2022－2023學(xué)年山東省煙臺(tái)市招遠(yuǎn)市重點(diǎn)學(xué)校高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第第頁2022－2023學(xué)年山東省煙臺(tái)市招遠(yuǎn)市重點(diǎn)學(xué)校高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）2022－2023學(xué)年山東省煙臺(tái)市招遠(yuǎn)市重點(diǎn)學(xué)校高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知全集，集合，，則()

A.B.C.D.

2.已知復(fù)數(shù)滿足，則()

A.B.C.D.

3.已知底面半徑為的圓錐，其軸截面為正三角形，若它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為，則此圓柱的側(cè)面積為()

A.B.C.D.

4.已知質(zhì)點(diǎn)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓上沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其起點(diǎn)為射線與單位圓的交點(diǎn)，其角速度大小為，設(shè)后射線恰為角的終邊，則()

A.B.C.D.

5.已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)且與軸垂直，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則的離心率為()

A.B.C.D.

6.已知，滿足，，則的值為()

A.B.C.D.

7.已知函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，，若過點(diǎn)和的直線在軸上的截距為，則實(shí)數(shù)的值為()

A.B.C.或D.或

8.教育部為發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國(guó)部分大學(xué)培養(yǎng)教育專業(yè)公費(fèi)師范生，畢業(yè)后分配到相應(yīng)的地區(qū)任教現(xiàn)將名男大學(xué)生，名女大學(xué)生平均分配到甲、乙、丙所學(xué)校去任教，則()

A.甲學(xué)校沒有女大學(xué)生的概率為

B.甲學(xué)校至少有兩名女大學(xué)生的概率為

C.每所學(xué)校都有男大學(xué)生的概率為

D.乙學(xué)校分配名女大學(xué)生，名男大學(xué)生且丙學(xué)校有女大學(xué)生的概率為

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.下列說法正確的有()

A.一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為

B.展開式中項(xiàng)的系數(shù)為

C.相關(guān)系數(shù)表明兩個(gè)變量相關(guān)性較弱

D.若，則

10.已知，且，則()

A.的最大值為B.的最大值為

C.的最小值為D.的最小值為

11.已知點(diǎn)為直線：與軸交點(diǎn)，為圓：上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，，則()

A.取得最小值時(shí)，B.與圓相切時(shí)，

C.當(dāng)時(shí)，D.的最大值為

12.在正四棱柱中，，點(diǎn)滿足，，，則()

A.當(dāng)時(shí)，直線與所成角為

B.當(dāng)時(shí)，的最小值為

C.若與平面所成角為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為

D.當(dāng)時(shí)，平面截此正四棱柱所得截面的最大面積為

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知定義在上的偶函數(shù)，滿足，若，則的值為______．

14.設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，直線垂直軸，，則______．

15.若曲線與曲線有兩條公切線，則的值為______．

16.如圖，某數(shù)陣滿足：每一行從左到右成等差數(shù)列，每一列從上到下成公比相同的等比數(shù)列，數(shù)陣中各項(xiàng)均為正數(shù)，，，，則______；在數(shù)列中的任意與兩項(xiàng)之間，都插入個(gè)相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則______．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

在中，，為中點(diǎn)，．

若，求的面積；

若，求的長(zhǎng)．

18.本小題分

已知數(shù)列，，．

求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

19.本小題分

現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)袋子，每個(gè)袋子中均裝有大小、形狀、質(zhì)地完全相同的個(gè)黑球和個(gè)紅球，若每次分別從兩個(gè)袋子中隨機(jī)摸出個(gè)球互相交換后放袋子中，重復(fù)進(jìn)行次此操作記第次操作后，甲袋子中紅球的個(gè)數(shù)為．

求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

求第次操作后，甲袋子中恰有個(gè)紅球的概率．

20.本小題分

如圖，在中，，，，為中點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直于，將沿翻折，使得面面，點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且面．

求的值；

求二面角的余弦值．

21.本小題分

已知雙曲線的焦距為，點(diǎn)在上．

求雙曲線的方程；

設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，斜率為且不過的直線與交于點(diǎn)，，若為直線，斜率的等差中項(xiàng)，求到直線的距離的取值范圍．

22.本小題分

已知函數(shù)，，其中．

討論方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)；

當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：由題知，，

則．

故選：．

求出再求即可．

本題主要考查了集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

2.【答案】

【解析】解：設(shè)，，，則，

所以，

則，解得或，

所以．

故選：．

設(shè)，，，代入，利用復(fù)數(shù)相等求解．

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

3.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)圓錐的軸截面為，其內(nèi)接圓柱為，設(shè)，

