2020-2021學年高一數(shù)學挑戰(zhàn)滿分期末沖刺卷8平面向量三角恒等變換解三角形（解析版）

專題08

平面向量、三角恒等變換、解三角形壓軸題（共39題）

一、單選題

1.（2021?江蘇高一課時練習）設。為△ABC所在平面內一點，滿足2礪_7礪—3詼=。，則AABC的面積

與ABOC的面積的比值為（）

,，8〃12

A.6B.-C.—D.4

37

【答案】D

【解析】

先設皈=2OAOB；=-7OB,反;=3OC，于是得到點。是仆AWG的重心，則

5.密烏=鼠再結合三角形面積公式即可求出AABC的面積與ABOC的面積，進而得到答案.

不妨設兩=2弧前=-7礪可=3反，如圖所示,

根據(jù)題意則函+函+西=0,

即點。是^A\B\C\的重心，所以有=SAOAG=Saog=k,

SQBC_OBOC_iSMAB_OAOB1OAOC_\

S3GOB「℃I21'%仍O\OBX14'S.QAG。%。。16'

那么SQBC=4SQAB=AkSQC=Jk,

q-Q—S-

—°AOAB丁°^OBC-14621J21

故4A8C的面積與^BOC的面積的比值為斗一=4.

-k

21

故選：D

【點睛】

關鍵點點睛：根據(jù)重心的性質可得s△。4用=S4OAG=SAOBG=k,再由三角形面積公式可得

SORCOB0C11

甘一=HRnr=缶,即S.OBC=須%,同理可得其他三角形面積，再利用S.ABC=S^+S^-S^

UDOABOAColiC

?&OB1G\'zi21

即可求解，屬于難題.

71

2.（2021?江蘇高一課時練習）梯形A3CD中A8平行于CO，A8=2,CO=1,ND4B=—,P為腰AO所在

4

直線上任意一點，則日而+2定|的最小值是（）

A.4gB.472C.4D.3限

【答案】B

【解析】

利用建系的方法，假設AO=r,AP=m,分別計算而,無以及3方+2定，然后令％=絲〃？，最

2

后根據(jù)二次函數(shù)的性質可得結果.

依據(jù)題意，建立如圖所示平面直角坐標系

設AD=t,AP=m,

71

由ND4B=—,

4

所以P停肛李例1(2,0)

則方/2-迎也-也/京/也-也加+L也.也〃;

（22）（2222J

所以3P月+2尸e=（8+"一迪九"—還加

I22J

令k=@—當m，貝iJ3而+2]=（8+Z,Z）

所以R而+2PC\=J(8+4+22=也如+16后+64=j2(t+4『+32

當左=T時，有|3而+2斤|=40

Imin

故選：B

【點睛】

木題考查利用建系的方法解決向量的問題，本題關鍵在于采用建系，用坐標表示向量，幾何問題代數(shù)化，便于計

算，屬難題.

3.（2021.江蘇揚州市揚州中學高一月考）在AABC中，。*"分別為4,8,。的對邊，。為AABC的外心,

且有AB+BC=^^AC，sinC(cosA-73)+cosCsinA=0,若加=%而+)/，x,yeR,貝i]

x—y=

A.-2B.2C.73D.-73

【答案】A

【解析】

由AB+8C=2叵AC，利用正弦定理得到c+a=2叵Z?，再由sinC(cosA-6)+cosCsinA=0,運

33

用三角函數(shù)的和角公式和正弦定理得到小=6c,進而得到。=。，然后利用余弦定理，求得角B,A,C,再由

x亍=方麗+），衣的兩邊點乘瓶,衣，運用平面向量數(shù)量積的定義和性質，得到x,y的方程組求解.

因為AB+BC=^AC，

3

2\/3

所以C+Q=----b，

3

又因為sinC(cosA-百)+cosCsinA=0,

所以sinCcosA+cosCsinA=\/3sinC，

所以sin(C+A)=gsinC,

所以sin5=GsinC，

即。=V3c，

所以4=C,

a2+c2-b2c24-c2-3c2_1

所以cos3

2?~~2

所以3=120,A=C=3(r,

如圖所示：

1c

由正弦定理得:R=AO=------=c，

2sinC

因為Xd=x而+y/,

則宓麗二%質+丁相前，

所以■1=xc2+yV3c2，

22

即2x+3y=1,

則荷.恁=%而?恁+y正2,

33

所以一/=—xcr+yhc1,

22*

即x+2y=1,

x=-l,y=1,

x-y=-2.

