(與)=/(>3)，其中

a<x]<x2<x3<b,證明：在(X1,》3)內(nèi)至少有一?點J,使得

<(^)=0.

習題十四羅必塔法則

1、求下列極限

2

⑴i+%：)Q5X-3_o2x

⑵lim-^―

f8]n(3+2e力XTItan(^x)

1,12

⑶li*(=-cot-x)(4)然r運e-\/x

X

ex-sinx-1

(5)limxsinx(6)lim-----------

x->0s°(arcsinx)

丫+qinX

2、說明lim存在,但不能用羅必塔法則求得.

x

3、已知/(x)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，/~(0)=/'(0)=1,求lim/'in》)T

XTOln./(x)

Qin3Vn

4、當。與6為何值時lim(藝啜+=+6)=0.

*7°X3X-

5、若/(x)有二階導(dǎo)數(shù)，證明/"(x)=lim/區(qū)+h)-2/'+白三一h)

6、設(shè)/(%)有二階導(dǎo)數(shù)，在x=0的某去心領(lǐng)域內(nèi)/(x)H0,

lim^^=0,/"(0)=4,求lim(l+^^)1

KTO%x—>0%

習題十五泰勒公式

1、寫出/(x)=xW在/=1處的三階泰勒公式.

2、求函數(shù)y=xe'的〃階麥克勞林展開式.

______11

3、證明Vmc=l+—x——x2H-----------,(0<^<1).

28-v7

16(1+而

4、證明：函數(shù)/(x)是n次多項式的充要條件是/?+D(x)三0.

5、求一個二次多項式P2(x)，使2、=02。)+。(,)，式中，0(/)代表

XT0時比,高階的無窮小.

6、若/(x)在“有”階導(dǎo)數(shù),且

/(?)=/S)=/⑶=f"⑻=???=f—(6)=0,

證明：在(a,6)內(nèi)至少存在一點4，使/⑺0=0,°<4<從

7設(shè)lim絲=1,且7"(x)>0,證明:/(x)7x.(先證/(0)=0J'(0)=1)

1°X

習題十六函數(shù)單調(diào)性與凹凸性

1、求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

10

(1)/(x)=l-4x-x2⑵/(%)=

4x3-9x2+6x

(3)/(x)=2x2-Inx(4)f(x)=xy/ax-x2(a>0)

2、證明下列不等式

(1)tanx>x+—x3(0<x<—)；(2)x--x3<sinx<x(x>0)

32

3、若點(1,3)為曲線〉=。/+瓜2的拐點，求4人并求曲線的凹區(qū)間

和凸區(qū)間.

4、問Inx=〉0)有幾個實根，并確定根所在的區(qū)間.

5、利用函數(shù)圖形凹凸性證明

X.+、，八一/萬

X

cos----->(cosX]+cos2)/2,VX],X2e(---,

6、已知(2,4)是曲線y=/+辦2+bx+c的拐點，且曲線在點x=3處

有極值，求a,b,c.

7、設(shè)/(x)在［0,+8)連續(xù)，在(0,+oo)可導(dǎo)，當x>0時，fix')<k<Q,

又/(0)〉0,證明：方程/(x)=0在(0,+8)內(nèi)有且僅有一個實根.

習題十七極值與最值

1、求下列函數(shù)的最大值和最小值

⑴/(x)=x2-4x+6在［-3,10］上.

⑵/(x)=卜x3-18x2+27］在［0,2］±.

2、證明+(l-x)「Wl,(0WxWl,p>l).

3、要使容積為P的圓柱形閉合罐有最小的表面積，應(yīng)有怎樣的形狀？

4^求y=的極值.

。為何值時，/(x)=osinx+；sin2x在x處有極值，并求此極值.

5、

6、證明若夕?<36,則歹=/+bx+c沒有極值

習題十八函數(shù)作圖、曲率

1、求歹=In(secx)在(x,y)處的曲率與曲率半徑.

2、求x=acos",y=asin3/在/=九處的曲率.

3、求夕=x?-4x+3曲率最大的點.

4、證明夕'在點(xj)處的曲率半徑為匕.

aa

5、求常數(shù)a,b,c使y=辦2+bx+c在x=0處與曲線、=e*相切，且有

相同的凹向與曲率.

