湖北省溫德克英聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期8月開(kāi)學(xué)綜合性難度選拔考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

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2023年8月湖北溫德克英聯(lián)盟高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)綜合性難度選拔考試

數(shù)學(xué)試卷

本試卷共6頁(yè)，22題。全卷滿分120分考試用時(shí)120分鐘

★祝考試順利★

注意事項(xiàng):

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單選題

1．若復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）

A．B．C．2D．

2．設(shè)，向量,且，則（）

A．0B．1C．2D．3

3．為了研究某種病毒與血型之間的關(guān)系，決定從被感染的人群中抽取樣本進(jìn)行調(diào)查，這些感染人群中O型血、A型血、B型血、AB型血的人數(shù)比為4:3:3:2，現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取一個(gè)樣本量為的樣本，已知樣本中O型血的人數(shù)比AB型血的人數(shù)多20，則（）

A．100B．120C．200D．240

4．．表示平面，為直線，下列命題中為真命題的是

A．B．

C．D．

5．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，點(diǎn)D在邊AB上，，則的外接圓的面積是（）

A．B．C．D．

6．如圖，棱長(zhǎng)為2正方體，為底面的中心，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)且，則點(diǎn)到底面的距離與它到點(diǎn)的距離之和最小是()

A．B．C．D．

7．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，恒成立，則的取值范圍為（）

A．B．C．D．

8．定義：若，則稱是函數(shù)的倍伸縮仿周期函數(shù).設(shè)，且是的2倍伸縮仿周期函數(shù).若對(duì)于任意的，都有，則實(shí)數(shù)m的最大值為（）

A．12B．C．D．

二、多選題

9．近年，隨著人工智能，AIoT，云計(jì)算等技術(shù)的推動(dòng)，全球數(shù)據(jù)量正在無(wú)限制地?cái)U(kuò)展和增加.國(guó)際數(shù)據(jù)公司IDC統(tǒng)計(jì)了2023~2023年全球每年產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量及其增速，所得結(jié)果如圖所示，根據(jù)該統(tǒng)計(jì)圖，下列說(shuō)法正確的是（）

A．2023~2023年，全球每年產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量在持續(xù)增加

B．2023~2023年，全球數(shù)據(jù)量的年平均增長(zhǎng)率持續(xù)下降

C．2023~2023年，全球每年產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量的平均數(shù)為33.7

D．2023年，全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量超過(guò)15

10．下列各式的值為是（）

A．B．

C．D．

11．三棱錐各頂點(diǎn)均在表面積為的球體表面上，，，則（）

A．若，則

B．若，則

C．線段長(zhǎng)度的最小值為

D．三棱錐體積的最大值為

12．在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且，，有以下四個(gè)命題中正確的是（）

A．滿足條件的不可能是直角三角形

B．面積的最大值為

C．當(dāng)A=2C時(shí)，的周長(zhǎng)為

D．當(dāng)A=2C時(shí)，若O為的內(nèi)心，則的面積為

第II卷（非選擇題）

三、填空題

13．已知為復(fù)數(shù)，且，則的最大值為.

14．已知的外接圓圓心為O，，，若（為實(shí)數(shù)）有最小值，則參數(shù)的取值范圍是.

15．已知為銳角三角形，滿足，外接圓的圓心為，半徑為1，則的取值范圍是.

16．如圖，某化學(xué)實(shí)驗(yàn)室的一個(gè)模型是一個(gè)正八面體（由兩個(gè)相同的正四棱錐組成，且各棱長(zhǎng)都相等）若該正八面體的表面積為，則該正八面體外接球的體積為；若在該正八面體內(nèi)放一個(gè)球，則該球半徑的最大值為.

四、解答題

17．某市為了了解人們對(duì)“中國(guó)夢(mèng)”的偉大構(gòu)想的認(rèn)知程度，針對(duì)本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有20人，按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這20人的平均年齡和第80百分位數(shù)；

(2)若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為43和1，求這20人中35~45歲所有人的年齡的方差.