故選：A.

【點睛】

本題主要考查正弦定理，余弦定理，兩角和與差的三角函數(shù)，平面向量的數(shù)量積的定義和性質，還考查了運算求

解的能力，屬于難題.

7

4.(2021?江蘇南通市?啟東中學高一月考)已知AABC的內角A,8,C的對邊分別為a,"c,且cosA=—.M為

8

△AHC內部的一點，且石麗+〃礪+c而。=6,若赤=》而+以正，則％+》的最大值為()

4551

A.-B.-C.-D.—

5462

【答案】A

【解析】

把已知等式中近百，碇向量用血,〃，麗表示后可求得x，y,由余弦定理得仇C的關系，求出，一的最

b+c

值，再由不等式性質得結論.

aMA+bMB+cMC=Q<

；?aAM^hMB+cMC=h(,AB-AM)+c(AC-AM),

：.AM=---AB+---AC,又赤=+

Q+O+CQ+0+C

7b+c1

bcx+y=-----------=-----------

??x=----;----,y=;-----，a+0+ca，

Q+/7+Ca+h+C-----------Hl

b+c

715

由余弦定理得a2=b~+c2-2bccosA=b2+c2——he=(/?+c)2-----be,

44

由bcK出+，')](當且僅當b=c時取等號)，得之s+c)2_"x+。匚,

44416

（i1x+v<----=-4

???——>-,1一1,5,即x+y的最大值是一.

b+c47+15

4

故選：A.

【點睛】

本題考查平面向量基本定理，考查余弦定理及基本不等式求最值.解題關鍵是由平面向量基本定理把國》用

a,b,c表不出來.

5.（2020?江蘇省揚州市教育局高一期末）在平行四邊形ABCO中，AB=近,AD=2,NA=135。，E,F

分別是AB,上的點，且荏=丸麗，AF=^iAD,（其中e（0,l））,且44+〃=1.若線段所的中

點為加，則當|揚q取最小值時，:的值為（）

A.36B.37C.38D.39

【答案】B

【解析】

利用結合向量線性運算、數(shù)量積運算，以及4/1+〃=1,求得當兒〃為何值時|而4取得最

小值，進而求得W的值.

A

依題意可知AB?AD=|AB|-|AD|?cos135°=-2,

;=_].=L37u

c41一41時，②取得最小值，此時"=1—44=二，所以巴=37.

2341%

故選：B

【點睛】

木小題主要考查平面向量線性運算、數(shù)量積運算，模的運算，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.

6.（2019?江蘇南通市?海安高級中學高一期中）已知點O是AABC內一點，滿足礪+2而=mOC，=亍，

3AXBC/

則實數(shù)m為（）

A.2B.-2C.4D.-4

【答案】D

【解析】

1___2__._m______SUD

將已知向量關系變?yōu)椋?QA+-08=-0C,可得到一。。=0。且AB,。共線；由==?和

3333SwcCD

反,而反向共線，可構造關于，〃的方程，求解得到結果.

由礪+2麗=川花得：+=

設生反=而，則1礪+,礪方,AB,。三點共線

333

如下圖所示：

本題正確選項：D

【點睛】

本題考查向量的線性運算性質及向量的幾何意義，關鍵是通過向量線性運算關系得到三點共線的結果，從而得到

向量模長之間的關系.

7.（2019?江蘇南通市?高一期末）在A4BC中，角A,B,。所對的邊分別為a,b，c,a2+/?2=2019c2，

2tanA-tanB

則tanC(tanA+tanB)的值為

A.2017B.2018C.2019D.2020

【答案】B

【解析】

化簡式子得到2sm4"6cosC,利用正弦定理余弦定理原式等于±±二￡二，代入數(shù)據(jù)得到答案.

sin2Cc2

2sinAsinB

2tanA-tanB_cosAcosB_2sinAsinB_2sinAsinBcosC

sinC2

tanC(tanA+tanB)-sinC(siriA+sin§)一+-sinC

cosCcosAcosBcosC

利用正弦定理和余弦定理得到：

2sinAsin6cosclaba2+h2-c2a2+b2-c2八?八

----------5---=1------=---；------=2018

sin-Cc2labc'

故選B

【點睛】

本題考查了正弦定理，余弦定理，三角恒等變換，意在考查學生的計算能力.

