【人教版】九年級數(shù)學(xué)上冊全冊導(dǎo)學(xué)案(2020年整理)課件

第二十一章 一元二次方程21．1

一元二次方程了解一元二次方程的概念，應(yīng)用一元二次方程概念解決一些簡單問題．掌握一元二次方程的一般形式

ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及有關(guān)概念．會進行簡單的一元二次方程的試解；理解方程解的概念．重點：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．難點：由實際問題列出一元二次方程；準確認識一元二次方程的二次項和系數(shù)以及一次項和系數(shù)及常數(shù)項．一、自學(xué)指導(dǎo)．(10

分鐘)問題

1：如圖，有一塊矩形鐵皮，長

100

cm，寬

50

cm，在它的四角各切去一個同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，就能制作一個無蓋方盒．如果要制作的無蓋方盒的底面積為

3600cm2，那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形？分析：設(shè)切去的正方形的邊長為

x

cm，則盒底的長為

(100－2x)cm ，寬為

(50－2x)cm ．列方程

(100－2x)·(50

－2x)＝3600 ，化簡整理，得 x2－75x＋350＝0 ．①問題

2：要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場．根據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃安排

7

天，每天安排

4

場比賽，比賽組織者應(yīng)邀請多少個隊參賽？分析：全部比賽的場數(shù)為

4×7＝28 ．設(shè)應(yīng)邀請

x

個隊參賽，每個隊要與其他

(x－1) 個隊各賽

1場，所以全部比賽共x（x－1）

x（x－1）2

22

場．列方程

＝28 ，化簡整理，得

x

－x－56＝0 ．②探究：方程①②中未知數(shù)的個數(shù)各是多少？

1

個 ．它們最高次數(shù)分別是幾次？

2

次 ．歸納：方程①②的共同特點是：這些方程的兩邊都是

整式 ，只含有

一個 未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2 的方程．1．一元二次方程的定義等號兩邊都是

整式 ，只含有

一 個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2 (二次)的方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一個關(guān)于

x

的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．這種形式叫做一元二次方程的一般形式．其中 ax2 是二次項，

a 是二次項系數(shù)，bx 是一次項，

b 是一次項系數(shù)，

c 是常數(shù)項．點撥精講：二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項都要包含它前面的符號．二次項系數(shù)

a≠0是一個重要條件，不能漏掉．二、自學(xué)檢測：學(xué)生自主完成，小組內(nèi)展示，點評，教師巡視．(6

分鐘)-1

-第二十一章 一元二次方程如圖，有一塊矩形鐵皮，長100c-

1

1

-判斷下列方程，哪些是一元二次方程？(1)x3－2x2＋5＝0；

(2)x2＝1；(3)5x2－2x 1

x2－2x 3－4＝ ＋5；(4)2(x＋1)2＝3(x＋1)；(5)x2－2x＝x2＋1; (6)ax2＋bx＋c＝0.解：(2)(3)(4)．點撥精講：有些含字母系數(shù)的方程，盡管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知數(shù)，這樣的方程仍然是整式方程．將方程

3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項．解：去括號，得

3x2－3x＝5x＋10.移項，合并同類項，得

3x2－8x－10＝0.其中二次項系數(shù)是

3，一次項系數(shù)是－8，常數(shù)項是－10.點撥精講：將一元二次方程化成一般形式時，通常要將首項化負為正，化分為整．一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(8

分鐘)求證：關(guān)于

x

的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，無論

m

取何值，該方程都是一元二次方程．證明：m2－8m＋17＝(m－4)2＋1，∵(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋1>0，即(m－4)2＋1≠0.∴無論

m

取何值，該方程都是一元二次方程．點撥精講：要證明無論

m

取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明

m2－8m＋17≠0即可．下面哪些數(shù)是方程

2x2＋10x＋12＝0

的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.解：將上面的這些數(shù)代入后，只有－2

和－3

滿足等式，所以

x＝－2

或

x＝－3

是一元二次方程

2x2＋10x＋12＝0

的兩根．點撥精講：要判定一個數(shù)是否是方程的根，只要把這個數(shù)代入等式，看等式兩邊是否相等即可．二、跟蹤練習(xí)：學(xué)生獨立確定解題思路，小組內(nèi)交流，上臺展示并講解思路．(9

分鐘)1．判斷下列方程是否為一元二次方程．(1)1－x2＝0; (2)2(x2－1)＝3y；(3)2x2－3x－1＝0; (

1

2

0；4)x2－x＝(5)(x＋3)2＝(x－3)2;

