2020-2021學年北師大版數(shù)學1學案：2 實際問題的函數(shù)建模

§2實際問題的函數(shù)建模

內(nèi)衣標準學科素泰

lo會利用已知的數(shù)模型

精確數(shù)據(jù)分析

解決實際問題.

強化教學運算

2o能重立函數(shù)模型解決

熟練教學建模

實際問題。

課前自主預習@-----------------------------------------------------------掌握基本知識，注重基礎(chǔ)訓練

授課提示：對應學生用書第71頁

Z■基礎(chǔ)認識］

知識點一常見函數(shù)模型

預習教材P120.130,思考并完成以下問題

C1J①斜率左的取值是如何影響一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)的？

②在系法數(shù)模型的解析式中,Q的正負如何影響函數(shù)的單調(diào)

性？

提示:①人>0時直線必經(jīng)過一、三象限，y隨無的增大而增大；

^<0時直線必經(jīng)過二、四象限,y隨x的增大而減小.②當x>0,?

>0時，函數(shù)的圖像在第一象F艮內(nèi)是上升的，在(0,+8)上為

增的數(shù)；當%>0,avO時，函數(shù)的圖像在第一象F艮內(nèi)是下降的，

在(0,+8)上為減函數(shù)、

(2)①依據(jù)散點圖選擇函數(shù)模型時主要依據(jù)函數(shù)的什2性質(zhì)？

②數(shù)據(jù)擬合時，得到的函數(shù)為什么需要檢驗？

提示:①主要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)值增長速度的快慢.

②因為根據(jù)已給的數(shù)據(jù)，作出散點圖，根據(jù)散點圖選擇我們比

較熟悉的、最簡單的函數(shù)進行擬合，但用得到的函數(shù)進行估計

時，可能誤差較大或不切合客觀實際，此時就要再改選其他函

教模型.

知識梳理常見函數(shù)模型

⑴一次丫=kx+b（k,b為常

法教模型教房0）

(2)二次函y=加+陵+。(Q,b,

教模型c為常數(shù)，存0)

常用的教

(3)指教y=bcf+c（a,b,c為

模型

困教模型常數(shù),Z?#0,。＞0且。#1）

y=租log。％+n(mfa,

(4)對數(shù)函

H為常數(shù)，相聲0,a>0

教模型

且存1)

C5J第函y=+b（a,6為常教，

教模型存0）

⑹分段

y=錯誤！

的教模型

知識點二解決法數(shù)應用問題的基本步驟

知識梳理利用的教知識和函數(shù)觀點斛決實際問題時，一

般按以下幾個步驟進行：

（一）審題；（二）建模；（三）求模；（口）還原.

這些步驟用柩圖表示如圖：

、聯(lián)想、

建立函數(shù)模型

、轉(zhuǎn)化

問

數(shù)

題

學

解

解

答

決

轉(zhuǎn)譯

I實際問題結(jié)論I數(shù)學問題結(jié)論

[t我檢測7

L今有一組數(shù)據(jù)，如下表所示:

X12345

6.99.0

y3511

91

下列的數(shù)模型中，最接近的表示這組數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律的一個

是（）

A、指教的教B、反比例困數(shù)

C?一次函數(shù),D、二次函

解析：畫出散點圖，如圖所示：

74

12.

10.

8.

6.

4.

2

°123456，

觀察散點圖，可見各個點接近于一條直線，所以可用一次函教

表示、

答案：C

2、某種細胞分裂時，由1個分裂成2個,2個分裂成4個，....

現(xiàn)有2個這樣的細胞，分裂x次后得到細胞的個數(shù)y與x的函數(shù)

關(guān)系是（）

x1xx+1

A、y=2xB、y=2-C.y=2D,y=2

解折：分裂一次后由2個變成2x2=22（個人分裂兩次后變成

4x2=23（個），……，分裂x次后變成y=2"i個、

答案：D

3.票汽車在一時間段內(nèi)速度v（km/h）與耗油量。（L）之間有

近仞的函數(shù)關(guān)系：2=0o0025V2-0O175v+4.27,則車速為

km/h時，汽車的耗油量最少、

解折：2=0.0025V2-0O175v+4o27

=0o0025（v2-70vJ+4.27

=0.0025[(u-35>-352]+4.27

=0.00253-35)2+1。2075.