,1

6、作出歹=/+士的圖形.

X

習題十九不定積分的概念與性質(zhì)

1、jx2Vxdx2、j(Vx+l)(7x?-l)dr

j(2A+3x)2dr

3、僅e，dx4、

ex2+s.m2x,

5、jsecx(secx-tanx)dx6、2.2小

Jxsinx

r2—V1--X2,

7、J.22dx

8、2

Jsin-xcosxJ7i-x

11、一曲線過原點且在曲線上每一點（X/）處的切線斜率等于d,求這曲線

的方程.

12、一物體由靜止開始運動，，秒末的速度是（米/秒），問:

⑴在3秒末物體與出發(fā)點之間的距離是多少？

⑵物體走完360米需要多少時間？

習題二十換元積分法

1、填空題

x2x

(l)sin—dr=________d(cos；)；(2)xe~dx=d__________：

3

(3)——=_____d(arctan3x);

1+9x2

(4)=_________d(71-x2).

71-x2

2、求下列不定積分:

⑴jevsinexdx;⑵p3xdx;

(3)sinVxdx;(4)j(x2-3x+1)IO()(2x-3)dx;

2ii

XX

(5)f—dx;(6)[(1一一T)edx;

J(x-1)100Jx2

x-tanvl+x2[

(7)[-----------dx;(8)----,—dx；

Jxlnxlnlnx7i+x2

小rsinx+cosx」32

(9)dr;(10)jsinxcos'xdx；

J(sinx-cosx)r

r1rsinxcosx

(11)J-------,-dr；(1Z)------;—dtx;

Jcos2xvl-tan2xJ1+sinx

(14)sin2xcos3xdx;

JVx(l+x)

|Qarcsinx

(15)J

/l-x2

(1+X2)A/1-X2

f網(wǎng)

(23)L+京,(24)

(25)f,--------------dx(26)

Jg+lL

f盤4v2x

(27)(28)jeVl+edx

J7X2-2X-31

習題二十一分部積分法

1、求下列不定積分

(1)jx2lnxdx；(2)J(sinx)ln(tanx)dx；

xarctanx.(4)jln(x+Vl+x2)dx；

(3)-z-ax；

V1+x

(5)vdr；(6)[x2arctanxdr；

(7)jcos(lnx)dx；(8)je2Asin2xdx；

/、r.1+x,XCarctanx

(9)xln----dx；(10)----------dx;

J1-x

(1+x2)7

2、已知f(x)=—ex,求卜/'"(x)dx.

xJ.

設(shè)/LJM（〃N2），求證:1cosx〃一2,

3、.........-+-----1

w-1sinxn-\

習題二十二有理函數(shù)的積分

1、求下列積分:

(1)----7dr；(2)

1+x2

dr

(3)(4)

1+sinx+cosxsin3xcosx

dx-

CS)⑹

1+Nx+1

(7)聲豆dx；

J+Jl+x

習題二十三定積分的概念和性質(zhì)

1、填空題

(1)J,'x2Inxdx值的符號為.

2

⑵放射性物體的分解速度為v=v(r),用定積分表示放射性物體由時間Tt

到T2所分解的質(zhì)量m=.

⑶若/(x)在［凡儀上連續(xù)，且［：/(x)dx=O,則

f［/(x)+1］口=-

2、利用幾何意義求下列定積分

(1)］：2xdx(2)|'71-x2dx

3、比較定積分的大小

⑴fx2dx與［x3dx(2)[inxdx與1(lnx)2dx

JoJo

⑶與f(l+x)dx(4)(xdx與工ln(l+x)dr

JoJo

>2。

x2dx.

J0

fO2

5、估計J,"-'dx的值.

6、求證：「旦<1

2J2+x

7、利用積分中值定理證明Hm["變?yōu)?o.

〃一＞8X

習題二十四微積分基本公式

1、填空題

(1)j/(x)dx-￡/(/)dz=

(3)—[°sin/2d/=__________；

dx人

(5)—[sinx2t/r=_______；

dxJ。

2、計算下列積分

x+1,X<1

⑶設(shè)/(x)=(￡，求￡/(x)dx.