(6)9x2＝5－4x.解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是．2．若x＝2

是方程

ax2＋4x－5＝0的一個根，求

a

的值．解：∵x＝2是方程

ax2＋4x－5＝0

的一個根，∴4a＋8－5＝0，-2

-3

解得

a＝－4.判斷下列方程，哪些是一元二次方程？(1)x3－2x2＋5-

1

2

-3．根據(jù)下列問題，列出關(guān)于

x

的方程，并將其化成一元二次方程的一般形式：(1)4

個完全相同的正方形的面積之和是

25，求正方形的邊長

x；(2)一個長方形的長比寬多

2，面積是

100，求長方形的長

x.解：(1)4x2＝25，4x2－25＝0；(2)x(x－2)＝100，x2－2x－100＝0.學(xué)生總結(jié)本堂課的收獲與困惑．(2分鐘)一元二次方程的概念以及怎樣利用概念判斷一元二次方程．一元二次方程的一般形式

ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，特別強調(diào)

a≠0.要會判斷一個數(shù)是否是一元二次方程的根．學(xué)習(xí)至此，請使用本課時對應(yīng)訓(xùn)練部分．(10分鐘)21．2

解一元二次方程21．2.1

配方法(1)使學(xué)生會用直接開平方法解一元二次方程．滲透轉(zhuǎn)化思想，掌握一些轉(zhuǎn)化的技能．重點：運用開平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程；領(lǐng)會降次——轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．難點：通過根據(jù)平方根的意義解形如

x2＝n(n≥0)的方程，知識遷移到根據(jù)平方根的意義解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、自學(xué)指導(dǎo)．(10分鐘)問題

1：一桶某種油漆可刷的面積為

1500

dm2，小李用這桶油漆恰好刷完

10

個同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱長嗎？設(shè)正方體的棱長為

x

dm，則一個正方體的表面積為 6x2 dm2，根據(jù)一桶油漆可刷的面積列出方程：10×6x2＝1500 ，由此可得 x2＝25 ，根據(jù)平方根的意義，得

x＝

±5 ，即

x1＝

5 ，x2＝

－5 ．可以驗證

5 和－5

都是方程的根，但棱長不能為負值，所以正方體的棱長為

5 dm.探究：對照問題

1

解方程的過程，你認為應(yīng)該怎樣解方程(2x－1)2＝5

及方程x2＋6x＋9＝4?方程(2x－1)2＝5

左邊是一個整式的平方，右邊是一個非負數(shù)，根據(jù)平方根的意義，可將方程變形為

2x－1＝±

5 ，即將方程變?yōu)?/p>

2x－1＝

5和

2x－1＝－

5 兩個一元一21次方程，從而得到方程(2x－1)

＝5

的兩個解為

x

＝

，

22

2

1－

5

1＋

5

x

＝ ．在解上述方程的過程中，實質(zhì)上是把一個一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，這樣問題就容易解決了．方程

x2＋6x＋9＝4

的左邊是完全平方式，這個方程可以化成(x＋

3 )2＝4，進行降次，得到

x＋3＝±2 ，方程的根為

x1＝

－1 ，x2＝

－5 .歸納：在解一元二次方程時通常通過“降次”把它轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程．如果方程能化成

x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得

x＝±

p或

mx＋n＝±

p.二、自學(xué)檢測：學(xué)生自主完成，小組內(nèi)展示，點評，教師巡視．(6

分鐘)-3

-3．根據(jù)下列問題，列出關(guān)于x的方程，并將其化成一元二次方-

1

3

-解下列方程：(1)2y2＝8；

(2)2(x－8)2＝50；(3)(2x－1)2＋4＝0; (4)4x2－4x＋1＝0.解：(1)2y2＝8，

(2)2(x－8)2＝50，

y2＝4，

(x－8)2＝25，

y＝±2，

x－8＝±5，

∴y1＝2，y2＝－2；

x－8＝5或x－8＝－5，

∴x1＝13，x2＝3；(3)(2x－1)2＋4＝0，(4)4x2－4x＋1＝0，

(2x－1)2＝－4<0，

(2x－1)2＝0，

∴原方程無解；

2x－1＝0，1

∴x1＝x2＝

.2點撥精講：觀察以上各個方程能否化成

x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，若能，則可運用直接開平方法解．一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(8

分鐘)1．用直接開平方法解下列方程：(1)(3x＋1)2＝7; (2)y2＋2y＋1＝24；(3)9n2－24n＋16＝11.解：(1)－1±

7

4±

113 3；(2)－1±2

6；(3) .點撥精講：運用開平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程時，最容易出錯的是漏掉負根．2．已知關(guān)于

x

的方程

x2＋(a2＋1)x－3＝0

的一個根是

1，求

a

的值．解：±1.二、跟蹤練習(xí)：學(xué)生獨立確定解題思路，小組內(nèi)交流，上臺展示并講解思路．(9

分鐘)用直接開平方法解下列方程：(1)3(x－1)2－6＝0; (2)x2－4x＋4＝5；(3)9x2＋6x＋1＝4; (4)36x2－1＝0；(5)4x2＝81; (6)(x＋5)2＝25；(7)x2＋2x＋1＝4.解：(1)x1＝1＋2，x2＝1－