8.(2020?南京市江寧高級中學高一月考)已知2sin6—cos6=l,則"+1的值為()

sinO-cosO+l

A.-B.0C.2D.0或2

5

【答案】D

【解析】

nn

由2sin6-cose=l,通過二倍角公式，得到cos—=0或2sin—=c-

222

(.o，丫.20..60

原式化簡為八朝瀘八啕=」sin-一4-cos—2,+cos2———sm-

w再分別求解.

sinO-cosO+l(.Q0\(.0.60

sin—+cos-cos"——sin2-

I22)[22

因為2sin6-cose=l

所以2sin6=cos6+l

ggg

所以4sin—cos—=2cos2—

222

解得cos—=0或2sin—=cos—

222

9

當cos—=0時

2

sin6+cos6+1

=0

sinO-cosO+l

當2sin—=cos—時

22

sin，+cos，+l

=2

sinB-cosB+l

故選：D

【點睛】

本題主要考查了二倍角公式及其應用，不覺考查了變形運算求解的能力，屬于中檔題.

9.(2020?南京市江寧高級中學高一月考)在銳角AABC中，角A8,C的對邊分別為a,b,c,MBC的面積為S,

2vI

若sin(A+C)=-^~，則tanC+；；-「、的最小值為()

b--c2tan(B-C)

A.72B.2C.1D.2加

【答案】A

【解析】

2s

sin(A+C)=-3~r結合面積公式，可得出〃由余弦定理得出Q—2CCOS8=C,再用正弦定理

b~-c

化邊為角，得出5=2C,把所求式子用角C表示，并求出角C范圍，最后用基本不等式求最值.

2s29

因為sin(A+C)=r——？，即sin8=—----r

b~-cb>-c

所1以sin5=,因為sinBwO,

b-c

所以〃2=/+qc，由余弦定理匕2=/-2accosB，

可得a-2ccosB=c,

再由正弦定理得sinA-2sinCeosB=sinC,

因為sinA-2sinCeosB=sin(B+C)-2sinCeosB=sin(B-C),

所以sin(B-C)=sinC,所以8—C=?；?—。+。=%,

得3=2C或3=萬（舍去）.因為AABC是銳角三角形,

°<C<f

TTjrjr

所以《0<2C<一,得一<C<一,即tanCG,D-

264

71

0<TT-3C<-

2

]

所以tanC+=tanC+--------->丘,

2tan(B-C)2tanC

當且僅當tanC=Y2,取等號.

2

故選:A

【點睛】

本題考查考查用正弦定理、余弦定理、面積公式解三角形，考查基本不等式求最值，屬于較難題.

10.（2020?江蘇南通市?高一期末）已知銳角三角形AABC的內角A,B,C的對邊分別為匕，C.且

b=2asinB則cosB+sinC的取值范圍為（）

A.（0而B.Q,屈。.隹|）D-

【答案】C

【解析】

利用正弦定理化簡已知條件，由此求得sinB進而求得5的大小.根據(jù)三角恒等變換化簡cos8+sinC,由此求

得取值范圍.

依題意b=2asin8,

由正弦定理得sinB=2sinAsinB,

1R

所以sinA=—，cosA=—

22

7T

由于三角形ABC是銳角三角形，所以A=—.

4nTT

A+B>—

2兀c71

n—<B<—

32

0<B<-

2

=cos8+Leos8+且sinB^~cosB+—sin6

所以cosB+sinC=cosB+sin

2222

Sin(8+3

由于空<8+工<型，所以sin(8+H]e

33613八22)

所以6sin(B+g]e坐，g-

I3)I22j

故選：C

【點睛】

本題主要考查正弦定理解三角形，考查三角函數(shù)值域的求法，兩角差的正弦公式，屬于中檔題.

11.（2019?江蘇徐州市?高一期中）在AABC中，角A、B、。所對的邊分別為。、b、c,若AA8C為銳角三

角形，且滿足。2一/二.。，則一1--------1—的取值范圍是

tanAtanB

D.。收）

【答案】A

【解析】

根據(jù)余弦定理以及正弦定理化簡條件得A、8關系，再根據(jù)二倍角正切公式以及函數(shù)單調性求范圍.

