第四章向量線性相關(guān)性4 3組秩

要求：掌握求向量組的秩及最大無(wú)關(guān)組的方法；一、最大無(wú)關(guān)組與向量組的秩

1

,

2

,

,

r滿(mǎn)足下面兩個(gè)條件：1、最大線性無(wú)關(guān)向量組設(shè)有向量組A，如果能在A中選出r個(gè)向量（1）向量組A0

:

1

,

2

,

,

r

線性無(wú)關(guān)；（2）向量組A

中任意r

1

向量（如果A

中有r

1

個(gè)向量的話）都線性無(wú)關(guān)。則稱(chēng)向量組A0為向量組A

的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)向量組。簡(jiǎn)稱(chēng)為最大無(wú)關(guān)組。（極大無(wú)關(guān)組）2、向量組的秩3、規(guī)定只含零向量的向量組沒(méi)有最大無(wú)關(guān)組。規(guī)定它的秩為0

。最大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)r

稱(chēng)為向量組的秩。向量組a1

,a2

,

,am的秩也記作R(a1

,a2

,

,am

)4、向量組

1

,

2

,

,

s

線性無(wú)關(guān)R(

1

,

2

,

,

s

)

s向量組

1

,

2

,

,

s

線性相關(guān)R(

1

,

2

,

,

s

)

s問(wèn)題：1、向量組的秩與矩陣的秩有何聯(lián)系？2、如何求向量組的最大無(wú)關(guān)組及向量組的秩？二、向量組的秩與矩陣秩的聯(lián)系定理１矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩.證

設(shè)A

(a1

,

a2

,

,

am

)，R(

A)

r,并設(shè)r階子式Dr

0.根據(jù)4.2定理4由Dr

0知所在的

r列線性無(wú)關(guān)；又由A中所有r

1階子式均為零，知A中任意r

1個(gè)列向量都線性相關(guān).

因此Dr

所在的r列是A的列向量的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，所以列向量組的秩等于r.

類(lèi)似可證A的行向量組的秩也等于R(

A).2、最大無(wú)關(guān)組的求法若Dr是矩陣A的一個(gè)最高階非零子式，則Dr所在的r列即是列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，Dr所在的r行即是行向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組.1、向量組的秩的求法向量組a1

,a2

,

,am的秩矩陣A

(a1

,a2

,

,am

)的秩1

2

r0

i

i

iA

:

,

,

,

n設(shè)為向量組A

:

1

,

2

,

,

的一最大無(wú)關(guān)組。向量組A0可由向量組A

線性表示 對(duì)于向量組中的任意一個(gè)向量

j，有向量組

i

,

i

,

,

i

線性無(wú)關(guān)1

2

rir

j

i

,

i

,

,

,

1

2向量組線性相關(guān)

線性表示ii

i1

2

r

,

,

,

可由向量組j

向量組A可由向量組A0線性表示3、向量組A0與向量組A

等價(jià)

1

,

2

,

,

r滿(mǎn)足下面兩個(gè)條件：設(shè)有向量組A，如果能在A中選出r個(gè)向量4、最大無(wú)關(guān)組的等價(jià)定義（1）向量組A0

:

1

,

2

,

,

r

線性無(wú)關(guān)；（2）向量組A

中的每一個(gè)向量都能由向量組A0

線性表示。則稱(chēng)向量組A0

為向量組A

的最大無(wú)關(guān)組。例

0

0

1

0 1

(

,

,

)

0

1 1

05、最大無(wú)關(guān)組不唯一顯然有

,

線性無(wú)關(guān)，且

,

,

線性相關(guān)。從而

,

為向量組

,

,

的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組同理

,

為向量組

,

,

的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組6、最大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)相同0

i

i設(shè)1

2

r

1

2

s0

j

jA

:

,

,

,

i

B

:

,

,

,

j均為向量組A

:

1

,

2

,

,

n

的極大無(wú)關(guān)組問(wèn)題：rsA0

為向量組A

:

1

,

2

,

,

n的極大無(wú)關(guān)組向量組A0

與向量組A

等價(jià)同理：向量組B0

與向量組A

等價(jià)向量組A0

與向量組B0等價(jià)R(

A0

)

R(B0

)r

s例1設(shè)向量組B能由向量組A線性表示,且它們的秩相等，證明向量組A與向量組B等價(jià).證明向量組B

能由向量組A

線性表示R(

A)

R(

A,

B)又R(

A)

R(B)

R(

A)

R(B)

R(

A,

B)向量組A

與向量組B等價(jià)例2

全體n維向量構(gòu)成的向量組記作Rn，求Rn的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組及Rn的秩.解n