2；

(2)x1＝2＋5，x2＝2－

5；31

(3)x1＝－1，x2＝

；1

1

(4)x1＝6，x2＝－6；

(5)x1 9

x2＝－9＝2， 2；

(6)x1＝0，x2＝－10；

(7)x1＝1，x2＝－3.學(xué)生總結(jié)本堂課的收獲與困惑．(2

分鐘)-4

-解下列方程：12一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動-

1

4

-用直接開平方法解一元二次方程．理解“降次”思想．3．理解

x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)中，為什么p≥0?學(xué)習(xí)至此，請使用本課時對應(yīng)訓(xùn)練部分．(10

分鐘)21．2.1配方法(2)會用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程．掌握配方法和推導(dǎo)過程，能使用配方法解一元二次方程．重點：掌握配方法解一元二次方程．難點：把一元二次方程轉(zhuǎn)化為形如(x－a)2＝b

的過程．(2

分鐘)1．填空：(1)x2－8x＋

16 ＝(x－

4 )2；(2)9x2＋12x＋

4 ＝(3x＋

2 )2； p

p(3)x2＋px＋ (

)

2 ＝(x＋

222

).2．若

4x2－mx＋9

是一個完全平方式，那么

m

的值是

±12 ．一、自學(xué)指導(dǎo)．(10分鐘)問題

1：要使一塊矩形場地的長比寬多

6

m，并且面積為

16

m2，場地的長和寬分別是多少米？設(shè)場地的寬為

xm，則長為

(x＋6) m，根據(jù)矩形面積為

16

m2，得到方程

x(x＋6)＝16 ，整理得到

x2＋6x－16＝0 ．探究：怎樣解方程

x2＋6x－16＝0?對比這個方程與前面討論過的方程

x2＋6x＋9＝4，可以發(fā)現(xiàn)方程

x2＋6x＋9＝4

的左邊是含有

x

的完全平方形式，右邊是非負數(shù)，可以直接降次解方程；而方程

x2＋6x－16＝0不具有上述形式，直接降次有困難，能設(shè)法把這個方程化為具有上述形式的方程嗎？解：移項，得

x2＋6x＝16， 6

b兩邊都加上

9 即 (

)

2 ，使左邊配成

x2＋bx＋ 2

的形式，得2x2(2)＋6

x ＋9＝16＋

9 ，左邊寫成平方形式，得(x＋3)2＝25 ，開平方，得

x＋3＝±5 ，

(降次)即

x＋3＝5 或

x＋3＝－5 ，解一次方程，得

x1＝

2 ，x2＝

－8 ．歸納：通過配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是為了降次，把一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程．問題

2：解下列方程：-5

-用直接開平方法解一元二次方程． p p22).2．若-

1

5

-(1)3x2－1＝5；(2)4(x－1)2－9＝0；(3)4x2＋16x＋16＝9.解：(1)x＝±1

52；(2)x1＝－2，x2＝2；7

1(3)x1＝－2，x2＝－2.歸納：利用配方法解方程時應(yīng)該遵循的步驟：把方程化為一般形式

ax2＋bx＋c＝0；把方程的常數(shù)項通過移項移到方程的右邊；(3)方程兩邊同時除以二次項系數(shù)

a；方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；此時方程的左邊是一個完全平方式，然后利用平方根的定義把一元二次方程化為兩個一元一次方程來解．二、自學(xué)檢測：學(xué)生自主完成，小組內(nèi)展示，點評，教師巡視．(8

分鐘)1．填空：(1)x2＋6x＋

9 ＝(x＋

3 )2；2(2)x－x＋

1

1 4

22＝(x－ )

；(3)4x2＋4x＋

1 ＝(2x＋1 )2.2．解下列方程：(1)x2＋6x＋5＝0; (2)2x2＋6x＋2＝0；(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0.解：(1)移項，得

x2＋6x＝－5，配方得

x2＋6x＋32＝－5＋32，(x＋3)2＝4，由此可得

x＋3＝±2

，即

x1＝－1，x2＝－5.(2)移項，得

2x2＋6x＝－2，二次項系數(shù)化為

1，得

x2＋3x＝－1，3

2 5配方得

x2＋3x＋

3)2＝(x＋

)

＝

，(2 2 43

5

5

3由此可得

x＋2＝±

2

，即x1＝

2

－2，

5

3x2＝－ －

.2 2(3)去括號，整理得

x2＋4x－1＝0，

移項得x2＋4x＝1，

配方得(x＋2)2＝5，x＋2＝±5，即x1＝5－2，x2＝－

5－2.點撥精講：解這些方程可以用配方法來完成，即配一個含有

x

的完全平方式．一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(5

分鐘)如圖，在

Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8

m，CB＝6

m，點

P，Q

同時由

A，B

兩點出發(fā)分別沿

AC，BC

方向向點C勻速移動，它們的速度都是

1

m/s，幾秒后△PCQ

的面積為Rt△ABC

面積的一半？-6

-(1)3x2－1＝5；(2)4(x－1)2－9＝0；(-

1

6

-解：設(shè)