X>1

nn

3、利用定積分定義求陽（E+E+…+--—)

n2+/

4、求下列極限

fcos/2d/

(1)lim^2—-----⑵lim

*TO產(chǎn)sint,X—>8

——d/

JoI

設(shè)/(x)>0且在［a向上連續(xù),令F(x)=「/'⑺d/+『正,求證:

5、

(1)F\x)>2；(2)方程戶(x)=0在①4)內(nèi)有且僅有一實根.

6、設(shè)/”(x)<0,xe(0,1),證明［'/(x2)dx<

J0

習題二十五定積分換元法

1、填空題

⑴f\3sin2xdx=；⑵

J-J47TF

⑶psin(x+—)dx

33

d

(4)/(〃)連續(xù)，QWb為常數(shù)，則一[pb/(x+f)d，=

dr九

2、計算下列定積分:

dxFdx

⑴[x2Vi77⑵

1xjl+lnx

⑶,22

te~At.(4)IVsinx-sin3xdx；

Jo

⑸fJl+cos2xdx；ridr

(6)I--7；

JoJ-2(11+5X)3

?4Vx兀

⑺dr；(8)「cosxcos2xdx

°1+

Xy/x~2

l/(l+x),x>0f2

3、設(shè)/(%)=求￡/(x-l)dx.

1/(1+e)x<0

元?

⑴證明「一任"一,居COSX.

4、ar=2--------dx；

sinx+cosxsinx4-cosx

jr

⑵由上面結(jié)論求———dr.

Josinx+cosx

5、試證連續(xù)函數(shù)/(x)是周期函數(shù)的充要條件是：存在T>0,使對一切

的x有八/川”r/(/)dr.

JxJO

習題二十六定積分的分部積分法

1、填空題

(1)設(shè)/(x)在［0,2］上連續(xù)，且/(0)=0,/(2)=4/2)=2?則

J，'"(2x)dx=.

(2)「sin72xdx=____________.⑶『in￡dx=----------

Jo

2、計算下列積分：

(1)fxarctanxdx;(2)「xe~xdx；

JoJo

(4)j2(x+xsinx)dx

⑸￡|lnx|dx(6)]sin(lnx)dx

，246

⑺cosxdx(8)sin4xdx

［0x

2l+e

3、設(shè)/(x)為連續(xù)函數(shù)，證明［(，/'(〃)&,辿=￡(x-z)/(r)d/.

習題二十七反常積分

1、判斷下列廣義積分的收斂性，若收斂，求值：

r+8dxr2dx

(1)I--------(2)[---------

&xlnxJixlnx

dxr-idr

r(1+—嚴(4)

⑸j(k|+x)e，"dx⑹

p+8dx

2、當左為何值時，廣義積分I,收斂?當上為何值時，這廣義積

二x(lnx)*

分發(fā)散？當上為何值時.，這廣義積分取得最小值？

r+oo

3、利用遞推公式計算廣義積分/“=1xne-xdx.

習題二十八平面圖形的面積

1、計算下列各題：

⑴求夕=',y=-^->x='和％=2所圍圖形的面積;

xx2

(2)y2j/=》一1所圍圖形的面積;

11,

(3)y=2x,xy=2,y=—廠所圍圖形的面積(x21).

(4)0=2(1-sin。)所圍圖形的面積;

(5)x-a(t-sin/),y=a(l-cosf)的一拱(0W21)與橫軸所圍

圖形的面積.

習題二十九體積

1、求y=x=2,y=0,所圍成的圖形，分別繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn),

計算所得的兩個旋轉(zhuǎn)體的體積.

2、由星形線x/+=a9所圍成圖形，分別繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn),

計算所得的兩個旋轉(zhuǎn)體的體枳.

x=a(f-sinf)

3、求擺線〈0</<2〃和x軸所圍平面圖形⑴繞x軸;

y=67(1-cos/)

⑵繞歹軸；⑶繞歹=2。旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積.

4、用積分方法證明：球缺的體積為

7H

3

習題三十平面曲線的弧長

1、計算曲線y=L4(3-x)上相應(yīng)于1Wx＜3的一段弧長.

2、求曲線y=〃屈不d。的弧長，(0＜》＜2肛〃22的整數(shù)).

3、求曲線x=arctan，，y=；ln(l+/)自/=0到/=1的一段弧長.

