2021高考數(shù)學(xué)全國乙卷理(解析 答案)

2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)乙卷(參考答案)

注意事項(xiàng):

1.答卷前，號(hào)生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛空把答題卡上.對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈

后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題X一并交回.

一、選擇題本題共12小題,每小題5分.共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.

1.設(shè)2(z+E)+3(1T)=，I+6i,則m=().

A：l-2iB*1+2iC*1+iD：1-i

答案：C.

解析：設(shè)z=a+bi.則W=a—bi.2(z+司+3(2-3)=4a+66i=4+6i.所以。=Lb=l,所以z=l+i.

2.已知集合S—{s|,s=2u+{，，=Ln€Z},則SCT=().

A：0B：SC：TD：Z

答案：C.

解析：8=2〃+1E￡Z：

當(dāng)〃=2k,k€Z時(shí),S={,|s二Ik+1.Ar€Z};當(dāng)〃=2A*+1.k€Z時(shí),S二1y|s=Ik+3.kWZ).

所以T*S,SCT=T.故選C.

3.已知命題〃：3X€R.sinj-<1;命題(/:YJ*WR.c|r,21,則下列命題中為真命題的是().

A:pAgB:rpAqC:pApD:-?(pAq)

答案：A.

解析：p真,q真.故選A.

4.設(shè)函數(shù)f(T)=則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是().

A：f(x-1)-1B：/(X-1)4-1C：〃工+1)-1D：/(r4-1)+1

答案：B.

解析：/")一一】+一關(guān)于(-1,-1)中心對(duì)稱.

向右1個(gè)單位，向上1個(gè)單位后關(guān)于(0.0)中心對(duì)稱.所以y=/3-1)+1為奇函數(shù).

5.在正方體ABCD-AXBXC{D}中，尸為的中點(diǎn),則直線PI3與ADX

所成的角為().

答案：D.

解析：如圖.NPBC'i為直線PI3與.45所成角的平面角.

易知△小/3G為正-角形，又〃為4,CI中點(diǎn),所以/PBg=

u

6.將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺I個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn).每名志愿者只分配

到1個(gè)項(xiàng)個(gè)每個(gè)項(xiàng)H至少分配I名志愿者.則不同的分配方案共有（）.

A：6()種B:12。種C：2M)種D：48()種

答案：C.

解析：所求分配方案數(shù)為C,A：=2川.

7.把函數(shù)y二/"）圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的；倍、縱坐標(biāo)不變、冉把所得曲線向右平移+個(gè)單

位長度,得到函數(shù)y=sin"-i）的圖像,則/（?）=（）.

A：§嗚瑞）B,，嗚+三）Ci：sm（2「碧）D：sin（2x4治

答案：B

解析：逆向:y=sin（r?。┮灰?期二sinfr+g）樸'旭.，的鳴y-sin（9+合）.故選B.

8.在區(qū)間（0,1）與（L2）中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù).則兩數(shù)之和大于:的概率為（）.

4

▲7?23k9c2

A：-B：--C：X?D：-

932329

答案：B.

解析：由牌意記，€（0,1），1/€（1.2）.題目即求工十？＞；的樁率.繪圖如下所示.

二一4

9.魏晉時(shí)期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作,其中第一題是測的海島的劉如圖,點(diǎn)￡〃.G

在水平線AC上,DE和FG是兩個(gè)垂直「水平面旦等而的測成標(biāo)桿的高度，稱為“表高：EG稱為“表距―

GC和EH都稱為“表目版”與E”的差稱為"表目用的差”.則海島的高AB=（）.

表高x表距表高x表距

+表高B：一表高

米目距的差表目距的差

表福x表即表高X表距

+表距-表距

求目距的差表口距的差

（第9題圖）

答案：A.

解析：連接DE交于JU.則.4B=AM+BA/.

MBMBxtD（1I.GCEH、GC-EH

tan3tanaian8tanarzFGED'ED

EDDF表高x表即bi“士表高,表距上占

故=GC-EH二&口距的差,刖入'i=我目距的差一""

10.設(shè)a#0,若工=a為函數(shù)/（J?）=a（x-a）2（i-6）的極大值點(diǎn).則（）.