因為-a2=ac，

所以-2accosB-ac/.c—2acosB-a.\smC-2sinAcosB=sinA,

sin(A+8)—2sinAcos8=sinAsin(B-A)=sinA/.B-A=A,B=2A

1_1111-tan2A1+tan2A141、

因此二一------------=-(ztanA+-------),

tanAtanBtanAtan2AtanA2tanA2tanA2tanA

因為A48C為銳角三角形,

jrjr717rTT、/3

所以0<A<—,0<B=2A<—,0<C=7i-B-A=n-3A<——<A<一,L<tanA<l

222643

因為y=2（x+L）在（@,1）上單調遞減，所以」-----?一e（l,空），選A.

2x3tanAtanB3

【點睛】

本題考查余弦定理、正弦定理、二倍角正切公式以及函數(shù)單調性，考查綜合分析求解能力，屬較難題.

12.（2021?江蘇）在A48C中，B=Zc=近,AC=2屈,AC的中點為。，若長度為3的線段尸。（P

412

在。的左側）在直線8C上移動，則AP+DQ的最小值為

AV30+2V10D回+3質

22

C而+4廂D回+5廂

'2'

【答案】B

【解析】

先根據(jù)正弦定理求得BC,AB,以3。所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，根據(jù)對稱性和兩點間的距離公式,

求得所求的最小值.

2屈_BC_AB

由正弦定理可得二方=方=亞，BC=6,AB=3近+瓜

224

以BC所在直線為X軸，則A（0,3+V3）,P3,0）,Q（。+3,0）,0（上乎，言"）

則AP+￡>Q表示x軸上的點p與A和（一過盧,把手）的距離和，

利用對稱性，（—告叵，檸8）關于x軸的對稱點為后（一三叵，一言叵），

可得AP+DQ的最小值為AE二聞+3何

2

【點睛】

本小題主要考查利用正弦定理解三角形，考查距離和的最小值的求法，考查坐標法，屬于中檔題.

二、多選題

13.(2020?蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學高一月考)在AABC中，角A,民C所對邊分別為a,4c.已知

S+c):(c+a):(a+b)=4:5:6,下列結論正確的是

UUUUUU

A.a:〃：c'=7:5:3B.AC-/4B<0

C.-=-=-D.若6+c=8,則ZUBC面積是”走

7534

【答案】ABD

【解析】

設匕+C=4Z,C+Q=5Z,Q+Z?=6R(A>0),求出。力,c的值，可得A；由正弦定理，

sinA:sinB:sinC=6/:Z?:c=7:5:3,可判定C,由余弦定理cosA=-g,AC-AB=becosA<0，可判

定B；由Z?+c=8,結合A結論，可計算Ac,50阮=；bcsinA,可判定。

753

設〃+c=4A,c+a=5攵,a+b=6k（左>0）,則a=—k,b=—k,c=一k,故

222

a:b:c=7:5:3>即A選項正確；

9

\242+4-9

24

b+C~-Q-4

一

又cosA=一5_3=一耳，故ACSA5=Z?ccosA<0，8選項正確;

2bc

2-2-

由正弦定理，sinA:sinB:sinC=a:Z?:c=7:5:3,。選項錯誤；

若Z?+c=8,則％=2,故〃=5,c=3,A=120",所以卜人人.二1Z?csinA="&,。選項正確

ZVtoC24

故選：ABD

【點睛】

本題考查了正弦定理、余弦定理的綜合應用，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數(shù)學運算能力，屬于較難題

14.（2021?江蘇高一課時練習）設點用是AABC所在平面內一點，則下列說法正確的是

——1一1一

A.若AM=—AB+—AC,則點〃是邊8C的中點

22

B.H防=2通—ZC若，則點M在邊8C的延長線上

C.若麗=一的一加，則點A/是人43c的重心

D.若AM=xAB+yAC，且x+y=+,則AWBC的面積是的面積的萬

【答案】ACD

【解析】

判斷命題真假；將前面條件進行化簡，去判斷點M的位置（D中若能判斷M位置也是一定得出面積比值）.

A中：AM=-AB+-AC,^>AM=-AB+-AC^-AM--AB=-AC--AMB|J：

22222222

BM=A/C，則點M是邊BC的中點

B.4瓶=24分一最;，04瓦—4月=4月一衣;.?.8貶=。方則點加在邊。3的延長線上,所以B錯誤.

C.

A

設8c中點D,則AM=-BM-CM>AM=-BM-CM=MB+MC=2MD，由重心性質可知C成立.