圓錐軸截面為正三角形，則，則有，

則有，解可得，

則圓柱的面積

故選：．

根據(jù)題意，作出圓錐的軸截面三角形，設(shè)其內(nèi)接圓柱為，再設(shè)，分析可得，解可得的值，進(jìn)而計(jì)算可得答案．

本題考查圓柱與圓錐的切接問題，涉及圓柱的表面積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．

4.【答案】

【解析】解：因?yàn)辄c(diǎn)的角速度大小為，則后轉(zhuǎn)過的角為：，

所以，

則．

故選：．

根據(jù)點(diǎn)的角速度，求得后轉(zhuǎn)過的角度，再加上得到求解．

本題主要考查了三角函數(shù)定理，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

5.【答案】

【解析】解：不妨設(shè)在第一象限，由題意，的橫坐標(biāo)為，

令，解得，即，

設(shè)，又，，，

由可得：，解得，

又在橢圓上，即，

整理得，

解得．

故選：．

先求出的坐標(biāo)，根據(jù)得出的坐標(biāo)，根據(jù)在橢圓上列方程求解即可．

本題主要考查了橢圓的性質(zhì)，屬于中檔題．

6.【答案】

【解析】解：因?yàn)椋裕?/p>

即，

顯然，兩邊同除得：

，

，

即，易知，

則，．

故選：．

利用兩角和與差的正余弦公式和三角函數(shù)商數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)得，再利用兩角和與差的正切公式即可得到答案．

本題主要考查了和差角公式及同角基本關(guān)系在三角化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，屬于中檔題．

7.【答案】

【解析】解：由題意有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則，

所以，即或，

由，即，

而，

同理有，

所以、均在上，

令，則，得，

綜上，舍

故選：．

由題意有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則求參數(shù)范圍，再根據(jù)代入、確定已知點(diǎn)所在直線，進(jìn)而求截距并列方程求參數(shù)值．

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．

8.【答案】

【解析】解：將名男大學(xué)生，名女大學(xué)生平均分配到甲、乙、丙所學(xué)校去任教，

共有中分法；

對(duì)于，甲學(xué)校沒有女大學(xué)生，從名男大學(xué)生選人分到甲學(xué)校，

再將剩余的人平均分到乙、丙學(xué)校，共有種分法，

故甲學(xué)校沒有女大學(xué)生的概率為，A錯(cuò)誤；

對(duì)于，甲學(xué)校至少有兩名女大學(xué)生的情況包括恰有兩女大學(xué)生和恰有三女大學(xué)生，

共有種分法，

故甲學(xué)校至少有兩名女大學(xué)生的概率為，B錯(cuò)誤；

對(duì)于，每所學(xué)校都有男大學(xué)生，則男生的分配情況為將男生分為組：人數(shù)為，，或，，，

當(dāng)男生人數(shù)為，，時(shí)，將名女生平均分為組，分到男生人數(shù)為人的兩組，再分到所學(xué)校，

此時(shí)共有種分法；

當(dāng)男生人數(shù)為，，時(shí)，將名女生按人數(shù)，，分為組，

人數(shù)，的組分到男生人數(shù)為，的兩組，名女生的一組分到男生人的那一組，再分到所學(xué)校，

此時(shí)共有種分法；

故每所學(xué)校都有男大學(xué)生的分法有種，

則每所學(xué)校都有男大學(xué)生的概率為，C正確；

對(duì)于，乙學(xué)校分配名女大學(xué)生，名男大學(xué)生共有種分法，

且丙學(xué)校沒有女大學(xué)生的分法有種，

故乙學(xué)校分配名女大學(xué)生，名男大學(xué)生且丙學(xué)校沒有女大學(xué)生的分法有種，

故乙學(xué)校分配名女大學(xué)生，名男大學(xué)生且丙學(xué)校有女大學(xué)生的概率為，D錯(cuò)誤，

故選：．

計(jì)算出將名男大學(xué)生，名女大學(xué)生平均分配到甲、乙、丙所學(xué)校去任教共有的分法種數(shù)，再結(jié)合每個(gè)選項(xiàng)里的具體要求求出符合其要求的分法種數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式，即可求得相應(yīng)概率，可判斷，，，利用對(duì)立事件的概率計(jì)算可判斷．

