2022-2023學(xué)年陜西省商洛市商南縣重點中學(xué)九年級下期中數(shù)學(xué)試卷含解析

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一、選擇題（本大題共8小題，共24.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.計算：()

A.B.C.D.

2.如圖，，若，，則()

A.

B.

C.

D.

3.計算的結(jié)果為()

A.B.C.D.

4.在中，添加下列條件，能判定是菱形的是()

A.B.C.D.

5.如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點，當(dāng)時，自變量的取值范圍是()

A.

B.

C.

D.

6.如圖，的頂點在正方形網(wǎng)格的格點上，則的值為()

A.

B.

C.

D.

7.如圖，為的切線，為切點，的延長線交于點，若的度數(shù)是，則的度數(shù)是()

A.

B.

C.

D.

8.已知點，，且，在拋物線：上，則拋物線與坐標軸的交點個數(shù)為()

A.B.C.D.

二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）

9.因式分解______．

10.從多邊形的一個頂點出發(fā)，最多可以引出條對角線，則該多邊形的內(nèi)角和為______．

11.如圖，第十四屆國際數(shù)學(xué)教育大會會徽的主題圖案有著豐富的數(shù)學(xué)元素，展現(xiàn)了我國古代數(shù)學(xué)的文化魅力，其右下方的“卦”是用我國古代的計數(shù)符號寫出的八進制數(shù)八進制是以作為進位基數(shù)的數(shù)字系統(tǒng)，有共個基本數(shù)字八進制數(shù)換算成十進制數(shù)是，表示的舉辦年份，則八進制數(shù)換算成十進制數(shù)是______．

12.如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形的斜邊在軸的負半軸上，頂點在反比例函數(shù)的圖象上，若的面積為，則的值是______．

13.如圖，為菱形對角線的交點，點和點分別在邊和邊上且滿足，連接，若菱形的邊長為，則長度的最小值為______．

三、解答題（本大題共13小題，共81.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

14.本小題分

計算：．

15.本小題分

解不等式組．

16.本小題分

解方程．

17.本小題分

如圖，在銳角中，為邊上的一點，且滿足，請用尺規(guī)作圖法，在邊上找一點，使得保留作圖痕跡，不寫作法

18.本小題分

如圖，在中，，是的中點，連接，過點作交于點求證：四邊形是矩形．

19.本小題分

已知數(shù)字為負數(shù)，將其加得到數(shù)字，若數(shù)字與數(shù)字的積為，求數(shù)字．

20.本小題分

在一個不透明的盒子中放有張分別寫有數(shù)字、、、的卡片，卡片除寫有的數(shù)字不相同外其他完全相同．

從盒子中隨機抽取張卡片，該卡片寫有的數(shù)字為的概率是______．

從盒子中隨機抽取張卡片，卡片上呈現(xiàn)的數(shù)字中，較大的數(shù)作為十位數(shù)，較小的數(shù)作為個位數(shù)，請利用畫樹狀圖或列表法求這個兩位數(shù)大于的概率．

21.本小題分

正比例函數(shù)自變量與因變量的幾組取值情況如下表所示，若表格中是按照從小到大的方式取值，請回答下列問題：

求的值．

若點在該正比例函數(shù)的圖象上，請求出與之間的關(guān)系式用表示

在的條件下，判斷當(dāng)時，的取值范圍是多少？

22.本小題分

小剛與小強是無人機愛好者，兩人一起在空曠地帶操作無人機飛行，他們想測量一下無人機在高空中直上飛行的速度，但前提需要知道在高空中的直上飛行距離，于是按照如下方案進行測量：小強站在地面的點處，觀測目光從點出發(fā)觀察無人機所處位置，并記錄此時的仰角為：當(dāng)無人機直上飛行至點處時，小剛在地面的點處，觀測目光從點出發(fā)觀察無人機所處位置，并記錄此時的仰角為，已知，，，，，，圖中所有點均在同一平面內(nèi)，請計算無人機直上飛行的距離．