D.AM=xAB+yAC且x+y=/n2AM-2xAB+2yAC,2x+2y=1設A。=2AM

____.____1

所以4。=2》45+2丫40,2%+2丫=1,可知3,C,。三點共線，所以△MBC的面積是AA3c面積的萬

故選擇ACD

【點睛】

通過向量加減運算，進行化簡去判斷點M的位置，難度較大.

15.（2021?江蘇蘇州市?南京師大蘇州實驗學校高一月考）設A，4，A3,A4是兩兩不同的四個點，若

%=/iA4，且;+'=2,則稱4，A,調和分割4，4.現(xiàn)已知平面上兩點C,D調

A〃

和分割A,8,則下列說法正確的是（）

A.點C可能是線段AB的中點

B.點。不可能是線段AB的中點

C.點C,?？赡芡瑫r在線段A8上

D.點C,。不可能同時在線段A3的延長線上

【答案】BD

【解析】

由題意設A（0,0）,3（1,0）,C（c,0）,結合己知條件得,+工=2,根據(jù)選項考查［+'=2的解,

cdcd

用排除法選擇答案即可.

由已知不妨設A（0,0）,8（1,0）,C（c,0）,D（d,0）,

由C,D調和分割A,8可知，(c,0)=4(l,0),(t/,0)=//(1,0),.\A=c,R=d

11cli

代入：+—=2得一+二二2(*)

幾〃cd

對于AB,若C是線段AB的中點，則。=,，代入(*)得，〃不存在，故C不可能是線段AB的中點，同理。不

2

可能是線段AB的中點，故A錯誤，B正確；

對于C,若C,。同時在線段4B上，則0<c〈l,OWdWl代入(*)得，c=d=l,

此時C和。點重合，與己知矛盾，故C錯誤；

對于D,若C,。同時在線段AB的延長線上時，則c〉l,d>l,則1+,<2,這與』+，=2矛盾，所以C,

cdcd

D不可能同時在線段AB的延長線上，故D正確；

故選：BD.

【點睛】

關鍵點點睛：本題考查新定義的應用問題，正確理解新定義的含義是解題的關鍵，考查學生的邏輯推理與特殊與

一般思想，屬于較難題.

16.(2021?江蘇蘇州市?高一期中)奔馳定理：已知。是AABC內的一點，ABOC，△40C，AAQB的面積

分別為SA，SB，Sc，則邑?礪+SB?礪+S0?反=。."奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，因為

這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車(MercedesZ?e/z)的/og。很相似，故形象地稱其為'‘奔馳定理若O是銳角

△ABC內的一點，A,8,C是AABC的三個內角，且點。滿足。屋0月=04元=比.西，貝U()

A.。為△ABC的垂心B.ZAOB=7i—C

C.|Q4|:|oB|:|oc|=sinA:sinB:sinCD.tanAOA+tan+tanCOC=0

【答案】ABD

【解析】

利用數(shù)量積的運算律可整理得到OB_LC4,同理Q4_LBC,OCA.AB,知A正確;

推導得到/AOE=ZC，由此可證得B正確;

由數(shù)量積的定義和B的結論可求得0A=4Ho@cosC,同理得0匣，元，OAOC'作比可得到結

果，知C錯誤；

利用三角形面積公式和B的結論表示出SA=；|礪八礪卜inC,同理得到S4,5c,作比后代入C中推導的結論

可得：Sp:&=tanA:tanB:tanC,由此證得D正確.

對于A,?.?礪.礪=麗.無，...礪?（市?-反）=礪=0,即OB_LCA,

同理可證得：OA±BC,0CLAB,二。是AABC的垂心，A正確；

對于B,延長。4,。8交6C,AC于。,E兩點，

TTTT

由A可知：AD1BC,BELAC>:.ZC+ZCAD=-,ZAOE+ZCAD=-f

22

ZAOE=ZC,又ZAOE+ZAOB=7r,：,ZAOB=7j：-AAOE=7i—C,B正確；

對于C,由B可得：OA-OB=|OA|?|(?B|COSZAOB=?|ofi|COSC,

同理可得：0氏℃=一|0,?1℃卜05A,OA-C?C=-|OA|-|OC|COSB,

/.-|OA|-|OB|cosC=-|OB|?|oc|cosA=-|OA|-|OC|COSB,

?.|OA|:|OB|:|oc|=cosA:cosB:cosC,C錯誤;

對于D,由B可得：Sc=||O4||0B|sinZA05=||0A||dB|sinC,

同理可得：=即用網(wǎng)sinA,SB=||O4||(?c|sinB,

_sinAsin8sinC

"BL網(wǎng):網(wǎng)同，

上?口cccsinAsinBsinC,「「

由C可得：SA:Sfi:Sr=------:-------:-------=tanA:tanB:tanC,

'cosAcosBcosC

又SA?礪+Sp?礪+S0?云=0，，tanA?麗+tanB?麗+tanC?無=。，D正確.