本題主要考查了排列組合知識(shí)，考查了古典概型的概率公式，屬于中檔題．

9.【答案】

【解析】解：對(duì)于，一組數(shù)據(jù)從小到大重新排列可得，

所以中位數(shù)為，故A正確；

對(duì)于，設(shè)展開式的通項(xiàng)為，

令可得展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，故B正確；

對(duì)于，相關(guān)系數(shù)取值一般在之間，絕對(duì)值越接近說明變量之間的線性關(guān)系越強(qiáng)，絕對(duì)值越接近說明變量間線性關(guān)系越弱，

相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值一般在以上，認(rèn)為兩個(gè)變量有強(qiáng)的相關(guān)性，到之間，可以認(rèn)為有弱的相關(guān)性，以下，認(rèn)為沒有相關(guān)性，

所以相關(guān)系數(shù)表明兩個(gè)變量相關(guān)性較強(qiáng)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于，若，則，則，故D正確．

故選：．

一組數(shù)據(jù)從小到大重新排列由中位數(shù)定義可判斷；利用展開式的通項(xiàng)可判斷；根據(jù)相關(guān)系數(shù)定義及意義可判斷；根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可判斷．

本題主要考查了中位數(shù)的計(jì)算，考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，以及相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．

10.【答案】

【解析】解：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；

因?yàn)?，所以?/p>

即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；

由得，所以，

因?yàn)椋?/p>

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；

令，則，所以的最小值不是，D錯(cuò)誤．

故選：．

利用基本不等式可判斷；先將化為，再妙用“”可判斷；取特值可判斷．

本題主要考查了基本不等式及相關(guān)結(jié)論在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．

11.【答案】

【解析】解：因：，令，得，

故，

：，圓心，半徑，

選項(xiàng)A：

如圖，根據(jù)圓的性質(zhì)當(dāng)位于軸上時(shí)，取得最小值，

此時(shí)，故A正確；

選項(xiàng)B：

當(dāng)與圓相切時(shí)，

，

故B正確；

選項(xiàng)C：

設(shè)，

則，，

當(dāng)時(shí)，，

故，

又，

得，

，，

，

若，則，

又得，，，

此時(shí)，

這與點(diǎn)在圓上矛盾，故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：

設(shè)外接圓圓心為，半徑為，

由題意可得在中垂線上，可設(shè)其坐標(biāo)為，

則，，

由正弦定理知，

所以，

當(dāng)最小，即外接圓與圓相內(nèi)切時(shí)，的最大值，

此時(shí)圓心距等于兩圓半徑之差，則，

兩邊同時(shí)平方可得，

，故D正確．

故選：．

：取得最小值時(shí)位于即軸上，根據(jù)三角形面積公式可得．

：直接在直角三角形利用勾股定理可得．

：運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示和對(duì)于坐標(biāo)運(yùn)算可得．

：根據(jù)正弦定理，將求的最大值轉(zhuǎn)化為求外接圓半徑最小，此時(shí)，外接圓與圓相內(nèi)切，根據(jù)內(nèi)切半徑差等于圓心距可得外接圓半徑，進(jìn)而可得．

本題考查直線與圓的綜合運(yùn)用，考查向量思想以及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

12.【答案】

【解析】解：對(duì)于，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，

所以，，，

所以為等邊三角形，所以直線與所成角為，對(duì)；

對(duì)于，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上，此時(shí)把正四棱柱的后面和右面展開，如圖：

的最小值為，錯(cuò)；

對(duì)于，因?yàn)辄c(diǎn)滿足，

所以點(diǎn)在平面內(nèi)，

平面，連接，

則即為與平面所成角，

若與平面所成角為，則，

所以，

即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的個(gè)圓，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為，C正確；

對(duì)于，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上，且，

過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，

所以，

所以四邊形為平面截此正四棱柱所得截面，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則根據(jù)題意可得：

，，，

所以，

，

點(diǎn)到直線的距離為：

，

所以四邊形的面積，

令，

所以，

所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)取得最大值，此時(shí)截面面積最大為，D正確．

故選：．

對(duì)于，當(dāng)時(shí)可知點(diǎn)為的中點(diǎn)，從而可以判斷為等邊三角形，即可判斷；對(duì)于，當(dāng)時(shí)可得點(diǎn)在上，此時(shí)把正四棱柱的后面和右面展開，從而可判斷；對(duì)于，連接，可得即為與平面所成角，從而可得點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的個(gè)圓，即可判斷；對(duì)于，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，可得四邊形為平面截此正四棱柱所得截面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷．

本題考查立體幾何的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)，的取值得到點(diǎn)的位置，進(jìn)而結(jié)合選項(xiàng)轉(zhuǎn)化相應(yīng)問題，然后利用相關(guān)知識(shí)解答即得．