x秒后△PCQ的面積為

Rt△ABC

面積的一半．根據(jù)題意可列方程：1

1

12(8－x)(6－x)＝2×2×8×6，即

x2－14x＋24＝0，(x－7)2＝25，x－7＝±5

，∴x1＝12，x2＝2，x1＝12，x2＝2

都是原方程的根，但

x1＝12

不合題意，舍去．答：2

秒后△PCQ

的面積為

Rt△ABC

面積的一半．點撥精講：設(shè)

x

秒后△PCQ

的面積為

Rt△ABC

面積的一半，△PCQ

也是直角三角形．根據(jù)已知條件列出等式．二、跟蹤練習(xí)：學(xué)生獨立確定解題思路，小組內(nèi)交流，上臺展示并講解思路．(8

分鐘)1．用配方法解下列關(guān)于x

的方程：(1)2x2－4x－8＝0；

(2)x2－4x＋2＝0；(3)x2 1

－1＝0

; (4)2x2＋2＝5.－2x5；解：(1)x1＝1＋

5，x2＝1－(2)x1＝2＋2，x2＝2－

2；1

17

1

17(3)x1＝4＋4，x2＝4－4

；(4)x1

6

x2

6＝2，＝－2

.2．如果

x2－4x＋y2＋6y＋

z＋2＋13＝0，求(xy)z的值．解：由已知方程得

x2－4x＋4＋y2＋6y＋9＋

z＋2＝0，即(x－2)2＋(y＋3)2＋

z＋2＝0，∴x＝2，y＝－3，z＝－2.36

1∴(xy)z＝[2×(－3)]－2＝ .學(xué)生總結(jié)本堂課的收獲與困惑．(2分鐘)用配方法解一元二次方程的步驟．用配方法解一元二次方程的注意事項．學(xué)習(xí)至此，請使用本課時對應(yīng)訓(xùn)練部分．(10

分鐘)21．2.2公式法-7

-解：設(shè)x秒后△PCQ的面積為Rt△ABC面積的一半-

1

7

-理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，了解公式法的概念．會熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程．重點：求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用．難點：一元二次方程求根公式的推導(dǎo)．(2

分鐘)用配方法解方程：(1)x2＋3x＋2＝0；

(2)2x2－3x＋5＝0.解：(1)x1＝－2，x2＝－1；

(2)無解．一、自學(xué)指導(dǎo)．(8分鐘)問題：如果這個一元二次方程是一般形式

ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根？2問題：

已知

ax

＋

bx

＋c＝

0(a≠0)，

試推導(dǎo)它的兩個根

x1

＝－b＋

b2－4ac2a，

x2

＝－b－

b2－4ac2a.分析：因為前面具體數(shù)字已做得很多，現(xiàn)在不妨把a，b，c

也當(dāng)成一個具體數(shù)字，根據(jù)上面的解題步驟就可以一直推下去．探究：一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系數(shù)

a，b，c

而定，因此：(1)解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式

ax2＋bx＋c＝0，當(dāng)

b2－4ac≥0

時，將

a，b，c

代入式子

x＝－b±

b2－4ac2a2就得到方程的根，當(dāng)

b

－4ac＜0

時，方程沒有實數(shù)根．(2)x＝－b±

b2－4ac2a2叫做一元二次方程

ax

＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．由求根公式可知，一元二次方程最多有2

個實數(shù)根，也可能有1 個實根或者

沒有 實根．一般地，式子

b2－4ac

叫做方程

ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判別式，通常用希臘字母Δ表示，即

Δ＝b2－4ac.二、自學(xué)檢測：學(xué)生自主完成，小組內(nèi)展示，點評，教師巡視．(5

分鐘)

用公式法解下列方程，根據(jù)方程根的情況你有什么結(jié)論？(1)2x2－3x＝0；(2)3x2－23x＋1＝0；(3)4x2＋x＋1＝0.23解：(1)x1＝0，x2＝

；有兩個不相等的實數(shù)根；

3

(2)x1＝x2＝

；有兩個相等的實數(shù)根；3

(3)無實數(shù)根．點撥精講：Δ＞0

時，有兩個不相等的實數(shù)根；Δ＝0

時，有兩個相等的實數(shù)根；Δ＜0時，沒有實數(shù)根．-8

-理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，了解公式法的概念．2問題-

1

8

-一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(8

分鐘)1．方程

x2－4x＋4＝0

的根的情況是(

B

)A．有兩個不相等的實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根C．有一個實數(shù)根D．沒有實數(shù)根2．當(dāng)

m

為何值時，方程(m＋1)x2－(2m－3)x＋m＋1＝0，(1)有兩個不相等的實數(shù)根？(2)有兩個相等的實數(shù)根？(3)沒有實數(shù)根？解：(1)m 1

(2)m 1

(3)m 1＜4； ＝4； ＞4.3.