4、求心形線尸=q(l+cos8)的全長.

2

5、試證曲線卜=5m*(04*42萬)的弧長等于橢圓/+2y=2的周長

習題三十一功、水壓力及引力

1、設(shè)一開口向上圓錐形蓄水池，深15米，口徑20米，盛滿水，今用抽水

機將水抽盡，問要作多少功？

2、作直線運動質(zhì)點在任意位置X處所受的力為F(x)=l-e-\試求質(zhì)點

從點X]=0順X軸運動的點X2=1處，力/(%)所作的功

3、有一等腰梯形閘門，它的兩條底邊長為10米和6米，高為20米，垂直

的置于水中，較長的底邊與水面相齊，計算閘門的一側(cè)所受的水壓力.

4、設(shè)有一長度為/，線密度為p的均勻細直棒，在與棒的一端垂直距離為。

單位處有一質(zhì)量為加的質(zhì)點，試求這細棒對該質(zhì)點的引力.

習題三十二向量及其線性運算

1、已知41,0,2),5(4,5,10),C(0,3,l).。(2,-1,一6)和，〃=5i+J—4A,

求：⑴量a=448+38—/〃在三坐標軸上的投影及分向量;

(2)a的模;

⑶a的方向余弦;

⑷與a平行的兩個單位向量;

⑸求A與C兩點之間的距離.

2、已知同=13,例=19,卜+,=24,求力卜

—>—>

3、已知4(2,—1,7),6(4,5,—2),線段AB交xoy面于p點，且］尸=123,

求2值.

—>

4、從點^(2-1,7)沿a=8i+9/-12A的方向取AB=34,求點B的坐標.

5、用向量理論證明：平行四邊形N8CZ),E為Z8的中點，則。E和/。

相互為三等分.

習題三十三數(shù)量積、向量積

1、已知a=2i—3J+A,〃=，一/+3后和c=i-2j,計算:

(1)(ab)c-(ac)b；

(2)(a+8)x(〃+c)；

(3)(axb)-c.

2、設(shè)a=(2,-3,1),b=(1,—2,3)?c=(2,1,2),求與。，力同時垂直且在c

上投影為1的向量y.

3,已知向量a=(3,4,0),6=(1,2,2),求a與。夾角平分線上的單位向量v.

4、設(shè)同=4,例=3,(a,b)啖,求以a+28和a—38為邊的平行四邊

形的面積.

5、試用向量證明直徑所對的圓周角是直角。

習題三十四曲面及其方程

1、求以點（1,3,-2）為球心，且通過坐標原點的球面方程.

2、一動點與兩定點（2,3,1）和（4,5,6）等距離，求這動點的軌跡方程.

3、將xoy坐標面上的雙曲線4x2-9/=36分別繞x軸及繞y軸旋轉(zhuǎn)一

周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.

4、將yoz面上的拋物線/=5z分別繞y軸及z軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的

旋轉(zhuǎn)曲面的方程.

5、求球面，+/+z2=9與平面x+z=l的交線在xoy面上的投影方程.

2x2+^2+z2=16?

6、分別求母線平行于x軸及夕軸，且通過曲線＜,；,的柱面

x2-y2+z2=0

方程.

7、畫出下列各方程所表示的曲面:

22

(1)——x+y2=1⑵—亨+/=(|)2

49

(3)x=2(4)y2—z=0

8、求由上半球面Z=_72_y2,柱面刀2+J?一以=0及平面Z=0

所圍成的立體在xoy坐標面和xoz坐標面上的投影。

習題三十五平面及其方程

1、一平面過點(1,0,-1)且平行于向量。=(2,1,1)和辦=(1,一1,0),試求:

⑴平面的點法式方程;⑵平面的截距式方程;

⑶平面的?般方程;(4)平面的一個單位法向量.

2、按下列條件求平面方程：

⑴平行于xoz平面且經(jīng)過點(2-5,3)；

⑵通過z軸和點(—3,1,—2)；

⑶平行于x軸且經(jīng)過兩點(4,0-2)和(5,1,7)；

（4）平面過點（5,-7,4）,且在x,y,z三個軸上截距相等.

7F

3、求通過點（3,0,0和