廣東省汕尾市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁/共1頁2023-2024學(xué)年度高中一年級教學(xué)質(zhì)量測試數(shù)學(xué)本試題共4頁，考試時間120分鐘，總分150分注意事項：1.答題前，考生先將自己的信息填寫清楚、準確，將條形碼準確粘貼在條形碼粘貼處.2.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.3.答題時請按要求用筆，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄鈹，不得使用涂改液、修正帶、刮紙刀.考試結(jié)束后，請將本試題及答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)（）A.1 B.0或1 C.1或2 D.1或3【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，可得，解方程即可得出答案.【詳解】因為復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以，解得：或，故選：B.2.已知，，，則（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】依題意設(shè)，根據(jù)向量模的坐標表示得到方程，解得即可.【詳解】因為，，故設(shè)，又，所以，解得，所以或.故選：D3.將函數(shù)的圖象向左平移個周期后所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)的最小正周期，直接根據(jù)平移規(guī)律即可得結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)的最小正周期為，即，故向左平移個周期后所得，故選：D.4.已知直線，，和平面，則下列命題正確的是（）A.若，，則B.若，，，，則C.若，，，，則D.若，，則【答案】B【解析】【分析】根據(jù)線線、線面位置關(guān)系有關(guān)知識對選項進行分析，由此確定正確答案.【詳解】A選項，若，，可能，所以A選項錯誤.B選項，若，，，，則，所以B選項正確.C選項，若，，，，當時，與不一定垂直，所以C選項錯誤.D選項，若，，可能，所以D選項錯誤.故選：B5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再由二倍角公式計算可得.【詳解】因為，，所以，所以.故選：C6.在正三棱柱中，為棱的中點，，則直線與直線所成角的余弦值為（）A.0 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】取的中點，的中點，連接，則可得為直線與直線所成角，然后在中求解即可.【詳解】取的中點，的中點，連接，則∥，，因為為棱的中點，為的中點，∥，，所以∥，，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，，因為∥，，所以∥，，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，所以為直線與直線所成角，因為在正三棱柱中，，所以，，在中，由余弦定理得，所以直線與直線所成角的余弦值為0，故選：A7.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正弦定理進行角化邊，再由余弦定理可解.【詳解】根據(jù)題意，，利用正弦定理得：，再結(jié)合，可得，由余弦定理：，所以D選項正確.故選：D8.如圖，在邊長為2的正方形中，，分別是，的中點，將，，分別沿，，折起，使得三點重合于點，若三棱錐的所有頂點均在球的球面上，則球的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，把三棱錐可補成一個長方體，利用長方體的對角線長求得外接球的半徑，結(jié)合球的體積公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，可得，且，所以三棱錐可補成一個長方體，則三棱錐的外接球即為長方體的外接球，如圖所示，設(shè)長方體的外接球的半徑為，可得，所以，所以外接球的體積為.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，，則下列說法正確的有（）A. B.C. D.在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱【答案】AB【解析】【分析】分別應(yīng)用共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的除法法則和復(fù)數(shù)的幾何意義進行求解.【詳解】對于選項A，，故選項A正確；對于選項B，，，所以，故選項B正確；對于選項C，，故選項C錯誤；對于選項D，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，對應(yīng)的點為，點關(guān)于實軸對稱，故選項D錯誤.故選：AB.10.已知函數(shù)，，且的最小正周期為，則下列說法正確的有（）A.B.當時，的最小值為1C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.若為偶函數(shù)，則正實數(shù)的最小值為【答案】AD【解析】【分析】化簡函數(shù)為，可判定A正確，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項判定，可判定B、C錯誤，D正確.【詳解】由，因為的最小正周期為，所以，所以，所以A正確；當，可得，當時，即時，函數(shù)取得最小值，最小值為，所以B不正確；當，可得，所以函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，所以C不正確；由，若函數(shù)為偶函數(shù)，可得，即，解得，解得，當時，，所以正實數(shù)的最小值為，所以D正確.故選：AD.11.下列說法正確的有（）A.若，滿足，，則的最大值為3B.向量在向量上的投影向量為C.若，，且，則D.若圓中，弦長為4，則【答案】BD【解析】【分析】對于A，由結(jié)合已知可求出其最大值，對于B，由投影向量的定義判斷，對于C，根據(jù)已知條件直接求解即可，對于D，由數(shù)量積的定義結(jié)合圓的性質(zhì)求解.【詳解】對于A，因，，所以，因為，所以當時，取得最大值5，所以A錯誤，對于B，向量在向量上的投影向量為，所以B正確，對于C，由，，得，因為，所以或，所以C錯誤，對于D，因為在圓中，弦的長為4，所以，所以D正確，故選：BD12.