已知

x2＋2x＝m－1

沒有實數(shù)根，求證：x2＋mx＝1－2m

必有兩個不相等的實數(shù)根.證明：∵x2＋2x－m＋1＝0沒有實數(shù)根，∴4－4(1－m)＜0，∴m＜0.對于方程

x2＋mx＝1－2m，即

x2＋mx＋2m－1＝0，Δ＝m2－8m＋4，∵m＜0，∴Δ＞0，∴x2＋mx＝1－2m

必有兩個不相等的實數(shù)根．二、跟蹤練習(xí)：學(xué)生獨立確定解題思路，小組內(nèi)交流，上臺展示并講解思路．(10

分鐘)1．利用判別式判定下列方程的根的情況：(1)2x2－3x 3

0; (2)16x2－24x＋9＝0；－2＝(3)x2－4

2x＋9＝0; (4)3x2＋10x＝2x2＋8x.解：(1)有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)有兩個相等的實數(shù)根；

(3)無實數(shù)根；

(4)有兩個不相等的實數(shù)根．2．用公式法解下列方程：(1)x2＋x－12＝0

; (2)x2－

2x 1

0；－4＝(3)x2＋4x＋8＝2x＋11;

(4)x(x－4)＝2－8x；(5)x2＋2x＝0

; (6)x2＋2

5x＋10＝0.解：(1)x1＝3，x2＝－4；

(2)x1＝

2＋

3

2－

32 2，x2＝ ；

(3)x1＝1，x2＝－3；

(4)x1＝－2＋6，x2＝－2－

6；

(5)x1＝0，x2＝－2; (6)無實數(shù)根．點撥精講：(1)一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系數(shù)

a，b，c確定的；(2)在解一元二次方程時，可先把方程化為一般形式，然后在

b2－4ac≥0

的前提下，把a，b，c

的值代入

x＝－b±

b2－4ac2a2-9

-(b

－4ac≥0)中，可求得方程的兩個根；一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示-

1

9

-(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有兩個實數(shù)根．學(xué)生總結(jié)本堂課的收獲與困惑．(2

分鐘)1.求根公式的推導(dǎo)過程．用公式法解一元二次方程的一般步驟：先確定．a(chǎn)，b，c

的值，再算．出

b2－4ac的值、最后代．入求根公式求解．用判別式判定一元二次方程根的情況．學(xué)習(xí)至此，請使用本課時對應(yīng)訓(xùn)練部分．(10分鐘)21．2.3

因式分解法會用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程．能根據(jù)具體的一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法，體會解決問題方法的多樣性．重點：用因式分解法解一元二次方程．難點：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．(2

分鐘)將下列各題因式分解：am＋bm＋cm＝(

a＋b＋c )m；(2)a2－b2＝

(a＋b)(a－b) ；(3)a2±2ab＋b2＝ (a±b)

2 ．一、自學(xué)指導(dǎo)．(8分鐘)問題：根據(jù)物理學(xué)規(guī)律，如果把一個物體從地面以

10

m/s

的速度豎直上拋，那么經(jīng)過

xs

物體離地的高度(單位：m)為

10x－4.9x2.你能根據(jù)上述規(guī)律求出物體經(jīng)過多少秒落回地面嗎？(精確到

0.01s)設(shè)物體經(jīng)過

xs

落回地面，這時它離地面的高度為

0，即

10x－4.9x2＝0，①思考：除配方法或公式法以外，能否找到更簡單的方法解方程①？分析：方程①的右邊為

0，左邊可以因式分解得：x(10－4.9x)＝0，于是得

x＝0

或

10－4.9x＝0，

②∴x1＝

0 ，x2≈2.04．上述解中，x2≈2.04

表示物體約在

2.04s

時落回地面，而

x1＝0表示物體被上拋離開地面的時刻，即

0

s

時物體被拋出，此刻物體的高度是

0

m.點撥精講：

(1)對于一元二次方程，先將方程右邊化為

0，然后對方程左邊進行因式分解，使方程化為兩個一次式的乘積的形式，再使這兩個一次因式分別等于零，從而實現(xiàn)降次，這種解法叫做因式分解法．如果

a·b

＝0，那么

a＝0

或

b＝0，這是因式分解法的根據(jù)．如：如果(x＋1)(x－1)＝0，那么

x＋1＝0

或

x－1＝0 ，即

x＝－1 或

x＝1．二、自學(xué)檢測：學(xué)生自主完成，小組內(nèi)展示，點評，教師巡視．(5

分鐘)1．說出下列方程的根：(1)x(x－8)＝0；

(2)(3x＋1)(2x－5)＝0.-

1

0

-(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有兩個實數(shù)根．-1-

1

10

-1

5解：(1)x1＝0，x2＝8；(2)x1＝－3，x2＝2.2．用因式分解法解下列方程：(1)x2－4x＝0;(2)4x2－49＝0；(3)5x2－20x＋20＝0.解：(1)x1＝0，x2＝4; (2)x1 7