維單位坐標(biāo)向量組為E

:

e1

,

e2

,

,

enE:e1

,e2

,

,en

線性無(wú)關(guān)；任意n

維向量都可由單位坐標(biāo)向量組E:e1

,e2

,

,en

線性表示。故E:e1

,e2

,

,en

為Rn

的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組。且Rn

的秩為n。任意n個(gè)線性無(wú)關(guān)的n

維向量都是Rn

的最大無(wú)關(guān)組設(shè)n個(gè)n維向量a1

,a2

,

,an線性無(wú)關(guān)，則向量組a1

,a2

,

,an

為Rn的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組。即

94

4

2

1

1

1

2

1

2

1

4

6

2

23

6

9

7A

1例3 設(shè)矩陣求矩陣A的列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，并把不屬最大無(wú)關(guān)組的列向量用最大無(wú)關(guān)組線性表示.解對(duì)A施行初等行變換變?yōu)樾须A梯形矩陣知R(A)

3，A

0

1

1

2

1

4

0

1

1

1

0

，

0

0

1

3

0

0

0

0

0初等行變換~故列向量組的最大無(wú)關(guān)組含3個(gè)向量.而三個(gè)非零行的非零首元在1、2、4三列，知R(a1

,a2

,a4

)

3，故a1

,a2

,a4線性無(wú)關(guān)要把a(bǔ)3

,a5用a1

,a2

,a4線性表示，必須將A再變成行最簡(jiǎn)形矩陣.有

7

4

（a1

,a2

,a4

)

1

2

1

1

1

1

6

2

3

6

1

0

1

1

1

0

1

1

0

0

0

0初等行變換~

0

1

0

1

0

4

0

1

1

0

3

0

0

1

3

0

0

0

0

0~初等行變換A

B記B

(b1

,b2

,b3

,b4

,b5

)則線性方程組

Ax

0

與

Bx

0

同解，即方程x1a1

x2a2

x3a3

x4a4

x5a5

0x1b1

x2b2

x3b3

x4b4

x5b5

0與同解。x1a1

x2a2

x3a3

x4a4

x5a5

0x1b1

x2b2

x3b3

x4b4

x5b5

0與同解。之間因此向量a1

,a2

,a3

,a4

,a5向量b1

,b2

,b3

,b4

,b5之間

有相同的線性關(guān)系

0

1

0

1

0

4

0

1

1

0

3

0

0

1

3

0

0

0

0

0~初等行變換A

B又b3

b1

b2b5

4b1

3b2

3b4因此a3

a1

a2a5

4a1

3a2

3a4之間因此向量a1

,a2

,a3

,a4

,a5向量b1

,b2

,b3

,b4

,b5之間

有相同的線性關(guān)系

0

1

0

1

0

4

0

1

1

0

3

0

0

1

3

0

0

0

0

0~初等行變換A

B1

21

23

9

5

5

4

,

5

4

1

3

2

3

1

1

2

,(b

,b

)

6(a

,a

)

0例4

已知證明向量組(a1

,a2

)與(b1

,b2

)等價(jià).

2

3

5

4

2

6

4

1

1

5

3

3

1

9

51

2

1

2(a

,a

,b

,b

)

0證明

5

2

1

1

5

3

0

2

6

4

3

5

4

3

1

91

~

3r

r

2~r1

r3

0

1

1

5

3

0

2

6

4

3

5

4

3

1

9

5

1

1

5

3

0

2

6

4

5

15 10

0

2

6

4r3

2r1r4

3r1~~2r

(

2)

0

1

1

5 3

0

1

3 2

5

15

10

0

2

6

43

1r

2rr1

r3r4

3r1

0

1

1

5

3

0

2

6

4

5

15 10

0

2

6

4~

0

0~2r

(

2)

0

1

1

5 3

0

1

3 2

5

15

10

0

2

6

4

1

1

5

3

0

1

3

2

0

0

0

0

0

0r3

5r24

2r

2r~

0

0

1

1

5

3

0

1

3

2

0

0

0

0

0

0r3

5r24

2r

2r~0

.

0

1

0

2

1

0

1

3

2

0

0

0

0

0

0r1

r2r1

1

~

00

0

1

0

2

1

0

1

3

2

0

00

0

0~初等行變換(a1

,a2

,b1

,b2

)顯然有R(a1

,a2

)

R(b1

,b2

)且向量組b1

,b2

可由向量組a1

,a2

線性表示，故向量組b1

,b2

與向量組a1

,a2

等價(jià)。例5：求向量組

1

(2,4,

2),

2

(1,1,