故v=35km/h時，耗油量最少.

答案：35

該課堂合作探究------------------------------------------------------洞悉學習方向，把脈核心問題

授課提示：對應學生用書第71頁

探究一一次的教、二次舀教模型

Z■例U票商場經(jīng)營一枇進價是每件30元的商品，在市場

銷售中發(fā)現(xiàn)此商品的銷售單價x元與日銷售量y件之間有如下

關(guān)系：

銷售單價

30404550

x(元)

日銷售量

6030150

y(件)

門)在所給坐標系中，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)描出實數(shù)對(x.y)

對應的點，并確定x與y的一個函數(shù)關(guān)系式j(luò)>=犬幻；

(2)設(shè)經(jīng)營此商品的目銷售利潤為。元，根據(jù)上述關(guān)系式寫出

。關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出銷售單價x為多少時，才能獲得

最大目銷售利潤、

［思路點撥］依據(jù)(x,y)的關(guān)系一女1)是一次函教一建立P的

困教關(guān)系一利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值、

y

Z■斛折7賣數(shù)對(x,y)對應的60點、如圖所

50

40

30

示，由圖可知y是x的一次函數(shù).20

10

⑴設(shè)/(x)=kx+b,~O1620304050*

則錯誤!斛得錯誤！

.\f(x)=-3x+150,30S爛50,檢驗成立、

(2)P=(x-30)-(-3x+150)=-3x2+240x-4

500,30<x<50,

對稱軸x=-錯誤！=40W￡30,507、

當銷售單價為40元時，所獲利潤最大.

方法技巧一次及教、二次函教均是重要的函數(shù)模型，特別

是二次函教模型在函教建模中占有重要的地住、利用二次函教

求最值時要注意取得最值時的《變量與實際意義是否相符.

跟蹤探究1.慕校高一(2)班共有學生51人，

據(jù)統(tǒng)計原來每人每年用于購買飲料的平均支出

是〃元，若該班全體學生改飲票品牌的桶裝純凈

水，經(jīng)測算和市場調(diào)查，其年總費用由兩部分組成，一部分是購買

純凈水的費用，另一部分是其它費用228元，其中，純凈水的

銷售價M元/桶)與年購買總量桶)之間滿足如圖所示關(guān)系.

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當。=120時，若該班每年需要純凈水380桶，請你根

據(jù)提供的信息比較，該班全體學生改飲桶裝純凈水的年總費用

與該班全體學生購買飲料的年總費用，哪一種更少？說明你的

理由；

(3)當。至少為多少時，該班學生集體改飲桶裝純凈水的年

總費用一定比該班全體學生購買飲料的年總費用少？

解折：(1)設(shè))=履+b(原0),

?「％=8時，y—400；x=10時，y—320o

錯誤!斛之得錯誤！

二)關(guān)于x的舀教關(guān)系式為y=-40x+720(%>0Z

(2)該班學生買飲料每年總費用為51x120=61201元).

當y二380時,380=-40x+720,得x=8.5,

該班學生集體飲用桶裝純凈水的每年總費用為380x8.5+228

=34581元入

所以，飲用桶裝純凈水的年總費用少，

(3)設(shè)該班每年購買純凈水的費用為P元，則

P=xy=X-40x+720J=-40Cx-9)2+3240,

當X=9時，Prnax=3240.