x2 7＝2，

＝－2；(3)x1＝x2＝2.一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(8

分鐘)1．用因式分解法解下列方程：(1)5x2－4x＝0；(2)3x(2x＋1)＝4x＋2；(3)(x＋5)2＝3x＋15.54解：(1)x1＝0，x2＝

；2

1(2)x1＝3，x2＝－2；(3)x1＝－5，x2＝－2.點撥精講：用因式分解法解一元二次方程的要點是方程的一邊是

0，另一邊可以分解因式．2．用因式分解法解下列方程：(1)4x2－144＝0；(2)(2x－1)2＝(3－x)2；(3)5x2－2x 1

x2－2x 3－4＝ ＋4；(4)3x2－12x＝－12.解：(1)x1＝6，x2＝－6；34(2)x1＝

，x2＝－2；1

1(3)x1＝，x2＝－

；2 2(4)x1＝x2＝2.點撥精講：注意本例中的方程可以試用多種方法．二、跟蹤練習(xí)：學(xué)生獨立確定解題思路，小組內(nèi)交流，上臺展示并講解思路．(10

分鐘)1．用因式分解法解下列方程：(1)x2＋x＝0; (2)x2－23x＝0；(3)3x2－6x＝－3; (4)4x2－121＝0；(5)(x－4)2＝(5－2x)2.解：(1)x1＝0，x2＝－1；(2)x1＝0，x2＝23；(3)x1＝x2＝1；(4)x1 11，x2 11；＝

2 ＝－

2-

1

1

-1 5542 1341 12 2點撥精講：注意本例中的方程可(5)x1＝3，x2＝1.點撥精講：因式分解法解一元二次方程的一般步驟：將方程右邊化為

0 ；將方程左邊分解成兩個一次式的

乘積 ；令每個因式分別為

0 ，得到兩個一元一次方程；(4)解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解．2．把小圓形場地的半徑增加

5

m

得到大圓形場地，場地面積增加了一倍，求小圓形場地的半徑．解：設(shè)小圓形場地的半徑為

x

m.則可列方程

2πx2＝π(x＋5)2.解得

x1＝5＋5

2，x2＝5－5

2(舍去)．答：小圓形場地的半徑為(5＋5

2)

m.學(xué)生總結(jié)本堂課的收獲與困惑．(2分鐘)用因式分解法解方程的根據(jù)由

ab＝0

得

a＝0

或

b＝0，即“二次降為一次”．正確的因式分解是解題的關(guān)鍵．學(xué)習(xí)至此，請使用本課時對應(yīng)訓(xùn)練部分．(10

分鐘)21．2.4

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系理解并掌握根與系數(shù)的關(guān)系：x1＋x2 b，x1x2 c＝－a ＝a.會用根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系解題．重點：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及運用．難點：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及運用．一、自學(xué)指導(dǎo)．(10

分鐘)自學(xué)

1：完成下表：-

1

2

-方程x1x2x1＋x2x1x2x2－5x＋6＝02356x2＋3x－10＝02－5－3－10問題：你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？①用語言敘述你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；答：兩根之和為一次項系數(shù)的相反數(shù)；兩根之積為常數(shù)項．②x2＋px＋q＝0

的兩根

x1，x2

用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.答：x1＋x2＝－p，x1x2＝q.自學(xué)

2：完成下表：方程x1x2x1＋x2x1x22x2－3x－2＝021－232－13x2－4x＋1＝01314313(5)x1＝3，x2＝1.-12-方程x1x2x1＋x問題：上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論在這里成立嗎？(不成立)請完善規(guī)律：①用語言敘述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；答：兩根之和為一次項系數(shù)與二次項系數(shù)之比的相反數(shù)，兩根之積為常數(shù)項與二次項系數(shù)之比．②ax2＋bx＋c＝0

的兩根

x1，x2

用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律．答：x1＋x2 b

x1x2 c＝－a， ＝a.自學(xué)

3：利用求根公式推導(dǎo)根與系數(shù)的關(guān)系．(韋達定理)2ax

＋bx＋c＝0

的兩根x1＝

，x2＝

－b＋

b2－4ac －b－

b2－4ac2a

2a．b

cx1＋x2＝－a，x1x2＝a.二、自學(xué)檢測：學(xué)生自主完成，小組內(nèi)展示，點評，教師巡視．(5

分鐘)根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根之和與兩根之積．(1)x2－3x－1＝0；

(2)2x2＋3x－5＝0；1

2(3)3x

－2x＝0.解：(1)x1＋x2＝3，x1x2＝－1；3

5(2)x1＋x2＝－2，x1x2＝－2；(3)x1＋x2＝6，x1x2＝0.一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(10

分鐘)1．不解方程，求下列方程的兩根之和與兩根之積．(1)x2－6x－15＝0; (2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2.解：(1)x1＋x2＝6，x1x2＝－15；37(2)x1＋x2＝－

