教師資格證考試：2018下高中數(shù)學(xué)真題

教師資格證考試：2018下高中數(shù)學(xué)真題2018年下半年高中數(shù)學(xué)教師資格證考試真題及解析一、單選題1.與向量a（2,3,1）平行的平面是（）A.x-2y+z=3B.2x+y+3z=3C.2x+3y+z=3D.x-y+z=32.lim（1-cosx）/（x^2）的值是（）A.0B.1/2C.1D.∞3.函數(shù)f（x）在[a，b]上黎曼可積的必要條件是f（x）在[a，b]上（）A.可微B.連續(xù)C.不連續(xù)點個數(shù)有限D(zhuǎn).有界4.定積分∫(-a,a)(1-|x|)/adx（a＞0）的值是（）A.πab/2B.πabC.πab/3D.πab/45.與向量α（1,0,1），β（1,1,0）線性無關(guān)的向量是（）A.（2,1,1）B.（3,2,1）C.（1,2,1）D.（3,1,2）6.設(shè)f(x)=acosx+bsinx是R到R的函數(shù)，V={f(x)|f(x)=acosx+bsinx,a,b∈R}是線性空間，則V的維數(shù)是（）A.1B.2C.3D.∞7.在下列描述課程目標(biāo)的行為動詞中，要求最高的是（）A.了解B.知道C.掌握D.應(yīng)用8.命題p的逆命題和命題p的否命題的關(guān)系是（）A.同真同假B.同真不同假C.同假不同真D.不確定二、簡答題9.求函數(shù)f（x）=3cosx+4sinx的一階導(dǎo)數(shù)為0的點。10.設(shè)D={(x,y)|xy=1}，若y'表示y在D作用下的象，則yy'/(5-2y')^2滿足的方程是什么？11.設(shè)f（x）是[0，1]上的可導(dǎo)函數(shù)，且f'(x)有界。證明：存在M＞0，使得對于任意的x1，x2∈[0,1]，有f(x1)-f(x2)≤M|x1-x2|。12.簡述日常數(shù)學(xué)教學(xué)中對學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)評價的目的。13.給出基本不等式ab≤(a^2+b^2)/2的幾何解釋，并說明幾何解釋對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的作用。三、解答題14.設(shè)函數(shù)f(x)={0,x<0;x,0≤x≤1;2-x,1<x≤2;0,x>2}，求f(x)的反函數(shù)f^-1(x)。15.設(shè)隨機變量ξ服從[0,1]上的均勻分布，即P{ξ∈[0,x]}=x，0≤x≤1。求P{ξ^2∈[0,x]}。四、論述題16.論述數(shù)學(xué)教學(xué)中使用信息技術(shù)的作用，并闡述使用信息技術(shù)與其他教學(xué)手段的關(guān)系。五、案例分析題暫無。2.【思考2】旨在引導(dǎo)讀者思考數(shù)學(xué)教材中的問題不僅僅是為了解決問題本身，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能力。通過這個欄目，教材作者希望學(xué)生們能夠更深入地理解數(shù)學(xué)知識，掌握數(shù)學(xué)方法，提高數(shù)學(xué)思維水平。3.高中數(shù)學(xué)課程中，集合的地位和作用非常重要。集合是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念之一，是許多數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ)。在高中數(shù)學(xué)中，集合論是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課程之一，它不僅是其他數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ)，還是高中數(shù)學(xué)知識體系的重要組成部分。通過學(xué)習(xí)集合論，學(xué)生們可以更好地理解和掌握其他數(shù)學(xué)知識，如函數(shù)、關(guān)系、數(shù)列等。同時，集合論也是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維和證明能力的重要手段。6.（1）設(shè)計一個探索該定理的活動成問題情境：假設(shè)學(xué)生們在一張平面紙上畫了兩條相交的直線，然后用剪刀將其中一條直線剪下來，再將它沿著直線的中垂線翻轉(zhuǎn)，使得直線的一端與原來的直線相接。