23.本小題分

運動是一切生命的源泉，運動使人健康、使人聰明、使人快樂，運動不僅能強健體魄，更能塑造人的品格，某學(xué)校為了解學(xué)生一周在家運動時間單位：小時的情況，隨機抽取了部分學(xué)生進行問卷調(diào)查，并將收集到的數(shù)據(jù)整理分析，共分為四組，其中每周運動時間不少于小時為達標，繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：

根據(jù)以上信息，解答下列問題

在這次抽樣調(diào)查中，共調(diào)查了______名學(xué)生，并補全頻數(shù)分布直方圖．

抽樣調(diào)查的學(xué)生中，每周運動時間的中位數(shù)落在______組，填對應(yīng)的字母

若該校有學(xué)生人，試估計該校學(xué)生一周在家運動時間達標的人數(shù)．

24.本小題分

如圖，在中，分別與邊，相切于點和點，連接．

求證：為的平分線．

連接與交于點，且滿足，若，求的半徑．

25.本小題分

過原點的拋物線：與軸的另一個交點為，頂點為．

求點的坐標．

為軸正半軸上一點，記拋物線關(guān)于點中心對稱的拋物線，設(shè)拋物線與軸的交點為，，點在點的左側(cè)，拋物線的頂點為．

當(dāng)時，求點與點的坐標

在的條件下，當(dāng)時，求拋物線的表達式．

26.本小題分

問題提出

如圖，在半徑為的中，，為弦，則的最大值為______．

問題探究

如圖，在中，，，，為上任意一點，為上任意一點，連接，，求的最小值．

問題解法

如圖，某同學(xué)運用電腦編程設(shè)計了一款游戲，在一個“曲邊”中，，為線段，，為一段弧線，所在的圓與相切，為上一點，一只電子螞蟻從點出發(fā)，其爬行路徑為折線，其中，在段爬行的過程中，當(dāng)時，電子螞蟻停止移動已知所在圓的半徑為，的長度為結(jié)合題意，問當(dāng)電子螞蟻停止爬行時，線段是否存在最小距離？若存在，求出的最小距離；若不存在，請說明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：．

故選：．

利用異號兩數(shù)相加的法則計算即可得到結(jié)果．

此題考查了有理數(shù)的加法運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．

2.【答案】

【解析】解：，，

，

，，

，

故選：．

根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)平角的定義求解即可．

此題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”是解題的關(guān)鍵．

3.【答案】

【解析】解：．

故選：．

直接由積的乘方與冪的乘方的性質(zhì)求解即可求得答案．

此題考查了積的乘方與冪的乘方．此題比較簡單，注意掌握指數(shù)與符號的變化是解此題的關(guān)鍵．

4.【答案】

【解析】解：四邊形是平行四邊形，

，

平行四邊形是菱形，

故選：．

根據(jù)菱形的判定定理，即可求得答案．

此題考查了菱形的判定．熟記判定定理是解此題的關(guān)鍵．

5.【答案】

【解析】解：一次函數(shù)的圖象與軸交于點，

，

，

一次函數(shù)解析式為．

當(dāng)時，，

解得：，

一次函數(shù)的圖象與軸交于點，

當(dāng)時，自變量的取值范圍是．

故選：．

由一次函數(shù)圖象與軸的交點坐標，可求出值，進而可得出一次函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，可求出當(dāng)時的值，再結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出當(dāng)時，自變量的取值范圍是．

本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)以及一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，求出值及一次函數(shù)圖象與軸的交點坐標是解題的關(guān)鍵．

6.【答案】

【解析】解：如圖，取網(wǎng)格點，連接，

由網(wǎng)格圖，可得：，，，

，

是直角三角形，且，

，

故選：．

根據(jù)網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形，由勾股定理可求、，再根據(jù)三角函數(shù)的意義可求出的值．

本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理以及求一個角的正切值的知識，利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．