，x1x2＝－3；5

1(3)x1＋x2＝4，x1x2＝4.點撥精講：先將方程化為一般形式，找對

a，b，c.2．已知方程

2x2＋kx－9＝0的一個根是－3，求另一根及

k

的值．3解：另一根為2，k＝3.點撥精講：本題有兩種解法，一種是根據(jù)根的定義，將

x＝－3

代入方程先求

k，再求另一個根；一種是利用根與系數(shù)的關(guān)系解答．3．已知

α，β是方程

x2－3x－5＝0

的兩根，不解方程，求下列代數(shù)式的值．1(1)1＋；(2)α2＋β2；(3)α－β.α β3解：(1)－5；(2)19；(3)

29或－

29.-

1

3

-問題：上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論在這里成立嗎？(不成立)請完善規(guī)律：2二、跟蹤練習(xí)：學(xué)生獨立確定解題思路，小組內(nèi)交流，上臺展示并講解思路．(8

分鐘)1．不解方程，求下列方程的兩根和與兩根積：(1)x2－3x＝15; (2)5x2－1＝4x2；(3)x2－3x＋2＝10; (4)4x2－144＝0.解：(1)x1＋x2＝3，x1x2＝－15；(2)x1＋x2＝0，x1x2＝－1；(3)x1＋x2＝3，x1x2＝－8；(4)x1＋x2＝0，x1x2＝－36.2．兩根均為負數(shù)的一元二次方程是(

C

)A．7x2－12x＋5＝0 B．6x2－13x－5＝0C．4x2＋21x＋5＝0 D．x2＋15x－8＝0點撥精講：兩根均為負數(shù)的一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系滿足兩根之和為負數(shù)，兩根之積為正數(shù)．學(xué)生總結(jié)本堂課的收獲與困惑．(2分鐘)不解方程，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和已知條件結(jié)合，可求得一些代數(shù)式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系數(shù)的值．先化成一般形式，再確定

a，b，c.當(dāng)且僅當(dāng)

b2－4ac≥0

時，才能應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系．要注意比的符號：x1＋x2 b

比前面有負號)，x1x2 c

比前面沒有負號)．＝－a( ＝a(學(xué)習(xí)至此，請使用本課時對應(yīng)訓(xùn)練部分．(10分鐘)21．3

實際問題與一元二次方程(1)會根據(jù)具體問題(按一定傳播速度傳播的問題、數(shù)字問題等)中的數(shù)量關(guān)系列一元二次方程并求解．能根據(jù)問題的實際意義，檢驗所得結(jié)果是否合理．進一步掌握列方程解應(yīng)用題的步驟和關(guān)鍵．重點：列一元二次方程解決實際問題．難點：找出實際問題中的等量關(guān)系．一、自學(xué)指導(dǎo)．(12分鐘)問題

1：有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有

121

人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？分析：①設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了

x

個人，那么患流感的這一個人在第一輪中傳染了x 人，第一輪后共有

(x＋1) 人患了流感；②第二輪傳染中，這些人中的每個人又傳染了

x 人，第二輪后共有

(x＋1)(x＋1) 人患了流感．則列方程：(x＋1)2＝121 ，解得

x＝10

或x＝－12(舍) ，-

1

4

-二、跟蹤練習(xí)：學(xué)生獨立確定解題思路，小組內(nèi)交流，上臺展示并講即平均一個人傳染了

10 個人．再思考：如果按照這樣的傳染速度，三輪后有多少人患流感？問題

2：一個兩位數(shù)，它的兩個數(shù)字之和為

6，把這兩個數(shù)字交換位置后所得的兩位數(shù)與原兩位數(shù)的積是

1008，求原來的兩位數(shù)．分析：設(shè)原來的兩位數(shù)的個位數(shù)字為x ，則十位數(shù)字為

(6－x) ，則原兩位數(shù)為10(6－x)＋x，新兩位數(shù)為10x＋(6－x) ．依題意可列方程：[10(6－x)＋x][10x＋(6－x)]＝1008 ，解得

x1＝

2 ，x2＝

4 ，∴原來的兩位數(shù)為

24

或

42.二、自學(xué)檢測：學(xué)生自主完成，小組內(nèi)展示，點評，教師巡視．(5

分鐘)某初中畢業(yè)班的每一個同學(xué)都將自己的相片向全班其他同學(xué)各送一張表示留念，全班共送了

2550

張相片，如果全班有

x

名學(xué)生，根據(jù)題意，列出方程為(

)A．x(x＋1)＝2550B．x(x－1)＝2550C．2x(x＋1)＝2550D．x(x－1)＝2550×2分析：由題意，每一個同學(xué)都將向全班其他同學(xué)各送一張相片，則每人送出(x－1)張相片，全班共送出

x(x－1)張相片，可列方程為

x(x－1)＝2550.

