題型專練04-新高考開放性試題（解析版）

新高考開放性試題題型專練041．在統(tǒng)計(jì)中，由一組樣本數(shù)據(jù)，，利用最小二乘法得到兩個(gè)變量的回歸直線方程為，那么下面說(shuō)法正確的是（）A．直線至少經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，中的一個(gè)點(diǎn)B．直線必經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．直線表示最接近與之間真實(shí)關(guān)系的一條直線D．，且越接近于1，相關(guān)程度越大；越接近于0，相關(guān)程度越小【答案】BCD【解析】理解回歸直線的含義，逐項(xiàng)分析．A．直線由點(diǎn)擬合而成，可以不經(jīng)過(guò)任何樣本點(diǎn)，故A錯(cuò)；B．直線必過(guò)樣本點(diǎn)中心即點(diǎn)，故B正確；C．直線是采用最小二乘法求解出的直線方程，接近真實(shí)關(guān)系，故C正確；D．相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于，表示相關(guān)程度越大，越接近于，相關(guān)程度越小，故D正確．故選：BCD．2．已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，直線AP、BP相交于點(diǎn)P，且兩直線的斜率之積為m，則下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡圓（除去與x軸的交點(diǎn)）B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓（除去與x軸的交點(diǎn)）C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的拋物線D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線（除去與x軸的交點(diǎn)）【答案】ABD【解析】M的坐標(biāo)為，直線AP的斜率為，由已知得，化簡(jiǎn)得點(diǎn)M的軌跡方程為，對(duì)A，當(dāng)時(shí)，方程為，故A正確；對(duì)B，當(dāng)，方程為，表示橢圓，故B正確；對(duì)C，當(dāng)，方程為，不表示拋物線，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，方程為，表示雙曲線線，故D正確；故選：ABD．3．在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過(guò)其關(guān)”．則下列說(shuō)法正確的是（）A．此人第三天走了四十八里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C．此人第二天走的路程占全程的 D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍【答案】ABD【解析】設(shè)此人第天走里路，則是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，由求得首項(xiàng)，然后逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案根據(jù)題意此人每天行走的路程成等比數(shù)列，設(shè)此人第天走里路，則是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．所以，解得．，所以A正確，由，則，又，所以B正確．，而，所以C不正確．，則后3天走的路程為而且，所以D正確．故選：ABD4．如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等，且它們彼此的夾角都是60°，下列說(shuō)法中正確的是（）A． B．C．向量與的夾角是60° D．與AC所成角的余弦值為【答案】AB【解析】直接用空間向量的基本定理，向量的運(yùn)算對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷．以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等，它們彼此的夾角都是60°，可設(shè)棱長(zhǎng)為1，則而，所以A正確．=0，所以B正確．向量，顯然為等邊三角形，則．所以向量與的夾角是，向量與的夾角是，則C不正確又，則，所以，所以D不正確．故選：AB5．若α，β為銳角，且，則（1+tanα）（1+tanβ）＝；（1+tan1°）（1+tan2°）（1+tan3°）…（1+tan45°）＝．【答案】2，223【解析】∵，∴tan（α+β）＝＝1，故tanα+tanβ＝1﹣tanαtanβ，則（1+tanα）（1+tanβ）＝1+tanα+tanβ+tanαtanβ＝2；由上式可得，（1+tan1°）（1+tan44°）＝（1+tan2°）（1+tan43°）＝…（1+tan22°）（1+tan23°）＝（1+tan45°）＝2，所以（1+tan1°）（1+tan2°）（1+tan3°）…（1+tan45°）＝223．故答案為：2，2236．已知正數(shù)x，y滿足x+y＝1，則的最小值等于；的最小值等于．【答案】9，3【解析】因?yàn)檎龜?shù)x，y滿足x+y＝1，則＝（）（x+y）＝5+≥5+4＝9，當(dāng)且僅當(dāng)且x+y＝1即x＝，y＝時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值9，＝＝，當(dāng)且僅當(dāng)且x+y＝1即x＝y(tǒng)＝時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值3．故答案為：9，3．7．（2020?北京模擬）已知{an}是公比為q的無(wú)窮等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，滿足a3＝12，___．是否存在正整數(shù)k，使得Sk＞2020？若存在，求k的最小值；若不存在，說(shuō)明理由．從①q＝2，②q=12，③q＝﹣【解析】選擇①．∵a3＝12，∴a1×22＝12，解得a1＝3．∴Sn=3（2n-1）2-1=3（2n﹣1），∴3（2k∴存在正整數(shù)k，使得Sk＞2020，k的最小值為10．8．