理論力學-動量矩定理課件

第三篇動力學理論力學第11章動量矩定理第三篇動力學理論力學第11章動量矩定理1第11章動量矩定理

在動力學普遍定理中，動量定理和動量矩定理屬于同一類型的方程，即均為矢量方程。質點系的動量和動量矩，可以理解為動量組成的系統(tǒng)（動量系）的基本特征量——動量系的主矢和主矩。兩者對時間的變化率等于外力系的基本特征量——力系的主矢和主矩。

本章主要研究： 1、質點系的動量矩定理

2、剛體定軸轉動微分方程 3、剛體平面運動微分方程

第11章動量矩定理在動力學普遍定理中，動量定理和動量2？

幾個有意義的實際問題誰最先到達頂點第11章動量矩定理？幾個有意義的實際問題誰最先到第11章動量矩定理3？沒有尾槳的直升飛機是怎么飛起來的？沒有尾槳的直升飛機是怎么飛起來的4貓在自由下落的過程中是如何轉身的貓在自由下落的過程中是如何轉身的5

動量矩定理與動量矩守恒

質點系的動量矩

質點系的動量矩定理

第11章動量矩定理動量矩定理與動量矩守恒質點系的動量矩質點系的6

動量矩定理與動量矩守恒

質點系的動量矩

質點的動量對點O之矩為

稱為第i個質點對點O的動量矩。

質點系的動量矩即是動量系的主矩，它是質點系中各質點的動量對點O之矩的矢量和：

動量矩定理與動量矩守恒質點系的動量矩質點的動量對7●質點系相對固定點的動量矩定理

物理學中關于質點的動量矩定理：

將等號兩側對整個質點系中所有質點求和，得到

動量矩定理與動量矩守恒

質點系的動量矩定理

●質點系相對固定點的動量矩定理物理學中關于質點的動量矩定8

注意到微分和求和運算可以互換，以及內(nèi)力必成對出現(xiàn)，上式可簡化為

或者寫成

質點系相對固定點的動量矩對時間的一階導數(shù)等于作用在該質點系上的外力系對同一點的主矩。這就是質點系相對定點的動量矩定理(theoremofthemomentofmomemtumwithrespecttoagivenpoint)。

動量矩定理與動量矩守恒

質點系的動量矩定理

●質點系相對固定點的動量矩定理

注意到微分和求和運算可以互換，以及內(nèi)力必成對出現(xiàn)，上式可9動量矩定理的微分形式

動量矩定理與動量矩守恒

質點系的動量矩定理

將上述二式積分，得到動量矩定理的積分形式

質點系動量矩定理的積分形式，與上一章介紹的沖量定理一起，構成了用于解決碰撞問題的基本定理。動量矩定理的微分形式動量矩定理與動量矩守恒質點系10動量矩定理的投影形式——質點系相對定軸的動量矩定理

比照力對點之矩與力對軸之矩的關系，可以得到動量對點之矩在過該點之軸上的投影等于該動量對該軸之矩。

動量矩定理與動量矩守恒

質點系的動量矩定理

動量矩定理的投影形式——質點系相對定軸的動量矩定理比照11

均質圓輪半徑為R、質量為m

。圓輪在重物

帶動下繞固定軸

O

轉動，已知重物重量為W。求：重物下落的加速度OW例題

剛體定軸轉動微分方程

均質圓輪半徑為R、質量為m。圓輪在重物帶動下繞12

解：以圓輪和重物組成的質點系為研究對象。設圓輪的角速度和角加速度分別為

和

，重物的加速度為aP。圓輪對O軸的動量矩重物對O的軸動量矩系統(tǒng)對O的軸總動量矩

OWa

P例題2

剛體定軸轉動微分方程

解：以圓輪和重物組成的質點系為研究對象。設圓輪的角速度和角13應用動量矩定理例題2

剛體定軸轉動微分方程

OWa

P

解：系統(tǒng)對O的軸總動量矩其中aP=R

應用動量矩定理例題2剛體定軸轉動微分方程OWa141、若外力矩則這表明質點系對該點的動量矩守恒

動量矩定理與動量矩守恒

質點系的動量矩定理

●動量矩定理的守恒形式

例如

2、當外力對某定軸的主矩等于零，質點系對該軸的動量矩守恒。1、若外力矩則這表明質點系對該點的動量矩守恒動量矩15？誰最先到達頂點

動量矩定理與動量矩守恒

質點系的動量矩定理

●動量矩定理的守恒形式

？誰最先到動量矩定理與動量矩守恒質點系的動量矩定理16

剛體定軸轉動微分方程第11章動量矩定理剛體定軸轉動微分方程第11章動量矩定理17設剛體饒定軸z轉動，如圖所示，其角速度與角加速度分別為

和

。剛體上第i個質點的質量為mi，到軸z的距離為ri，則剛體對定軸的動量矩為

剛體定軸轉動微分方程

稱為剛體對軸z的轉動慣量(momentofinertia)。

其中設剛體饒定軸z轉動，如圖所示，其角速度與角加速度分18該式即為剛體定軸轉動微分方程。即剛體對定軸轉動的轉動慣量與角加速度的乘積，等于作用在剛體上的主動力系對該軸之矩。

剛體定軸轉動微分方程

該式即為剛體定軸轉動微分方程。即剛體對定軸轉動的轉動慣量與角19例題1

圖示鐘擺簡化模型中，已知均質細桿和均質圓盤的質量分別為m1

、m2，桿長為l，圓盤直徑為d。解：擺繞O軸作定軸轉動。設?