故選

B.一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(8

分鐘)某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是

91，求每個支干長出多少小分支？解：設(shè)每個支干長出

x個小分支，則有

1＋x＋x2＝91，即

x2＋x－90＝0，解得

x1＝9，x2＝－10(舍去)，故每個支干長出

9

個小分支．點撥精講：本例與傳染問題的區(qū)別．一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小

4，且個位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這個兩位數(shù)小

4，設(shè)個位數(shù)字為

x，則列方程為： x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x－4 ．二、跟蹤練習(xí)：學(xué)生獨立確定解題思路，小組內(nèi)交流，上臺展示并講解思路．(7

分鐘)1．兩個正數(shù)的差是

2，它們的平方和是

52，則這兩個數(shù)是(

C

)A．2和4B．6和8C．4和6

D．8和102．教材

P21

第

2

題、第

3

題學(xué)生總結(jié)本堂課的收獲與困惑．(3

分鐘)1．列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟：“審”：即審題，讀懂題意弄清題中的已知量和未知量；“設(shè)”：即設(shè)

未知數(shù) ，設(shè)未知數(shù)的方法有直接設(shè)和間接設(shè)未知數(shù)兩種；“列”：即根據(jù)題中

等量 關(guān)系列方程；“解”：即求出所列方程的

根 ；(5)“檢驗”：即驗證根是否符合題意；(6)“答”：即回答題目中要解決的問題．2.

對于數(shù)字問題應(yīng)注意數(shù)字的位置．學(xué)習(xí)至此，請使用本課時對應(yīng)訓(xùn)練部分．(10分鐘)-

1

5

-即平均一個人傳染了10 個人．-15-21．3

實際問題與一元二次方程(2)會根據(jù)具體問題(增長率、降低率問題和利潤率問題)中的數(shù)量關(guān)系列一元二次方程并求解．能根據(jù)問題的實際意義，檢驗所得結(jié)果是否合理．進一步掌握列方程解應(yīng)用題的步驟和關(guān)鍵．重點：如何解決增長率與降低率問題．難點：理解增長率與降低率問題的公式

a(1±x)

n＝b，其中

a

是原有量，x

為增長(或降低)率，n

為增長(或降低)的次數(shù)，b

為增長(或降低)后的量．一、自學(xué)指導(dǎo)．(10分鐘)自學(xué)：兩年前生產(chǎn)

1

噸甲種藥品的成本是

5000

元，生產(chǎn)

1

噸乙種藥品的成本是

6000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)

1

噸甲種藥品的成本是

3000

元，生產(chǎn)

1

噸乙種藥品的成本是

3600

元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？(精確到

0.01)絕對量：甲種藥品成本的年平均下降額為(5000－3000)÷2

＝1000(元)，乙種藥品成本的年平均下降額為(6000－3600)÷2

＝1200(元)，顯然，乙種藥品成本的年平均下降額較大．相對量：從上面的絕對量的大小能否說明相對量的大小呢？也就是能否說明乙種藥品成本的年平均下降率大呢？下面我們通過計算來說明這個問題．分析：①設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為

x，則一年后甲種藥品成本為

5000(1－x) 元，兩年后甲種藥品成本為

5000(1－x)2

元．依題意，得 5000(1－x)2＝3000 ．解得

x1≈0.23，x2≈1.77 ．根據(jù)實際意義，甲種藥品成本的年平均下降率約為

0.23 ．②設(shè)乙種藥品成本的年平均下降率為

y.則，列方程：

6000(1－y)2＝3600 ．解得

y1≈0.23，y2≈1.77(舍) ．答：兩種藥品成本的年平均下降率

相同 ．點撥精講：經(jīng)過計算，成本下降額較大的藥品，它的成本下降率不一定較大，應(yīng)比較降前及降后的價格．二、自學(xué)檢測：學(xué)生自主完成，小組內(nèi)展示，點評，教師巡視．(8

分鐘)某商店

10

月份的營業(yè)額為

5000元，12

月份上升到

7200

元，平均每月增長百分率是多少？【分析】如果設(shè)平均每月增長的百分率為

x，則11

月份的營業(yè)額為

5000(1＋x) 元，12月份的營業(yè)額為

5000(1＋x)(1＋x) 元，即

5000(1＋x)2

元．由此就可列方程： 5000(1＋x)2＝7200 ．點撥精講：此例是增長率問題，如題目無特別說明，一般都指平均增長率，增長率是增長數(shù)與基準數(shù)的比．增長率＝增長數(shù)∶基準數(shù)設(shè)基準數(shù)為

a，增長率為x，則一月(或一年)后產(chǎn)量為

a(1＋x)；-

1

6

-21．3實際問題與一元二次方程(2)-16-二月(或二年)后產(chǎn)量為

a(1＋x)2；

n

月(或n

年)后產(chǎn)量為

a(1＋x)n；如果已知

n

月(n

年)后產(chǎn)量為

M，則有下面等式：M＝a(1＋x)n.解這類問題一般多采用上面的等量關(guān)系列方程．一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(8

分鐘)某人將

2000元人民幣按一年定期存入銀行，到期后支取

1000

元用于購物，剩下的

1000元及應(yīng)得利息又全部按一年定期存入銀行，若存款的利率不變，到期后本金和利息共

1320元，求這種存款方式的年利率．(利息稅

20%)分析：設(shè)這種存款方式的年利率為

x，第