給定數(shù)列{An}，若對(duì)任意m，n∈N*且m≠n，Am+An是{An}中的項(xiàng)，則稱{An}為“H數(shù)列”．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．（1）請(qǐng)寫出一個(gè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，此時(shí)數(shù)列{an}是“H數(shù)列”；（2）設(shè){an}既是等差數(shù)列又是“H數(shù)列”，且a1＝6，a2∈N*，a2＞6，求公差d的所有可能值；【解析】如：an＝2n．對(duì)任意m，n∈N*且m≠n，an+am＝2（n+m）＝am+n∈{an}．因此數(shù)列{an}為“H數(shù)列”．（2）設(shè){an}既是等差數(shù)列又是“H數(shù)列”，且a1＝6，a2∈N*，a2＞6，an＝6+（n﹣1）d，6+d＞6，即d＞0．且d∈N*，a1+a2＝6+6+d＝12+d，則a1+a2＝ak，若a1+a2＝a3＝6+2d，則d＝6．a(chǎn)n＝6n，{an}是“H數(shù)列”，若a1+a2＝a4＝6+3d，則d＝3．a(chǎn)n＝3n+3，{an}是“H數(shù)列”，若a1+a2＝a5＝6+4d，則d＝2．a(chǎn)n＝2n+4，{an}是“H數(shù)列”，若a1+a2＝a6＝6+5d，則d＝?N*，舍去．k≥6時(shí)，{an}不是“H數(shù)列”．公差d的所有可能值為：2，3，6．9．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解決問(wèn)題．已知，，，__________，求．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【解析】方案一：選條件①解法一：因?yàn)?，所以．由平方關(guān)系，解得或因?yàn)?，所以．因?yàn)椋善椒疥P(guān)系，解得．因?yàn)椋?，所以，所以．解法二：因?yàn)?，所以點(diǎn)在角的終邊上，所以，．以下同解法一．方案二：選條件②因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以．由平方關(guān)系，解得．因?yàn)?，所以．以下同方案一的解法一．方案三：選條件③因?yàn)?，所以．由平方關(guān)系，得．因?yàn)?，所以．以下同方案一的解法一?0．在①函數(shù)為奇函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，；③是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答，已知函數(shù)，的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為，______．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間．【解析】函數(shù)的圖象相鄰對(duì)稱軸間的距離為，，，．方案一：選條件①為奇函數(shù)，，解得：，．（1），，；（2）由，，得，，令，得，令，得，函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，；方案二：選條件②，，，或，，（1），，；（2）由，，得，，令，得，令，得，函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，；方案三：選條件③是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，，，．（1），，；（2）由，，得，令，得，令，得．函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，11．（2020?臨朐縣模擬）已知△ABC的各邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)D，E分別是AB，BC上的點(diǎn)，且滿足CEEA=12，D為AB的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)A），（如圖（1）），將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B的平面角為90°，連接A1B，A1（1）求證：A1D⊥平面BCED；（2）在線段BC上是否存在點(diǎn)P，使直線PA1與平面A1BD所成的角為60°？若存在，求出PB的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）∵正△ABC的邊長(zhǎng)為3，且ADDB=CEEA=12，∴AD△ADE中，∠DAE＝60°，由余弦定理，得DE=1∵AD2+DE2＝4＝AE2，∴AD⊥DE．折疊后，仍有A1D⊥DE．∵二面角A1﹣DE﹣B成直二面角，∴平面A1DE⊥平面BCDE，又∵平面A1DE∩平面BCDE＝DE，A1D?平面A1DE，A1D⊥DE，∴A1D⊥平面BCED；（2）假設(shè)在線段BC上存在點(diǎn)P，使直線PA1與平面A1BD所成的角為60°．如圖，作PH⊥BD于點(diǎn)H，連接A1H、A1P，由（1）得A1D⊥平面BCED，而PH?平面BCED，∴A1D⊥PH．∵A1D、BD是平面A1BD內(nèi)的相交直線，∴PH⊥平面A1BD．由此可得∠PA1H是直線PA1與平面A1BD所成的角，即∠PA1H＝60°．設(shè)PB＝x（0≤x≤3），則BH＝PBcos60°=x2，PH＝PBsin60°=3在Rt△PA1H中，∠PA1H＝60°，∴A1H=x在Rt△DA1H中，A1D＝1，DH＝2-1由A1D2+DH2＝A1H2，得12+（2-12x）2＝（12解得x=52，滿足0≤x∴在線段BC上存在點(diǎn)P，使直線PA1與平面A1BD所成的角為60°，此時(shí)PB=512．（2020?天河區(qū)二模）某醫(yī)院為篩查某種疾病，需要檢驗(yàn)血液是否為陽(yáng)性，現(xiàn)有n（n∈N*）份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：①逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)n次：②混合檢驗(yàn)，將其中k（k∈N*且k≥2）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)．