18．已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的最小正周期；

（2）常數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求的取值范圍；

（3）若函數(shù)在的最大值為2，求實(shí)數(shù)的值.

19．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，的面積為

已知①，②，③，從這三個(gè)條件中任選一個(gè)，回答下列問(wèn)題，

(1)求角

(2)若，求的面積的最大值.

20．如圖，在四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC=，∠B1BD=，

（1）求證：直線AC⊥平面BDB1；

（2）求直線A1B1與平面ACC1所成角的正弦值.

21．已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，，平分交于點(diǎn)，且，.

（1）求；

（2）求的面積.

22．如圖①所示，長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將沿翻折到，連接，，得到圖②的四棱錐．

(1)求四棱錐的體積的最大值；

(2)若棱的中點(diǎn)為，求的長(zhǎng)；

(3)設(shè)的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值．

參考答案

1．A

2．A

3．B

4．C

5．B

6．A

7．B

8．B

9．ACD

10．AB

11．ACD

12．BCD

13．

14．

15．

16．

17．(1)32.25，第80百分位數(shù)為37.5

(2)10

18．(1).

(2).

(3)或

19．(1)

(2)

20．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

（1）連接交于，

因?yàn)?，，?/p>

所以，故

又因?yàn)闉榱庑螌?duì)角線交點(diǎn)，即是線段的中點(diǎn)，所以

又四邊形為菱形，故

而，所以平面

方法二：因?yàn)椋?/p>

所以點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在為的平分線，

又四邊形為菱形，故為的平分線，則直線

故平面平面，而平面平面，

又四邊形為菱形，故

所以平面

（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，平面即為平面，平面即平面

由（1）得平面平面，平面平面，

所以過(guò)做，則平面，故即為直線與平面所成角（若研究直線與平面所成角的正弦值則線段等比例擴(kuò)大2倍結(jié)果不變）

因?yàn)樗睦馀_(tái)中，所以，

由菱形有，且∠ABC=，所以，

作，因?yàn)?，則，，所以，

則，，，

故.

法二：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

平面即為平面，平面即平面，

設(shè)直線與平面所成角為

過(guò)作，垂足為，因?yàn)?，所?/p>

建系，以為軸，作軸，

設(shè)平面的法向量為，則

，

所以，

所以

21．（1）；（2）.

（1）因?yàn)椋?/p>

所以，

因?yàn)?，?/p>

所以，，

故，解得，

（2）如圖，繪出，

因?yàn)槠椒?，所以?/p>

因?yàn)?，所以可設(shè)，，

故在中，有，即；

在中，有，即，

兩式聯(lián)立，可得，

因?yàn)?，所以?/p>

即，化簡(jiǎn)得，

聯(lián)立，解得，

將代入中，可得，

故，，

在中，，

化簡(jiǎn)得，解得或（舍去）；

在中，，

化簡(jiǎn)得，解得或（舍去），

故.

22．(1)

(2)

(3)

（1）取AM的中點(diǎn)G，連接PG，

因?yàn)镻A=PM，則PG⊥AM，

當(dāng)平面⊥平面時(shí)，P點(diǎn)到平面ABCM的距離最大，

四棱錐的體積取得最大值，

此時(shí)PG⊥平面，且，

底面為梯形，面積為，

則四棱錐的體積最大值為

（2）取AP中點(diǎn)Q，連接NQ，MQ，

則因?yàn)镹為PB中點(diǎn)，所以NQ為△PAB的中位線，

所以NQ∥AB且，

因?yàn)镸為CD的中點(diǎn)，四邊形ABCD為矩形，

所以CM∥AB且，

所以CM∥NQ且CM=NQ，

故四邊形CNQM為平行四邊形，

所以.

（3）連接DG，

因?yàn)镈A=DM，所以DG⊥AM，

所以∠PGD為的平面角，即，

過(guò)點(diǎn)D作DZ⊥平面ABCD，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DZ所在直線為x軸，y軸，z軸，