學(xué)生們需要探究這個操作后，這條直線與平面是否垂直，并給出證明。設(shè)計意圖是通過實際操作，引導(dǎo)學(xué)生們發(fā)現(xiàn)直線與平面垂直的判定定理，并培養(yǎng)他們的探究精神和證明能力。（2）設(shè)計一個習(xí)題：在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線L1與x軸交于點A，斜率為k1，直線L2與y軸交于點B，斜率為k2，且L1與L2垂直。請證明：直線L1與平面內(nèi)的所有點的連線都與直線L2平行。設(shè)計意圖是讓學(xué)生們通過運用直線與平面垂直的判定定理，進(jìn)一步鞏固和應(yīng)用該定理，提高他們的證明能力和應(yīng)用能力。（3）設(shè)計一個習(xí)題：在空間直角坐標(biāo)系中，已知點A（1，2，3）、點B（4，5，6）和點C（7，8，9）。請證明：向量AB與向量AC垂直。設(shè)計意圖是讓學(xué)生們通過應(yīng)用直線與平面垂直的判定定理，進(jìn)一步鞏固和應(yīng)用該定理，提高他們的應(yīng)用能力。9.【解析】根據(jù)題意，求f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)，其中f'(x)=-3sinx+4cosx。令f'(x)=0，則有f'(x)=-3sinx+4cosx=0，因此3sinx=4cosx，tanx=kπ+arctan(k/3)（k∈Z）。10.【解析】已知式子為(2x+y)/(5x+2y)=x'/y'，且xy=1，因此可得到以下方程組：x=y'-2x'，y=5x'-2y'，化簡后得到(y'-2x')(5x'-2y')=1。11.【解析】證明：不妨設(shè)x1<x2，由拉格朗日中值定理可得，存在ξ∈(x1,x2)，使得f'(ξ)=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)。因為f'(x)有界，所以存在M>0，使得f'(x)<=M。因此，f(x1)-f(x2)<=M(x1-x2)。12.【參考答案】評價的主要目的是為了全面了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程，激勵學(xué)生的學(xué)習(xí)和改進(jìn)教師的教學(xué)。為此，應(yīng)建立評價目標(biāo)多元、評價方法多樣的評價體系。對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的評價應(yīng)該關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，更應(yīng)該關(guān)注他們學(xué)習(xí)的過程，以及在數(shù)學(xué)活動中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度，幫助學(xué)生認(rèn)識自我，建立信心。對于課程標(biāo)準(zhǔn)提出的評價理念，可以從以下三個方面理解：（1）評價目標(biāo)多元化，包括對學(xué)生和教師的評價。通過教學(xué)過程和學(xué)生學(xué)習(xí)狀況的考查，不僅可以看到學(xué)生的表現(xiàn)，還可以幫助教師認(rèn)識教學(xué)中存在的問題，及時改進(jìn)教學(xué)方式，調(diào)整教學(xué)進(jìn)度和教學(xué)目標(biāo)。（2）評價內(nèi)容多維性，應(yīng)該圍繞數(shù)學(xué)素養(yǎng)的四個方面展開，包括知識與技能、數(shù)學(xué)思考、解決問題、情感與態(tài)度。評價的具體內(nèi)容應(yīng)該形成多維度、全面性的評價內(nèi)容體系，可以通過設(shè)計反映不同內(nèi)容的問題、在綜合的問題情境中進(jìn)行評價，或者通過對學(xué)生平時學(xué)習(xí)情況的考查來評價。（3）評價方法多樣化，包括定性和定量評價方法，以及不同形式的評價方式，如考試、作業(yè)、小組討論、課堂表現(xiàn)等。評價方法應(yīng)該根據(jù)評價內(nèi)容和評價目標(biāo)的不同而靈活運用，以達(dá)到全面、客觀、公正的評價效果。評價方法多樣化在教學(xué)中，評價是非常重要的一環(huán)，而評價方法的多樣化也是至關(guān)重要的。