要使飲用桶裝純凈水的年總費用一定比該班全體學生購買飲

料的年總費用少，

則51GPmax+228,斛得位68,故。至少為68元時全班飲用

桶裝純凈水的年總費用一定比該班全體學生購買飲料的年總費

用少,

探究二指數(shù)型法教、對教型的教模型

［例2J某城市2009年底人口總數(shù)為100萬人，如果年平均

增長率為1.2%,試解答以下問題：

（1）寫出經(jīng)過x年后，該城市人口總數(shù)y（萬人）與無（年）的

函數(shù)關(guān)系；

（2）計算10年后該城市人口總數(shù)（精確到0。1萬人）；

（3；計算經(jīng)過多少年以后，該城市人口將達到120萬人（精確

到1年入

910

（參考數(shù)據(jù)：1。012~1.113,1.012~1O127,1g1。2-0o079,

lg2-0o3010,1g1.012=0。005）、

［解析］（1）2009年底人口總數(shù)為100萬人，

經(jīng)過1年,2010年底人口總數(shù)為100+100x1o2%=100xfl

+1.2%),

經(jīng)過2年，2011年底人口總數(shù)為100x(1+1.2%)+100x(1+

1.2%)xl.2%=100x(1+lo2%)2,

經(jīng)過3年，2012年底人口總數(shù)為100x(1+1.2%；2+100x(1

2

+lo2%)xlo2%=100X(1+1.2%)3,

所以經(jīng)過x年后，該城市人口總數(shù)為100xCl+lo2%產(chǎn)，

所以y=100Xn+1.2%)xo

(2)10年后該城市人口總數(shù)為100x(1+lo2%)10~112o7(萬

人)，

(3J由題意得100x(1+1.2%)”>120,

兩邊取常用對數(shù)得lg[100x(l+l。2%)x]>lg120,

整理得2+xlg1.012>2+lg1.2,得xN16,

所以大約16年以后，該城市人口將達到120萬人、

方法技巧指數(shù)型的數(shù)模型：y二加爐+僅4>0且存1,根#0),

在實際問題中，有關(guān)人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長率問

題都可用指數(shù)型函數(shù)模型來表示,對數(shù)型及數(shù)模型：)二根10gd

+c(m^0,。>0且〃#1),對數(shù)型函數(shù)模型一般給出函數(shù)關(guān)系式，

然后利用對數(shù)的運算求斛、

跟蹤探究2.燕子每年秋天都要從北方飛到南方過冬，研究

燕子的科學彖發(fā)現(xiàn)，兩歲燕子的飛行速度可以表示為函數(shù)v=

510g2錯誤!，單住是m/s,其中。表示燕子的耗氧量.

(1)計算：燕子靜止時的耗氧量是多少個單?。?/p>

(2)當一只燕子的耗氧量是80個單住時，它的飛行速度是多

少？

斛折：門)由題意知，當燕子靜止時，它的速度為0,代人題目

所給公式可得0=51og2錯誤!O

解得。二10,即燕子靜止時的耗氧量為10個單核.

(2)將耗氧量。=80代人公式得：

v=510g2錯誤!=510g28=15(m/sJ,

即當一只燕子的耗氧量為80個單位時，飛行速度為15m/so

探究三分段函數(shù)模型

「例3］某商場在促銷期間規(guī)定：商場內(nèi)所有商品按標價的

80%出售；同時，當顧客在該商場內(nèi)消費滿一定金額后，按如下方

案獲得相應金額的英券：

旃費金額

n88(388,(588,(888,1

(元)的范

,388J588]888]1887???

M

獲得獎券的285888128???

金額(元)???

根據(jù)上述促銷方法，顧蓉在該商場購物可以獲得雙重優(yōu)惠，例

如：購買標價為400元的商品，則消費金額為320元，然后還能

獲得對應的獎券金額為28元'于是，該獨家獲得的優(yōu)惠領(lǐng)為：

400x0.2+28=108元、設(shè)購買商品得到的優(yōu)惠率=錯誤!.試問：

門)購買一件標價為1000元的商品，顧家得到的優(yōu)惠率是多

少？

(2)當商品的標價為［100,600J元時，試寫出顧客得到的優(yōu)

惠率y關(guān)于標價x元之間的函數(shù)關(guān)系式；

C3J當顧客購買標價不超過600元的商品時，該顧客是否可

以得到超過35%的優(yōu)惠率？若可以，靖舉一例；若不可以,試說明

你的理由,

「思路點撥】結(jié)合實例計算(1人當［100,235),［235,485］,

(485,6007,求)與x的關(guān)系式；在(2)的基礎(chǔ)上計算每一段上

的優(yōu)惠率，分析是否達到35%.