在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點，則（）A.直線與直線是異面直線B.直線與直線共面C.直線與平面所成角的正弦值為D.點到平面的距離為【答案】ABD【解析】【分析】由異面直線的定義判斷A；連接，由題意可得，所以四點共面，可判斷B；由線面角的定義可判斷C；由等體積法可判斷D．【詳解】對于A，因為平面，平面，平面，由異面直線的定義可得，直線與是異面直線，故A正確；對于B，連接，由正方體的性質(zhì)知，因為，又因為，所以，所以四點共面，所以直線與直線共面，故B正確；對于C，取的中點，連接，由正方體的性質(zhì)知：平面，所以是直線與平面所成角，所以，，故C錯誤；對于D，設(shè)點到平面的距離為，所以，因為，，取的中點，連接，由正方體的性質(zhì)知：平面，連接，所以，，，所以，所以，，所以由可得：，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.化簡______.【答案】##【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求解即可【詳解】，故答案為：14.已知圓錐的表面積為，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑是______．【答案】【解析】【分析】設(shè)出圓錐的底面半徑，由它的側(cè)面展開圖是一個半圓，分析出母線與半徑的關(guān)系，結(jié)合圓錐的表面積為，構(gòu)造方程，可求出半徑.【詳解】設(shè)圓錐的底面的半徑為，圓錐的母線為，則由得，而故，解得，故答案為：.【點睛】本題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計算．解題思路：解決此類問題時要緊緊抓住兩者之間的兩個對應(yīng)關(guān)系：圓錐的母線長等于側(cè)面展開圖的扇形半徑；圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長．正確理解這兩個關(guān)系是解題的關(guān)鍵．15.在平行四邊形中，，，，則______.【答案】24【解析】【分析】根據(jù)向量的加法運算，以及向量的模長公式即可求解.【詳解】由于,所以，故，故答案為：16.如圖是古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構(gòu)成，直徑分別是直角三角形的斜邊，直角邊，，點在以為直徑的半圓上，延長，交于點.若，，，則的面積是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得到，再用正弦的和角公式求解，再求出，由三角形的面積公式即可得出答案.【詳解】由題意得：，所以，故，所以，因為，所以故，因為，，，所以，又因為，，所以，所以的面積是.故選：A.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知點，，.（1）若，是實數(shù)，且，求的值；（2）求與的夾角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出的坐標，利用數(shù)量積為0，列出關(guān)于的方程，解出即可得結(jié)果；（2）直接根據(jù)向量夾角公式即可得結(jié)果.【小問1詳解】∵，，，∴，，，故∵∴解得【小問2詳解】∵，，，∴，故與的夾角的余弦值為.18.已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）在中，若，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通過誘導(dǎo)公式以及輔助角公式將化成三角函數(shù)的一般形式，進而可得周期；（2）代入（1）式可得的值，將表示成關(guān)于的三角函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果.【小問1詳解】∴的最小正周期為.【小問2詳解】由，即，，得，即，∴∵，∴∴當，即時，取得最大值19.如圖，在正方體中，，分別為棱，的中點，是線段上的動點.證明：（1）平面；（2）平面.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）連接交于點，連接，由三角形中位線定理可得，進而可得線面平行；（2）連接，，連接交于點，連接，通過線面平行得出平面平面，進而得出結(jié)果.【小問1詳解】（1）如圖，連接交于點，連接.∵為的中點，為的中點，∴為的中位線，∴.又∵平面，平面，∴平面【小問2詳解】連接，，連接交于點，連接，如圖.在正方體中，，∵平面，平面，∴平面.又為的中位線，∴∵平面，平面，∴平面.又∵平面，平面，，∴平面平面.∵平面，∴平面.20.記的內(nèi)角，，的對邊分別是，，，已知.（1）求；（2）若，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，即可求出，從而得解；（2）利用余弦定理求出，再由面積公式計算可得.【小問1詳解】在中，由正弦定理及，得，又在中，，∴，∴，∵，∴【小問2詳解】在中，由余弦定理可知，又∵，∴，解得或（舍去），故的面積為.21.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，為棱的中點.證明：（1）平面；（2）平面平面.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）依題意可得，再由線面垂直得到，即可得到平面，從而得到，即可得證；（2）設(shè)的中點為，連接，則，再證明平面，即可得到，從而得到平面，即可得證.【小問1詳解】∵，且為的中點，∴，∵平面，平面，∴，∵在正方形中，，又∵，平面，，∴平面，又∵平面，∴，∵，平面，，∴平面.【小問2詳解】設(shè)的中點為，連接，如圖.∵，∴，又∵，，，平面，，∴平面，∵平面，∴，又∵，平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面.22.如圖，已知直線，是，之間的一個定點，且點到，的距離分別為1，2，是直線上的一個動點，作，且使與直線交于點.設(shè)，的面積為.（1）求的最小值；（2）已知，，若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）2（2）答案見解析【解析】【分析】（1）解和分別可得，，則的面積，根據(jù)的范圍即可求的最小值；（2）原不等式恒成立可轉(zhuǎn)化為恒成立，令，可得，再令，根據(jù)的范