若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽(yáng)性，就要對(duì)這k份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為k+1次．假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽(yáng)性結(jié)果的概率為p（0＜p＜1）．（1）假設(shè)有5份血液樣本，其中只有2份樣本為陽(yáng)性，若采用逐份檢驗(yàn)方式，求恰好經(jīng)過(guò)2次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)的概率；（2）現(xiàn)取其中k（k∈N*且k≥2）份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為ξ1，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為ξ2．（i）若Eξ1＝Eξ2，試求p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式p＝f（k）：（ii）若p=1參考數(shù)據(jù)：ln2≈0．69，ln3≈1．10，ln5≈1．61，e≈2．72，e2≈7．39，e3≈20．09．【解析】（1）記恰好經(jīng)過(guò)2次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)為A事件，則P（A）=A（2）（i）E（ξ1）＝k，ξ2的取值為1，k+1，計(jì)算P（所以E（由E（ξ1）＝E（ξ2），得k＝k+1﹣k（1﹣p）k，所以p=1-（1k）1k（（ii）p=1-e-1設(shè)f（x）=lnx當(dāng)x∈（0，4）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在（0，4）上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（4，+∞）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在（4，+∞）上單調(diào)遞減．且f（8）＝ln8﹣2＝3ln2﹣2＞0，f（所以k的最大值為8；所以k∈[2，8]時(shí)，混合檢驗(yàn)方式好，k∈[9，+∞）時(shí)，逐份檢驗(yàn)方式好；13．（2020?石家莊一模）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），點(diǎn)（1，32）在橢圓C上，點(diǎn)A（﹣3（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線l過(guò)右焦點(diǎn)F2與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)P（t，0）使得PM→?PN→為定值？如果存在，求出點(diǎn)【解析】（1）由題意可得上頂點(diǎn)B（0，b），AB⊥BF2，所以：1a2+94b2=1，AB→?BF2→=0，即（3c，b）?（c，﹣b）＝0即b2解得：a2＝4，b2＝3，所以橢圓的方程為：x24（2）由（1）可得右焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)（1，0），假設(shè)存在P（t，0）i）當(dāng)直線MN的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線MN的方程為：x＝my+1，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立直線與橢圓的方程x=my+13x2+4y2-12=0，整理可得：（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，∴y1∴x1+x2＝m（y1+y2）+2=84+3m2，x1x2＝m2y1y2+m（y1+y2）+1因?yàn)镻M→?PN→=（x1﹣t，y1）?（x2﹣t，y2）＝x1x2﹣t（x1+x2）+t2+y1y2=4-12m24+3m2-8t4+3要使PM→?PN→為定值，則t2-41=4ii）當(dāng)直線MN的斜率為0時(shí)，則M（﹣2，0），N（2，0），P為（118，0），則PM→?PN→=（﹣2-118，0）?（2-11綜上所述：所以存在P（118，0），使PM→?14．（2020?江蘇一模）已知函數(shù)f（x）=（（1）若曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+y﹣1＝0，求a的值；（2）若f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）存在兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）當(dāng)a＝2時(shí)，是否存在整數(shù)λ，使得關(guān)于x的不等式f（x）≥λ恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，說(shuō)明理由．【解析】（1）f'因?yàn)榍€y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+y﹣1＝0，所以f'（1）＝a﹣1＝﹣1，得a＝0；（2）因?yàn)閒'所以g（x）＝ax﹣1+lnx存在兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，則g'①當(dāng)a≥0時(shí)，g'（x）＞0，所以g（x）單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)，②當(dāng)a＜0時(shí)，因?yàn)楫?dāng)x∈（0，-1a）時(shí)，g'（當(dāng)x∈（-1a，+∞）時(shí)，g'（所以x=-1因?yàn)間（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)，所以ln（-1a）-2＞0因?yàn)椹乪﹣2＜a＜0，所以-1因?yàn)間（1）＝a﹣1＜0，所以g（x）在（0，-1a）因?yàn)椹乪﹣2＜a＜0，所以（-因?yàn)間[（-1a）2]=ln（-1a）2+1因?yàn)閥'=2-tt＜0，所以y