［解析］(U由題意，標價為1000元的商品消費金額為1

000x0.8=800元，

故優(yōu)惠額為：1000x0.2+88=288元，則優(yōu)惠率為錯誤!=28。8%。

(2)由題意，當靖費金額為188元時，其標價為235元;當消費金

穎為388元時，其標價為485元;

當消費金領(lǐng)為588元時，其標價為735元.

由此可得，當商品的標價為flOO,600］元時，顧客得到的優(yōu)

惠率y關(guān)于標價x元之間的函數(shù)關(guān)系式為：

y=錯誤！

（3）當CO,235）時，優(yōu)惠率即為：20%；

當xW［235,4857時，優(yōu)惠、率為：）=0。2+錯誤!，

此時的最大優(yōu)惠率為0.2+錯誤!=0.319V35%。

當x€（485,600］時，優(yōu)惠率為：）=0。2+錯誤!，

此時的優(yōu)惠率yvO。2+錯誤!=0。32<35%；

綜上，當獨家購買不超過600元商品時，可得到的優(yōu)惠率不

會超過35%

延伸探究如果此人實際消費1000元，問該人得到優(yōu)惠領(lǐng)

共多少元？

斛折：此人得利的優(yōu)惠額為：錯誤!x0。2+128=378元.

方法技巧lo分段舀教模型是日常生活中常見的困數(shù)模

型,對于分段的教，一要注意規(guī)范書寫格式；二要注意各段的

自變量的取值范圍，對于中間的各個分點，一般是“一邊閉，一邊

開“，以保證在各分點的“不重不漏”、

2、斛決分段函數(shù)問題需注意幾個問題：(D所有分段的區(qū)間

的并集就是分段舀數(shù)的定義域.(2)求分段函數(shù)的函數(shù)值時，先

要弄清4支量在鄴個區(qū)間內(nèi)取值，然后再用該區(qū)間上的斛折式

來計算的數(shù)值.(3)一般地，分段的數(shù)由幾段組成，必須注意考

慮各段的自變量的取值范囹.

跟蹤探究3.如圖所示，等腰楞形A3CD的兩底分別為AZ)=

2,BC=1,/氏4。=45。,直線從W14。支AD于Mf支折線A3CD

于N,記AM=x,試將梯形ABCD住于直線MN左側(cè)的面積y

表示為x的函數(shù)，并寫出函數(shù)的定義域和值域、

斛折：如圖，過3,C分別作AD的垂線，垂足分別為“和

G,

則AH=錯誤!,AG=錯誤!,

當"優(yōu)于“左側(cè)時,AM二x,MN二x,

了.)二S^AMN=錯誤!I?'OSXV錯誤!.

當M住于H,G之間時，y=錯誤!AHHB+HAf?MN=錯誤!又錯誤!x錯誤!

+錯誤!X錯誤！=錯誤!x一錯誤！，錯誤!Sxv錯誤！.

當A/優(yōu)于GQ之間時，y=S梯形"co-SAMONU錯誤!x錯誤!x(2

+1)一錯誤!(2—x)(2—x)=一錯誤!f+2x一錯誤！，錯誤!S爛2。

所求函數(shù)的關(guān)系式為y=錯誤！

...函數(shù)的定義域為￡0,2，值域為錯誤!.

探究8擬合的數(shù)模型的應用

r例4］環(huán)境污染已經(jīng)嚴重危害人們的健康，某工廠因挑污

比較嚴重，決定著手整治，一月時污染度為60,整治后前田個

月的污染度如下表：

月教1234???