7.【答案】

【解析】解：連接，

為的切線，

，

，

，

，

．

故選：．

連接，由切線的性質(zhì)得出，求出，由圓周角定理可得出答案．

本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

8.【答案】

【解析】解：點，的橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相等，

點，關(guān)于直線對稱，

又點，在拋物線上，

拋物線關(guān)于直線對稱，即拋物線的對稱軸為，

，

解得：，

此時拋物線的解析式為：，

判別式，

拋物線與軸有兩個不同的交點，

又，

拋物線與軸的交點為，

拋物線與坐標軸的交點個數(shù)是個．

故選：．

首先觀察點，的坐標可得出點，關(guān)于直線對稱，據(jù)此可得出拋物線的對稱軸為，然后根據(jù)拋物線的對稱軸可求出的值，最后再將的值代入拋物線的解析式即可判定拋物線與坐標交點的個數(shù)．

此題主要考查了拋物線與坐標軸的交點，對稱軸等，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)點，關(guān)于直線對稱得出拋物線的對稱軸為．

9.【答案】

【解析】解：

，

故答案為：．

先提公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可解答．

本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，一定要注意如果多項式的各項含有公因式，必須先提公因式．

10.【答案】

【解析】解：設(shè)多邊形邊數(shù)為，由題意得：

，

，

內(nèi)角和：．

故答案為：．

設(shè)多邊形邊數(shù)為，根據(jù)邊形從一個頂點出發(fā)可引出條對角線可得，計算出的值，再根據(jù)多邊形內(nèi)角和可得答案．

此題主要考查了多邊形的對角線，以及多邊形內(nèi)角和，關(guān)鍵是掌握邊形從一個頂點出發(fā)可引出條對角線，多邊形內(nèi)角和公式．

11.【答案】

【解析】解：

．

故答案為：．

根據(jù)題意，從個位數(shù)字起，將二進制的每一位數(shù)分別乘以，，，，再把所得的結(jié)果相加即可．

本題考查了有理數(shù)的混合運算，掌握題意找到進制轉(zhuǎn)化的方法是關(guān)鍵．

12.【答案】

【解析】解：過點作軸于點，

因為是等腰直角三角形，且，

所以．

令，

則，，

所以，得．

又點在的圖象上，

所以．

故答案為：．

根據(jù)反比例函數(shù)中的幾何意義，構(gòu)造出相應(yīng)的直角三角形，再根據(jù)該直角三角形的面積，可求出的值．

本題考查了反比例函數(shù)中的幾何意義，即過反比例函數(shù)圖象上的任意一點，作坐標軸的垂線，該點、垂足以及坐標原點三點構(gòu)成的直角三角形的面積可表示為：．

13.【答案】

【解析】解：連接、，過點作的延長線于點，

為菱形對角線的交點，

過點，過點，

，

又，

，

即，

，

四邊形是菱形，

是的平分線，

點到、的距離相等，

的邊上的高與的邊上的高相等，

，

四邊形是菱形，

，

，

，

在中，，

設(shè)，，

由勾股定理得，

菱形的邊長為，

，

，

，

，

在中，由勾股定理得，

，

，開口向上，

當(dāng)時，有最小值，為，

，

故答案為：．

連接、，過點作的延長線于點，由，在中，設(shè)，，得出，再根據(jù)面積之間的關(guān)系得出和的面積相等，根據(jù)它們的高相等，得出，表示出的長，即可得到的長，從而得出的長，最后在中根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最小值即可．

本題考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，利用二次函數(shù)求出最小值．

14.【答案】解：

．

【解析】先計算二次根式的除法，再算加減，即可解答．

本題考查了二次根式的混合運算，負整數(shù)指數(shù)冪，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．

15.【答案】解：，

解不等式得：，

解不等式得：，

不等式組解集為．

【解析】先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集即可．

本題考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式組，能根據(jù)不等式的解集求出不等式組的解集是解此題的關(guān)鍵．

16.【答案】解：原方程兩邊同乘，去分母得：，

去括號得：，

移項，合并同類項得：，

檢驗：將代入得：，

故原分式方程的解為：．

【解析】根據(jù)解分式方程的步驟解方程后進行檢驗即可．

本題考查解分式方程，特別注意解分式方程后進行檢驗即可．

17.【答案】解：如圖，點即為所求．

理由：根據(jù)作法得：，

四邊形是菱形，

是線段的垂直平分線，

，

≌，

．

【解析】分別以、為圓心，長為半徑作弧交于點，連接，交于點，則，點即為所作．

本題主要考查了尺規(guī)作圖一作已知線段的垂直平分線，菱形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握已知線段的垂直平分線的作法，菱形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