教師應(yīng)該根據(jù)不同學(xué)段學(xué)生的特點和具體內(nèi)容的特征，選擇恰當(dāng)有效的方法進(jìn)行評價。對于學(xué)生知識技能掌握情況的評價，應(yīng)該將定量評價和定性評價相結(jié)合，同時也要將結(jié)果評價和過程評價相結(jié)合。因為不同的評價方法在教學(xué)過程中起著不同的作用，不能單純地希望一種評價方法會解決所有的問題。例如，封閉式的問題、紙筆式的評價可以簡捷方便地了解學(xué)生對某些知識技能的掌握情況，而開放式問題、綜合性的、在豐富的情境中的評價則有助于了解學(xué)生的思考過程和學(xué)習(xí)過程?；静坏仁絘b≤(a+b)2/4的幾何解釋基本不等式是初中數(shù)學(xué)中的一個重要概念，可以通過幾何解釋來幫助學(xué)生更好地理解。以AB為直徑的圓，在直徑AB上取點C使得AC=a，過點C作直徑AB的垂線與半圓交于D點，由射影定理可得CD=ab，由圖顯然可得CD≤OD（即一個圓的半徑大于等于垂直該直徑的弦的一半），即得ab≤(a+b)2/4。這種幾何解釋不僅有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，而且可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)問題。同時，幾何解釋還有助于加深學(xué)生對基本概念等的理解，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并且可以幫助學(xué)生產(chǎn)生解題思路，預(yù)測問題結(jié)果。關(guān)于概率問題P{ξ2∈(-∞,x)}=P{ξ∈(-x,x)}的解答對于概率問題P{ξ2∈(-∞,x)}=P{ξ∈(-x,x)}，當(dāng)x<0時，由于ξ2一定大于等于0，所以P{ξ2∈(-∞,x)}=0；當(dāng)0≤x≤1時，由于ξ2∈(-∞,x)等價于ξ∈(-√x,√x)，所以P{ξ2∈(-∞,x)}=P{ξ∈(-√x,√x)}=√x+√x=2√x；當(dāng)x>1時，由于ξ2∈(-∞,x)等價于ξ∈(-∞,-√x)∪(√x,∞)，所以P{ξ2∈(-∞,x)}=P{ξ∈(-∞,-√x)∪(√x,∞)}=1-2√x。因此，該概率問題的解答為：當(dāng)x<0時，P{ξ2∈(-∞,x)}=0；當(dāng)0≤x≤1時，P{ξ2∈(-∞,x)}=2√x；當(dāng)x>1時，P{ξ2∈(-∞,x)}=1-2√x。信息技術(shù)的發(fā)展對數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生了很大的影響，包括價值、目標(biāo)、內(nèi)容和教學(xué)方式。在設(shè)計和實施數(shù)學(xué)課程時，應(yīng)合理地運用現(xiàn)代信息技術(shù)，注重信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合，充分考慮信息技術(shù)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和方式的影響，開發(fā)并向?qū)W生提供豐富的學(xué)習(xí)資源，有效地改進(jìn)教與學(xué)的方式，使學(xué)生樂意并有可能投入到現(xiàn)實的、探索性的數(shù)學(xué)活動中去。信息技術(shù)可以結(jié)合其他多種教學(xué)手段，在數(shù)學(xué)教學(xué)中起到互補的作用。例如，在模擬實際情境時，可以結(jié)合信息技術(shù)手段直接呈現(xiàn)圖片或視頻；在處理圖形的動態(tài)變化時，可以結(jié)合幾何畫板等工具直接呈現(xiàn)，這樣可以使學(xué)習(xí)更加直觀和連貫。集合是高中數(shù)學(xué)必修1第一章節(jié)的內(nèi)容，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言，可以簡潔、準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容。在學(xué)習(xí)集合的基本知識時，學(xué)生將感受到集合的數(shù)學(xué)思想方法，用集合語言表示有關(guān)數(shù)學(xué)對象，并運用集合和對應(yīng)的語言進(jìn)一步描述第二章的函數(shù)概念，為第二章的函數(shù)奠定夯實的基礎(chǔ)，使得學(xué)生能夠初步運用函數(shù)思想理解和處理生活、社會中的簡單問題。