專(zhuān)題16等腰三角形的性質(zhì)

專(zhuān)題16等腰三角形的性質(zhì)例題與求解【例1】如圖，在△ABC中，D在A(yíng)C上，E在A(yíng)B上，且AB=AC,BC=BD,AD=DE=BE,貝INA=.（五城市聯(lián)賽試題）解題思路：圖中有很多相關(guān)的角，用∠A的代數(shù)式表示這些角，建立關(guān)于∠A的等式.【例2】如圖，在△ABC中，已知/BAC=900,AB=AC,D為AC中點(diǎn)，AE⊥BD于E，延長(zhǎng)AE交BC于F求證：∠ADB=∠CDF.（安徽省競(jìng)賽試題）解題思路：∠ADB與∠CDF對(duì)應(yīng)的三角形不全等，因此，需構(gòu)造全等三角形，而在等腰三角形中，作頂角的平分線(xiàn)或底邊上的高（中線(xiàn)）是一條常用的輔助線(xiàn)．【例3】如圖，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=900,D是AC上一點(diǎn)，且AE垂直BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于E,又AE=1BD，求證：BD是∠ABC的角平分線(xiàn).（北京市競(jìng)賽試題）解題思路：∠ABC的角平分線(xiàn)與AE邊上的高重合，故應(yīng)作輔助線(xiàn)補(bǔ)全圖形，構(gòu)造全等三角形、等腰三角形．【例4】如圖，在^ABC中，∠BAC=∠BCA=440,M為^ABC內(nèi)一點(diǎn)，使∠MCA=300,∠MAC=160,求∠BMC度數(shù).（北京市競(jìng)賽試題）解題思路：作等腰△ABC的對(duì)稱(chēng)軸（如圖1）,通過(guò)計(jì)算，證明全等三角形，又440+160=600；可以AB為一邊，向點(diǎn)C所在的一側(cè)作等邊△ABN，連結(jié)CN，MN（如圖2）；或以AC為一邊，向點(diǎn)B所在的一側(cè)作等邊△ACN，連結(jié)BN（如圖3）.圖1圖2【例5】如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=1200的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)600角，角的兩邊分別交AB于M,交AC于N,連結(jié)MN,形成一個(gè)三角形.求證：△AMN的周長(zhǎng)等于2.（天津市競(jìng)賽試題）解題思路：欲證△AMN的周長(zhǎng)等于2,只需證明MN=BM+CN,考慮用補(bǔ)短法證明.能力訓(xùn)練A級(jí).如果等腰三角形一腰上的高另一腰的夾角為450,那么這個(gè)等腰三角形的底角為 ..如圖，已知/A=150,AB=BC=CD=DE=EF，則∠FEM=..如圖，在等邊^(qū)ABC的AC,BC邊上各取一點(diǎn)P、。，使AP=CQ,AQ,BP相交于點(diǎn)。，則U∠BOQ= ..如圖，在△ABC中，∠BCA=900,∠BAC=600,BC=4,在CA的延長(zhǎng)線(xiàn)取點(diǎn)D，使AD=AB，則D,B兩點(diǎn)之間的距離是.（第2題）（第3題）.如圖，在△ABC中，AB=AC,D為BC上一點(diǎn)，BF=CD,CE=BD，那么∠EDF等于（ ）A.900-1∠A B.900-∠A21C.1800-∠A D.450--∠A2.如圖，在△ABC中，∠ACB=900,AC=AE,BC=BF,則∠ECF=（ ）A.600 B.450C.300 D.不確定（安徽省競(jìng)賽試題）第5題圖 第6題圖.^ABC的一個(gè)內(nèi)角的大小是400,且∠A=∠B，那么∠C的外角的大小是（ ）A.1400 B.800或1000 C.1000或1400 D.800或1400（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）111 1.三角形三邊長(zhǎng)a,b,C滿(mǎn)足一一7+—=--—，則三角形一定是（ ）abca一b+cA.等邊三角形 B.以a為底邊的等腰三角形C.以C為底邊的等腰三角形 D.等腰三角形（北京市競(jìng)賽試題）.如圖，在△ABC中，AB=AC,D,E分別是腰AB,AC延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，且BD=CE，連結(jié)DE交BC于G,求證：DG=EG.AB.如圖，在△ABC中，∠BAC=900,AB=AC,BE平分∠ABC,CE⊥BE，求證：CE=1BD.（江蘇省競(jìng)賽試題）.已知Rt^ABC中，AC=BC,∠C=900,D為AB邊中點(diǎn)，∠EDF=900,將∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC,BC（或它們的延長(zhǎng)線(xiàn)）于E、F,當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC于E時(shí)（如圖1）,1易證：S△DEF+S△cef=2S^ABC，當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，S^DEF，S△cef,S△Abc又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想,不需證明.（牡丹江市中考試題）.如圖，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=800,O為^ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠OBC=100,∠OCA=200,求∠BAO的度數(shù).AB級(jí).如圖，在△ABC中，/ABC=1000,AM=AN,CN=CP，則∠MNP=．.如圖，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=900,直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，兩邊PE,PF1分別交AB,AC于點(diǎn)E,F,給出以下4個(gè)結(jié)論：①AE=CF；②^EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF=2S；④EF=AP.當(dāng)∠EPF在^ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A,B重合）.上述結(jié)論正確的是△ABC．（蘇州市中考試題）.如圖，在△ABC中，AB=BC,M,N為BC邊上兩點(diǎn)，并且∠BAM=∠CAN,MN=AN,則∠MAC的度數(shù)是___4．如圖的大小是（A．800.在^ABC中，）B.500AB=AC,∠BAC與∠ACB的平分線(xiàn)相交于D,∠ADC=1300,那么∠CABC．400D．2005．6．AB C（第4題）如圖，在△ABC中A．200如圖，在△ABC中∠BAC=1200,B．250AD⊥BC于D

C．300且AB+BD=DC,則∠C的大小是（ ）D．450AC=BC,∠ACB=900,AE平分∠BAC交BC于E,BD⊥AE于D,DM⊥AC,,,,交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于M,連CD,下列四個(gè)結(jié)論：①∠ADC=450；②BD=1AE；③AC+CE=AB；④AB-BC=2MC其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）C3個(gè)1個(gè)2個(gè)D.4個(gè).如圖，已知^ABC為等邊三角形，延長(zhǎng)BC至D,延長(zhǎng)BA至E,并且使AE=BD,連結(jié)CE、DE,求證：CE=DE..如圖，△ABC中，已知/C=600,AC>BC,X'ABC'.△A'BC>△AB'C都是△ABC外的等邊三角形，而點(diǎn)D在A(yíng)C上，且BC=DC⑴證明：△C'BD/△B'DC；⑵證明：△AC'D/△DB'A；⑶對(duì)^ABC.△ABC、△A'BC.△AB'C,從面積大小關(guān)系上