故選：ABD.

【點睛】

關鍵點點睛：本題考查平面向量在三角形中的應用，涉及到垂心的向量表示、向量數(shù)量積的定義等知識；解題關

鍵是能夠通過數(shù)量積的定義和運算律，將所證內容進行轉化，得到三角形面積或向量模長與角的正余弦值之間的

關系.

三、填空題

17.（2021?江蘇淮安市?高一月考）給定兩個長度為1的平面向量函和赤，它們的夾角為120".如圖所示，點

c在以o為圓心的圓弧而上變動.若oc=x麗+yO及其中％yeR，則％+y的最大值是.

【答案】2

x--y=OAOC

2-

~—x+y=OBOC

2

x+y=2(OA+OB)OC=2OD-OC=2cos<OD,OC>

所以最大值為2

18.（2019?東臺市三倉中學）如圖，在四邊形4BCD中，。為BQ的中點，且而=33，己知福.而=9,

CBCD=-7>則或)=

【答案】6

【解析】

根據(jù)。為8。的中點，即可得出血uglAQ+A/i),而根據(jù)而=34即可得出

AC^-AO=-(AB+AD\,進而可得出而=!麗一2A方，CD=--AB+-AD,從而求出

33V>3333

CBCD^-^AB+AD+ABAD,而根據(jù)福?而=9,屈?麗=—7即可得出褶+彳萬?=54,

這樣根據(jù)而2=而？+通2一2通?正即可得出BD.

?.?。為BD的中點；

AO=1(XB+AD)；

又衣=33；

...丘貝=2(而+呵

：.CB=AB-AC=AB--(AB+Ab}=-AB--AD,CD=AD-AC=--AB+-AD；

3、,3333

：.CBCD=--AB2--AD~+-ABAD；

999

又A屏AZ5=9,CBCZ)=-7；

22

.?,-7=--(AB+ADj+5;

——>22

/.AB+AD=54；

：.BD^(AD-AB)2=AD'+AB-2ABAD^54-\S^36^

BD=6.

故答案為6.

【點睛】

考查向量減法和數(shù)乘的幾何意義，以及向量數(shù)量積的運算，向量加法的平行四邊形法則.向量的兩個作用：①載

體作用：關鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉化為我們熟悉的數(shù)學問題；②工具作用：利用向量可

解決一些垂直、平行、夾角與距離問題.

19.(2021.吳江市高級中學高一月考)如圖，在AA6c中，AD=-AB,AE=-ACCD與BE交于點P,

23f

_________.UUlUUU1

AB=2,AC=4,APBC=2>則AB.AC的值為.

D,

B

【答案】2

【解析】

—.2—?1—?

利用C、P、。三點共線以及3、尸、E三點共線，可以推出=+再根據(jù)福,前=2結

合向量的運算法則求解即可.

令麗=〃?而,CP=nCD>BE=-AB+^AC,CD=-AC+^AB,

AP=AB+BP=AB+mBE=AB+m(-AB+^Ac],

=(1-m)AB+^AC,

AP^AC+CP^AC+nCD^AC+n-AC+-AB,

=^AB+(l-n)AC,

所以〈2，解得〈

m1

—=1-71n

13

―-2―?1—?

所以AP=-A3+—AC,

555

又因為AB=2，AC=4,

所以福?恁=2?

故答案為：2.

【點睛】

本題考查平面向量基本定理及平面向量的數(shù)量積，還考查了運算求解的能力，屬于難題.

20.（2021?江蘇高一單元測試）對于平面直角坐標系內的任意兩點尸（為，y）,定義它們之間的一種

“距離=|馬一引+|%一乂卜已知不同三點A,B,。滿足llAdl+llCB||=||AB||,給出下列四個結論:

①A,B,。三點可能共線.

②A,B,C三點可能構成銳角三角形.