13.【答案】

【解析】解：因?yàn)?，所以，所以的周期為?/p>

所以，，，

即，

若，則，

即，

可得，所以．

故答案為：．

根據(jù)得的周期為，且，再由可得答案．

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性及周期性在函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

14.【答案】

【解析】解：由題意得，因?yàn)橹本€垂直于軸，，準(zhǔn)線方程為，

所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，設(shè)，，

根據(jù)拋物線的定義知，解得，

則：，則，可設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立拋物線方程有可得，

，，則，

則，解得，則．

故答案為：．

根據(jù)拋物線定義求出，再設(shè)直線的方程為，得到韋達(dá)定理式，求出點(diǎn)橫坐標(biāo)，再利用拋物線定義即可求出的長(zhǎng)．

本題主要考查拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題．

15.【答案】

【解析】解：令，，

則，，

設(shè)，

則曲線在處切線為：，

設(shè)，

則曲線在處切線為：，

由題意，消去得，

由題意，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

令，則，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

故當(dāng)時(shí)，取極大值；當(dāng)時(shí)，取極小值，

又當(dāng)時(shí)，根據(jù)以上信息作出的大致圖象，

由圖可知當(dāng)，即時(shí)，直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，從而方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

所以曲線與曲線有兩條公切線時(shí)，的值為．

故答案為：．

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分別寫出兩曲線的切線方程，讓兩切線方程的系數(shù)相等，得到方程組，消去一個(gè)變量后，問題轉(zhuǎn)化為方程的根的個(gè)數(shù)問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其性質(zhì)，作出圖象，數(shù)形結(jié)合求解即可．

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬于中檔題．

16.【答案】

【解析】解：設(shè)第一行公差為，各列的公比為且，且，

則，，，，

所以，則，

由各項(xiàng)均為正數(shù)，故，則，即，

綜上，，故，

由上，前項(xiàng)為，，，，，，，，，，，，且，

故在之前共有項(xiàng)，

則，則，

綜上，前項(xiàng)為，，，，，，，，，，，，，，，，

．

故答案為：；．

設(shè)第一行公差為，各列的公比為且，結(jié)合已知條件求得，即可寫出通項(xiàng)公式，再根據(jù)題意確定前項(xiàng)的組成，應(yīng)用分組求和、等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求和即可．

本題主要考查數(shù)列的求和，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

17.【答案】解：在中，，

由余弦定理可知，

因?yàn)椋裕?/p>

所以；

在中，設(shè)，，

則由正弦定理，

即，得，，所以，

，

所以，

所以，

由正弦定理得：，即．

【解析】在中，先利用余弦定理求出角，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解；

在中，先利用正弦定理及二倍角的正弦公式求出及，再利用正弦定理求解即可．

本題主要考查解三角形，正余弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

18.【答案】解：由得，，

所以時(shí)，，

故，又，則，當(dāng)時(shí)，成立，

所以，．

由知，，

所以，

，

因?yàn)?，?/p>

于是，

，

所以，，

故數(shù)列的前項(xiàng)和為．

【解析】先把題干條件等價(jià)變成，然后用累加法進(jìn)行求解；

結(jié)合特殊的三角函數(shù)值，利用分組求和進(jìn)行求解．

本題主要考查數(shù)列的求和，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．

19.【答案】解：由題知，的所有可能取值為、、，

，，，

所以的分布列為：

所以的數(shù)學(xué)期望．

由題知，，

又，

所以，，

整理得，，

所以，

又因?yàn)椋?/p>

所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

所以，

所以，

即．

【解析】由題意可知，的所有可能取值為、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)而可求得的值；

由已知條件推導(dǎo)得出，可得出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得的表達(dá)式，即的表達(dá)式．

本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題．

20.【答案】解：因?yàn)槊婷?，面?/p>

由題意可知，，，所以，

過點(diǎn)作垂直于點(diǎn)，連接，

因?yàn)?，平面，平面?/p>

所以平面，

又因?yàn)槠矫?，，，平面?/p>

所以平面平面，

又因?yàn)槊婷?，平面平面?/p>

所以．

因?yàn)椋?，所以，?/p>

在折疊前的圖形中，，所以，

易知為的中點(diǎn)，所以，

所以，所以，．

由知，以為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，

易知平面的一個(gè)法向量，

，

設(shè)平面的法向量為，

所以，令，則，，故，

所以，

所以二面角的余弦值為．

【解析】作垂直于點(diǎn)，連接，然后證明面面，利用面面垂直性質(zhì)定理，結(jié)合已知可得；

以為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求解可得．

本題主要考查二面角的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

21.【答