18.【答案】證明：，

，

又，

四邊形是平行四邊形，

是的中點，

，

，

，

四邊形是矩形．

【解析】先證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得即可證明結(jié)論．

本題主要考查了矩形的判定、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，掌握一個內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形成為解答本題的關(guān)鍵．

19.【答案】解：設(shè)數(shù)字為，則數(shù)字為，

根據(jù)題意得：，

整理得：，

解得：，不符合題意，舍去．

答：數(shù)字為．

【解析】設(shè)數(shù)字為，則數(shù)字為，根據(jù)數(shù)字與數(shù)字的積為，可列出關(guān)于的一元二次方程，解之取其負值，即可得出結(jié)論．

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．

20.【答案】

【解析】解：從盒子中隨機抽取張卡片，該卡片寫有的數(shù)字為的概率；

故答案為：；

畫樹狀圖為：

共有種等可能的結(jié)果，其中所得的兩位數(shù)大于的結(jié)果數(shù)為，

所以這個兩位數(shù)大于的概率．

直接利用概率公式計算；

畫樹狀圖展示所有種等可能的結(jié)果，再找出所得的兩位數(shù)大于的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計算．

本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖展示所有可能的結(jié)果求出，再從中選出符合事件或的結(jié)果數(shù)目，然后利用概率公式求出事件或的概率．

21.【答案】解：正比例函數(shù)的圖象過點，，

，解得或，

由題意可知，

的值為；

由可知，

正比例函數(shù)為，

點在該正比例函數(shù)的圖象上，

，

；

中，

隨的增大而減小，

時，，

當(dāng)時，．

【解析】利用待定系數(shù)法即可求解；

把代入即可求得；

根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求得．

本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟知一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

22.【答案】解：延長交于點，過點作，垂足為，過點作，垂足為，

由題意得：，，，，，

設(shè)，

，

，

在中，，

，

，

在中，，

，

，

，

解得：，

無人機直上飛行的距離為．

【解析】延長交于點，過點作，垂足為，過點作，垂足為，根據(jù)題意可得：，，，，，然后設(shè)，則，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而求出的長，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而求出的長，最后列出關(guān)于的方程進行計算，即可解答．

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．

23.【答案】

【解析】解：在這次抽樣調(diào)查中，共調(diào)查了名，

組的人數(shù)為人，

補全頻數(shù)分布直方圖如下：

故答案為：；

中位數(shù)是第和第個數(shù)的平均數(shù)，

每周運動時間的中位數(shù)落在組；

故答案為：；

人，

答：估計該校學(xué)生一周在家運動時間達標的人數(shù)為人．

根據(jù)組的人數(shù)和所占的百分比即可求出調(diào)查的人數(shù)，用總?cè)藬?shù)減去其它組的人數(shù)求出組的人數(shù)即可補全頻數(shù)分布直方圖；

根據(jù)中位數(shù)的定義判斷即可；

用總?cè)藬?shù)乘以運動時間達標的百分比即可．

本題考查頻數(shù)分布直方圖、中位數(shù)、用樣本估計總體、扇形統(tǒng)計圖，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．

24.【答案】證明：連接，，

分別與邊，相切于點和點，

，，

，

為的平分線．

解：，

∽，

：：，

，

：：，

：：，

∽，

：：；，

，

，

，

，，，，

四邊形是正方形，

，

的半徑是．

【解析】連接，，由切線的性質(zhì)定理，得到，，又，因此為的平分線．

由∽，得到：：，由∽，即可求出的長，得到的長，即可解決問題．

本題考查切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線，關(guān)鍵是由∽，得到：：，由∽，求出的長．

25.【答案】解：由題意，，令，

．

，．

．

當(dāng)時，．

點關(guān)于對稱的點；點關(guān)于對稱的點．

由題意，作出如下草圖．

A、關(guān)于點對稱，、關(guān)于點對稱．

，．

四邊形是平行四邊形．

當(dāng)時，

．

，，

．

，，為頂