③A,B,C三點可能構成直角三角形.

④A，B,C三點可能構成鈍角三角形.

其中所有正確結論的序號是.

【答案】①③④

【解析】

設。（毛,%）,利用新定義分別表示出、、，

A（%,y）,B（X2，y2）,IIACllIICBllIIABll

利用IIACIMIC?I=IIABII結合絕對值三角不等式可得出（玉—%）（w-毛）之0且（%一%）（%-%）?°，所

以Gt而=一不??。月40，即可得90<NACB<180，可得正確答案.

設

A&,y）,B（X2，y2）,C（x3,y3）,

由題意可得：114。11=匕-引+|%—。|，

IICBll=|%2—七|+|%—，

||居||=月-石|+僅2-芳|，

由IIACII+IICBll=llABll可得:

|七一%|+|%一。|+卜2一司+|%一%|=同一％|+|%一0|，

由絕對值三角不等式可得：

—x,|+|x2—X,|>|^2—X||,

|%-凹|+|%一%|之|%一對,

當且僅當（％3_玉）（/一毛）20且—x）（%一%）20時等號成立，

所以衣?麗=（七一%）（々-F）+（%一%）（%-%”0，

/人「DCA-CB

所以無?國=一而?函＜0所以=同詞<0

所以90YNACBM180°，

所以A,B,C三點可能共線，可能構成直角三角形，可能構成鈍角三角形，

所以①③④正確，

下面各舉一例：

A（0,0）,B（2,0）,C（l,0）時A,B,。三點共線;

A（0,0）,8（1,1）,。（1,0）時AAbC是直角三角形；

4（0,0）,3（2,1）,C（l,0）時AAbC是鈍角三角形；

故答案為：①③④

【點睛】

關鍵點點睛：本題解題的關鍵是利用絕對值三角不等式可以得出IIAC1I+IIcell-HASH

成立的條件為（七一%）（w—玉）之。且（%—X）（%一%）?°，再轉化為

CACB=-ACCB<0>屬于難題.

21.（2021?江蘇南通市?啟東中學高一月考）在銳角AA6c中，a2-b2=bc＞則一1-----L+2sinA的取值

tanBtanA

7171

由已知結合余弦定理與正弦定理可得A=23,再由銳角三角形可求出一＜A＜一,化簡整理

32

--------+2sin4=」二+2sinA,利用換元法結合對勾函數(shù)性質可求得結果.

tanBtanAsinA

?：cr-b2=bc^利用余弦定理可得：b1+c~-2/?ccosA-b1=be>

即c2—2bccosA=be.\c-2bcosA=b

由正弦定理可得：sinC-2sinBcosA=sinB,sin(A4-B)-2sinBcosA=sinB,

即sinAcosB-sinBcosA=sinB,即sin(A-B)=sinB

又AABC為銳角三角形，，A—5=B，即A=2B

jt

0<2B<-

27107171.71

：.—<B<—,—<A<—

TT6432

0<)—38<一

2

Q—............匚+2sinA=$血(」一')+2sinA=、"乂」'一')+2sinA=—+2sinA

tan5tanAsinBsinAsinBsinAsinA

「兀AnG

又二■<Av二",——<sinA<1

322

J31J3

令/=sinA<t<\,則f(t)=-+2t<t<1

I2J，12)

由對勾函數(shù)性質知，/（。=，在

1+2fe上單調遞增,

又12)623>/(l)=-+2xl=3.+2sinAe--,3

'/------IolllZ1IJ

【點睛】

易錯點睛：本題考查利用正弦定理余弦定理求范圍，解本題時要注意的事項：求角A的范圍時，是在AABC為

銳角三角形的前提下，考查學生的轉化能力與運算解能力，屬于中檔題.

22.（2020?江蘇淮安市?淮陰中學高一期中）已知。，6,c分別為AABC的內角4,B,C的對邊，且滿足

sinA+V3sinC=3sinB.。=3百，當角B最大時△ABC的面積為.

【答案】972

【解析】

已知等式利用正弦定理化簡，得到關系式，利用余弦定理表示出cos8,把得出關系式整理后代入，利用基本不

等式求出cosB的最小值，即可求出邊長，進而求得三角形的面積.

已知等式利用正弦定理化簡得：a+y/3c=3b,

由余弦定理。2-a2+C1-laccosB,

(4Z+5/3^?)"/+《2Cl~3c~4~