四隨機變量的數(shù)字特征課件

第四章隨機變量的數(shù)字特征第一節(jié)數(shù)學期望第二節(jié)方差第三節(jié)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)第四節(jié)矩、協(xié)方差矩陣第四章隨機變量的數(shù)字特征第一節(jié)數(shù)學期望第二節(jié)1第一節(jié)數(shù)學期望上一頁下一頁返回X---打靶得分，“脫靶”記0分，“中靶未中靶心”記1分，“中靶心”記2分X---打靶得分，“脫靶”記0分，“中靶未中若統(tǒng)計100天,可以得到這100天中每天的平均廢品數(shù)為引例：某車間對工人的生產(chǎn)情況進行考察.車工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù)X是一個隨機變量.如何定義X的平均值呢？32天沒有出廢品;30天每天出一件廢品;17天每天出兩件廢品;21天每天出三件廢品;這個數(shù)能否作為X的平均值呢？第一節(jié)數(shù)學期望上一頁下一頁返回X---打靶得分，“脫靶”2

可以想象，若另外統(tǒng)計100天，車工小張不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數(shù)與前面的100天一般不會完全相同，這另外100天每天的平均廢品數(shù)也不一定是1.27.n0天沒有出廢品;n1天每天出一件廢品;n2天每天出兩件廢品;n3天每天出三件廢品.可以得到n天中每天的平均廢品數(shù)為

一般來說,若統(tǒng)計n天,(假定小張每天至多出三件廢品)

可以想象，若另外統(tǒng)計100天，車工小張不出廢品，出一3這是以頻率為權(quán)的加權(quán)平均由頻率和概率的關(guān)系

不難想到，在求廢品數(shù)X的平均值時，用概率代替頻率，得平均值為這是以概率為權(quán)的加權(quán)平均這樣得到一個確定的數(shù).我們就用這個數(shù)作為隨機變量X的平均值.這是由頻率和概率的關(guān)系不4則對X作一系列觀察(試驗)，所得X的試驗值的平均值也是隨機的.由此引入離散型r.vX的數(shù)學期望的定義如下:

對于一個隨機變量X，若它可能取的值是x1,x2,…,相應(yīng)的概率為p1,p2,…,

但是，如果試驗次數(shù)很大，出現(xiàn)xk的頻率會接近于pk，于是可期望試驗值的平均值接近則對X作一系列觀察(試驗)，所得X的試驗值的平均值也是隨機的5為隨機變量X的數(shù)學期望，簡稱期望，記為E(X)，即為隨機變量X的數(shù)學期望，簡稱期望，記為E(X)，即6

E(X)是一個實數(shù)，形式上是X的可能值的加權(quán)平均數(shù)，實質(zhì)上它體現(xiàn)了X取值的真正平均。又稱E(X)為X的平均值，簡稱均值。它完全由X的分布所決定，又稱為分布的均值.上一頁下一頁返回E(X)是一個實數(shù)，形式上是X的可能值的加7例1:某種產(chǎn)品即將投放市場，根據(jù)市場調(diào)查估計每件產(chǎn)品有60%的把握按定價售出，20%的把握打折售出及20%的可能性低價甩出。上述三種情況下每件產(chǎn)品的利潤分別為5元，2元和-4元。問廠家對每件產(chǎn)品可期望獲利多少？解:設(shè)X表示一件產(chǎn)品的利潤(單位：元),X的分布率為X52-4P0.60.20.2

X的數(shù)學期望:雖然任一件產(chǎn)品投放市場都有虧損的風險，但每件產(chǎn)品的平均利潤為2.6元，還是有利可圖的。上一頁下一頁返回例1:某種產(chǎn)品即將投放市場，根據(jù)市場調(diào)查估計每件產(chǎn)品有608例2:

設(shè)隨機變量X取值為試問隨機變量X的數(shù)學期望是否存在?解:例3：設(shè)的概率密度為：解:例2:設(shè)隨機變量X取值為試問隨機變量X的數(shù)學期望是否存在9例3：設(shè)X服從參數(shù)為p的（0-1）分布，求E(X)。解：X的分布律為X01Pqp0<p<1,q=1-p常用隨機變量的數(shù)學期望：上一頁下一頁返回例3：設(shè)X服從參數(shù)為p的（0-1）分布，求E(X)。解：10例4：設(shè)X~b(n，p)，求E(X)。解：X的分布律為則：上一頁下一頁返回例4：設(shè)X~b(n，p)，求E(X)。解：X的分布律為11上一頁下一頁返回上一頁下一頁返回12例6：設(shè)X~U(a，b)，求E(X)。上一頁下一頁返回例6：設(shè)X~U(a，b)，求E(X)。上一頁下一頁返回13上一頁下一頁返回上一頁下一頁返回14定理1:

設(shè)Y是隨機變量X的函數(shù)，即Y=g(X),g(x)是連續(xù)函數(shù)。隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望：上一頁下一頁返回定理1:設(shè)Y是隨機變量X的函數(shù)，即Y=g(X),g(x)是15推廣：

設(shè)Z是隨機向量（X,Y）的函數(shù)，即Z=g(X,Y)（g(x,y)是連續(xù)函數(shù)）上一頁下一頁返回有：推廣：設(shè)Z是隨機向量（X,Y）的函數(shù)，即Z=g(X,Y)16例8：設(shè)圓的直徑X～U(a,b)，求圓的面積的期望。上一頁下一頁返回例8：設(shè)圓的直徑X～U(a,b)，求圓的面積的期望。上一頁17例:(P89)xy210Y=2-2xA例:(P89)xy210Y=2-2xA18定理2：

設(shè)隨機變量X,Y的數(shù)學期望E(X),E(Y)存在.隨機變量數(shù)學期望的性質(zhì)：上一頁下一頁返回定理2：設(shè)隨機變量X,Y的數(shù)學期望E(X),E(Y)存在.19例9：將n封不同的信的n張信箋與n個信封進行隨機匹配，記X表示匹配成對數(shù)，求E（X）。上一頁下一頁返回例9：將n封不同的信的n張信箋與n個信封進行隨機匹配，記X表20例:(P91)例:(P91)21第二節(jié)方差引例：X---甲廠燈泡的壽命,Y---乙廠燈泡的壽命甲：0.50.5pk950930X問:哪個廠的燈泡質(zhì)量好?乙：0.50.250.25pk1100980580Y顯然，甲廠燈泡取值集中，而乙廠燈泡取值分散，所以甲廠燈泡應(yīng)該更好一些第二節(jié)方差引例：X---甲廠燈泡的壽命,Y---乙廠燈22我們需要引進一個量來描述r.v.X的取值分散程度，即X的取值與E(X)的偏離程度偏離的度量：平均偏離：絕對值（不好研究）但是，絕對值（大）平方（大)所以我們研究方差我們需要引進一個量來描述r.v.X的取值分散程度，即23上一頁下一頁返回上一頁下一頁返回24上一頁下一頁返回上一頁下一頁返回25上一頁下一頁返回上一頁下一頁返回26方差的性質(zhì)設(shè)隨機變量X與Y的方差存在，則上一頁下一頁返回方差的性質(zhì)設(shè)隨機變量X與Y的方差存在，則上一頁下一頁返回27例:(P96)例:(P96)28幾種重要隨機變量的數(shù)學期望與方差X01P1-pp上一頁下一頁返回設(shè)：X=“n次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)”幾種重要隨機變量的數(shù)學期望與方差X01上一29顯然,p1-ppk10Xi顯然,p1-ppk10Xi30上一頁下一頁返回上一頁下一頁返回31上一頁下一頁返回上一頁下一頁返回32四隨機變量的數(shù)字特征ppt課件33上一頁下一頁返回,因而正態(tài)分布完全可由它的均值和方差確定。上一頁下一頁返回,因而正態(tài)分布完全可由它的均值和方差確定。34上一頁下一頁返回例:(P98)上一頁下一頁返回例:(P98)35第三節(jié)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)上一頁下一頁返回第三節(jié)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)上一頁下一頁返回36若(X,Y)為二維離散型隨機變量，其聯(lián)合分布律為P{X=xi，Y=yj}=pij，i,j=1,2,…若(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x,y)上一頁下一頁返回若(X,Y)為二維離散型隨機變量，其聯(lián)合分布律為若(X,Y)37上一頁下一頁返回略上一頁下一頁返回略38證明（1）（2）因為X,Y相互獨立，有證明（1）（2）因為X,Y相互獨立，有39上一頁下一頁返回X,Y不相關(guān)(弱)X,Y相互獨立(強)(沒有線性關(guān)系）(沒有任何關(guān)系）稱上一頁下一頁返回X,Y不相關(guān)(弱)X,Y相互獨立(強)(沒有40上一頁下一頁返回上一頁下一頁返回41上一頁下一頁返回上一頁下一頁返回42上一頁下一頁返回上一頁下一頁返回43上一頁下一頁返回不相關(guān)獨立正態(tài)上一頁下一頁返回不相關(guān)獨立正態(tài)44第四節(jié)矩、協(xié)方差矩陣上一頁下一頁返回第四節(jié)矩、協(xié)方差矩陣上一頁下一頁返回45設(shè)n維隨機變量(X1,X2,···Xn)