污染

6031130???

度

污染度為0后，該工廠即停止整治，污染度又開始上升，現(xiàn)用

下列三個函數(shù)模型從整治后第一個月開始工廠的污染模式：

fix)=20|x-4|(x>l),g(x)=錯誤!(x-4)2(x>l),h(x)

=30|logu-2|(x>lJ,其中x表示月教，g(x)fh{x)分別表

示污染度.

問選用哪個函數(shù)模擬比較合理，并說明理由、

［解析1用力行)模擬比較合理、理由：因為犬2)=40/2)=26。

7,h(2)=30^3；=20,g(3戶6。7,h(3)句2.5。

由此可得"G)更接近實際值，所以用"G)模擬比較合理、

方法技巧對于此類實際應用問題，關(guān)鍵是先建立適當?shù)姆?/p>

教關(guān)系式，再解決教學問題，然后驗證并結(jié)合問題的實際意義

作出回答，這個過程就是先擬合函數(shù)再利用函數(shù)斛題、函數(shù)擬

合與預測的一般步驟是：

(1J能夠根據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格，描出數(shù)據(jù)點.

(2)通過數(shù)據(jù)點，畫出“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或

擬合曲線、如果所有實際點都落到了擬合直線或曲線上，謫“點”

不漏,那么這將是個十分完美的事情，但在實際應用中，這種情況

一般是不會發(fā)生的,因此，使實際點盡可能地均勻分布在直線或

曲線兩側(cè)，得出的擬合直線或擬合曲線就是“最貼近”的了.

(3)根據(jù)所學函數(shù)知識，求出擬合直線或擬合曲線的函教關(guān)系

式、

(4)利用法教關(guān)系灰，根據(jù)條件對所給問題進行預測和控制，

為決策和管理提供依據(jù)、

跟蹤探究4o為了估計山上積雪融化后對下游灌流的影響，

在［上建立了一個觀察站，測量最大積雪深度xcm與當年灌溉

面積yhn??，F(xiàn)有連續(xù)10年的實測資料，如下表所示.

年最大積雪深灌溉面秋

序度x/cmy/hm2

115o228.6

210.421o1

321.240o5

418o636o6

526.449o8

623.445o0

713.529o2

816.734.1

924o045.8

1019.136.9

(1)描點畫出灌流面積y(hm2)隨秋雪深度x(cm)變化的圖

像；

(2；建立一個能基本反映灌溉面積變化的函數(shù)模型y=f(x)f

并畫出圖像；

(3)根據(jù)所建立的函教模型，求最大積雪深度為25cm時，

可以灌溉的土地數(shù)量、

斛折：(1)描點作圖如圖甲.

甲乙

(2)從圖甲中可以看到，數(shù)據(jù)點大致落在一條直線附近,由此，

我們假設(shè)灌溉面秋y和最大秋雪深度x滿足線性函數(shù)模型y=。尤

+b(存0)、取其中的兩組數(shù)據(jù)(10.4,21.1J,C24.0,45o8),

代人y=4X+"得錯誤！

用計算器可算得向1.8,Z?~2o4.

這樣，我們得到一個函數(shù)模型y=1。8x+2o4o

作出的數(shù)圖像如圖乙，可以發(fā)現(xiàn)，這個函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)

的擬合程度較好，這說明它能較好地反映最大積雪深度與灌溉

面秋的關(guān)系.

(3)由y=1。8x25+2o4,求得y=47。4,即當最大積雪深

度為25cm時，可以灌溉土地47.4hm2。

03^^討論探究@------------------------------------------------------總結(jié)規(guī)律方法，提升核心素養(yǎng)

授課提示：對應學生用書第74頁

［課后小結(jié)］

L的數(shù)模型的應用實例主要包括三個方面:

(1)利用給定的函數(shù)模型斛決實際問題；

(2)建立確定性的函數(shù)模型解決實際問題；

(3)建立擬合舀教