在導(dǎo)入活動中，可以利用多媒體播放一組學(xué)生課前收集的圖片，組織學(xué)生觀察圖片中展示事物之間的位置關(guān)系，如旗桿與地面垂直、教學(xué)樓與地面垂直等。這樣可以引導(dǎo)學(xué)生思考位置關(guān)系的概念，并為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。提出問題：旗桿和地面、教學(xué)樓和地面之間的位置關(guān)系是什么？能否根據(jù)它們的位置關(guān)系使用直線和平面來繪制幾何圖形？探究活動一：垂直關(guān)系的定義提出問題：我們?nèi)绾味x一條直線與一個平面垂直？是否可以使用一條直線垂直于平面內(nèi)的直線來定義這條直線與平面的垂直關(guān)系？使用多媒體動畫演示旗桿在地面上的影子位置變化，讓學(xué)生體會到直線與平面內(nèi)不過垂足的直線也是垂直的。組織學(xué)生觀察動畫并思考以下問題：問題1：在陽光下，旗桿和它在地面上的影子所成的角度是多少？問題2：隨著時間的變化，影子的位置會移動，旗桿和影子所成的角度是否發(fā)生了變化？問題3：旗桿AB和地面上不過點B的任意一條直線的位置關(guān)系是什么？它們所成的角度是多少？全班討論后，教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出直線與平面垂直的定義：如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線就與這個平面垂直。進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考：如何判斷一條直線與一個平面的位置關(guān)系是垂直的？探究活動二：折紙?zhí)骄看怪标P(guān)系組織學(xué)生思考如何將一張長方形紙片立起來放在桌面上。學(xué)生猜想：你能猜想出判斷一條直線與一個平面垂直的方法嗎？預(yù)設(shè)：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。設(shè)計意圖：通過讓學(xué)生課前收集大量圖片，多感知，然后通過學(xué)生動手畫圖、討論交流和多媒體課件演示，使學(xué)生經(jīng)歷從實際背景中抽象出幾何概念的全過程，從而形成完整和正確的直線與平面垂直的概念。接下來，通過折紙?zhí)骄?，引?dǎo)學(xué)生分析，將“與平面內(nèi)所有直線垂直”逐步轉(zhuǎn)化為“與平面內(nèi)兩條相交直線垂直”，并以此為基礎(chǔ)進(jìn)行合理推理，提出猜想，使學(xué)生的思維順暢，為進(jìn)一步的探究做準(zhǔn)備。引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行折紙環(huán)節(jié)探究：1.折痕與平面垂直嗎？2.你找的折痕有什么特點？找這樣的折痕是為了實現(xiàn)什么目的？3.如何放置？4.當(dāng)直線與桌面垂直時，固定折痕一側(cè)的紙片，繞著折痕旋轉(zhuǎn)另一側(cè)紙片，觀察折痕與桌面垂直嗎？此時折痕與桌面內(nèi)每一條直線什么關(guān)系？設(shè)計意圖：通過動手操作、展示、分享，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，同時為了學(xué)生的進(jìn)一步探索提供思考方向。探究活動三：判斷直線與平面垂直的方法已知正方體ABCD-A1B1C1D1，判斷直線AC是否與平面CC1DD1垂直。根據(jù)預(yù)設(shè)，如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。因此，我們可以在平面CC1DD1上選擇兩條相交的直線BB1和AA1，判斷直線AC是否與這兩條直線垂直。如果AC與BB1和AA1都垂直，則AC與平面CC1DD1垂直。經(jīng)過計算和判斷，我們得出結(jié)論：直線AC與平面CC1DD1垂直。通過以上探究活動，學(xué)生可以更深入地理解直線與平面垂直的概念，以及如何判斷直線與平面垂直的方法。同時，學(xué)生也可以通過實際操作，更加深入地理解幾何概念，提高數(shù)學(xué)思維和動手能力。是否存在一條直線AC與平面BB垂直？以上是一個幾何學(xué)問題，需要通過分析來得出答案。我們首先需要明確什么是垂直關(guān)系。在二維平面上，兩條直線相互