為任意時刻轉過的角度，規(guī)定逆時針為正。根據(jù)定軸轉動的微分方程?試求：鐘擺作小擺動時的周期。

剛體定軸轉動微分方程

例題1圖示鐘擺簡化模型中，已知均質細桿和均質圓20解：分析受力，建立鐘擺的運動微分方程?m1gm2gFxFy例題1

剛體定軸轉動微分方程

微小擺動時，有

化為標準形式，擺的周期為

解：分析受力，建立鐘擺的運動微分方程?m1gm2gFxFy例21擺的周期為根據(jù)物理學中關于轉動慣量的定義

其中JO1和JO2分別為桿和圓盤對于轉動軸的轉動慣量。φm1m2例題1

剛體定軸轉動微分方程

擺的周期為根據(jù)物理學中關于轉動慣量的定義其中JO1和JO22

相對質心的動量矩定理

第11章動量矩定理相對質心的動量矩定理第11章動量矩定理23

相對質心的動量矩定理

在質點系相對于慣性參考系中固定點（或固定軸）的動量矩定理中，動量矩由系統(tǒng)的絕對運動所確定。

這里討論質點系相對于質點系的質心或通過質心的動軸的動量矩定理，一方面是因為它有廣泛的應用價值，另一方面動量矩定理仍保持了簡單的形式。相對質心的動量矩定理在質點系相對于慣性參考系中固24

相對質心的動量矩定理

質點系相對質心的動量矩

Oxyz為固定坐標系，建立在質心C上隨質心平移的動坐標系為Cx′y′z′。質點系內(nèi)第i個質點的質量為mi，相對質心的位矢為r′i，相對質心的速度為vir。

相對質心的動量矩定理質點系相對質心的動量矩25根據(jù)動量矩定義，質點系相對質心的動量矩應為

其中vi為第I個質點的絕對速度。注意到

則有

相對質心的動量矩定理

質點系相對質心的動量矩

即有根據(jù)動量矩定義，質點系相對質心的動量矩應為其中vi為26

質點系相對固定點的動量矩與質點系相對質心的動量矩之間存在確定的關系。質點系相對固定點的動量矩為

相對質心的動量矩定理

質點系相對質心的動量矩

因為因為所以有所以有質點系相對固定點的動量矩與質點系相對質心的動量矩之間存在27根據(jù)上式和質點系對固定點的動量矩定理，

相對質心的動量矩定理

質點系相對質心的動量矩定理

根據(jù)上式和質點系對固定點的動量矩定理，相對質心的動量28

剛體平面運動微分方程

第11章動量矩定理剛體平面運動微分方程第11章動量矩定理29取質心C為基點，其坐標為xC、yC，設D為剛體上任意一點，CD與x軸的夾角為φ,則剛體的位置可由xC、yC和φ確定。

將剛體的運動分解為隨質心的平移和繞質心的轉動兩部分。當剛體具有質量對稱面、且質量對稱面平行于運動平面時，則在固連于質心的平移參考系中，剛體對質心的動量矩為xCyC

剛體平面運動微分方程

取質心C為基點，其坐標為xC、yC，設D為剛體上任30其中JC為剛體對通過質心C且與運動平面垂直的軸的轉動慣量，

為角速度。

xCyC

剛體平面運動微分方程

當作用于剛體上的力系等價于質量對稱面內(nèi)的一個平面力系時，對剛體平面運動，應用質心運動定理和相對質心動量矩定理，有

其中JC為剛體對通過質心C且與運動平面垂直的軸的轉動慣量31這就是剛體平面運動的微分方程。

或者

剛體平面運動微分方程

這就是剛體平面運動的微分方程?；蛘邉傮w平面運動微分方程32例題3

半徑為r的勻質圓盤從靜止開始，沿傾角為θ的斜面無滑動的滾下。試求：

1．圓輪滾至任意位置時的質心加速度aC；2．圓輪在斜面上不打滑的最小靜摩擦因數(shù)。

剛體平面運動微分方程

例題3半徑為r的勻質圓盤從靜止開始，沿傾角為33aCα解：分析圓輪受力

圓輪作平面運動。根據(jù)剛體平面運動微分方程，有

FFN1．確定圓輪質心的加速度例題3

剛體平面運動微分方程

aCα解：分析圓輪受力圓輪作平面運動。根據(jù)剛體平面運動34運動學補充關系

aCαFFN（4）式代入（3）式，得

代入（1）式，得例題3

剛體平面運動微分方程

運動學補充關系aCαFFN（4）式代入（3）式，得代入（35解：2．確定圓輪在斜面上不滑動的最小靜摩擦因數(shù)

此即圓輪在斜面上不滑動的最小靜摩擦因數(shù)。aCαFFN例題3

剛體平面運動微分方程

解：2．確定圓輪在斜面上不滑動的此即圓輪在斜面上不滑動的36

均質桿AB長為l，放放置于鉛垂平面內(nèi)，桿一端A靠在光滑的鉛垂墻上，另一端B放在光滑的水平面上，與水平面的夾角為

0。然后，令桿由靜止狀態(tài)滑下。求：桿在任意位置時的角加速度。

例題4

剛體平面運動微分方程

均質桿AB長為l，放放置于鉛垂平面內(nèi)，桿一端A靠在光滑的37FAFBmg解：以桿為研究對象，桿作平面運動，分析其受力列出平面運動微分方程例題4

剛體平面運動微分方程

式中有五個未知量，如果要求得全部未知量，還需兩個運動學補充方程。顯然，這一方法比較麻煩。FAFBmg解：以桿為研究對象，桿作平面運動，分析其受力列出38

相對特殊瞬心的動量矩定理：平面運動過程中，如果剛體的質心C到速度瞬心C*的距離保持不變，則質點系相對速