A：a<bB：a>bC：u6<a2D：ab>a?

答案：D.

解析：若。>0,其圖像如圖（I）,此時(shí),。Va<b;若aVU,其圖像如圖（2）,此時(shí),b<a<0.

心率的取值范圍是（）.

答案：C.

解析：由題意，點(diǎn)5（04）?設(shè)〃（工小如），則萼+*=1。/=。氣】一fh故

\PB\2=J*（）4-（物一6）2=o2（l-患）+就-2如?+b2=一菸詔-2如o+a2+?\小€[—6,6].

由題意,當(dāng)初二—b時(shí),|尸B|2最大.則《w—瓦d?_/.w空即eJU.苧）.

12.設(shè)d=2lnLOLb=lnl.O2,c=vTiH-1.PM（）.

A：a<b<cB：b<c<aCtb<a<cD:c<a<b

答案：B.

解析：設(shè)f(x)=ln(l+x)vTTTr卜1.則〃，=/(0.02).易得

2(7^77-(1+1)

/'(，)=777

-2，r+2i一(1+])?+而?

當(dāng)上》0時(shí).1十上二01+022，1+2二故/”)w0.

所以/")在［0.+x)上單調(diào)遞減.所以/(0.02)</(0)=0.故b<r.

再設(shè)9(工)=2皿1+工)一，mr+1.則a-c=g(0.01),易得

八r)==_______\=2.三毛。,

14-r2V-十一(1+上)-1+4r

當(dāng)0W上V2時(shí)，，Td與十二十0—1十￡所以/⑶在［0,2)±》0.

故y(x)在［0,2)上單調(diào)遞增.所以g(0.0l)>g⑼=0.故”>c.

綜上.a>c>b.

二、填空題本題共4小題,每小題5分,共20分

13.已知雙曲線C:--y2=1(rn>0)的一條漸近線為限T+my=0,則C的焦距為.

m

答案：4.=

解析：易知雙曲線漸近線方程為D=±-x,由題意存M=m.廬=1.且一條漸近線方程為y=--.r,則行

nm

m=0(舍去),m=3.故焦距為2c=4.

14,已知向量a=(L3).b=(3,4),若(a-Xh).Lb,則A二.

3

答案：:..」

o

解析：由題意得(a-Xb)b=。，即15-25A=U,解得入=—

0

15.記△A6C的內(nèi)角A8.C的對(duì)邊分別為?,6,c,面積為4.B=60°./+/=3ar,則b=.

答案：20._

解析：S〉A(chǔ)BC=［acsinB=---ac—0.所以ac=4.

由余弦定理、ft2=a24-c2—ar=3ac-ac—2ac=8.所以b=2\/2.

16.以圖①為正視圖.在圖②③?⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和相視圖,組成某個(gè)三棱錐的三視圖,則所

選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為(寫出符合要求的一組答案即可).

答案：②?或③(》.

解析：由高度可知，側(cè)視圖只能為②或③.

(1)(2)

側(cè)視圖為②,如圖（1）,平面PAC，平面ABC.PA-PC=x/2,BA=B。==2.俯視圖為⑤.

俯視圖為③，如圖（2）.E4_L平而A3UPA=l.AC=AB=^BC=2.俯視圖為④.

圖④

（第16咫圖）

三、解答題共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第17?21題為必考題,每個(gè)試題考生都

必須作答;第22、23題為選考題.考生根據(jù)要求作答.

（-）必考題：共5小題.每小題12分，共60分.

17.（12分）

某廠研制了?種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備,為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用?臺(tái)III設(shè)備和?臺(tái)新

設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品,得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如E

舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

1日設(shè)備和新設(shè)招生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為了和譏樣本方差分別記為昭和

⑴求元產(chǎn),姆國；I

（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果U-F）2\p2'則認(rèn)為新設(shè)

備牛.產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高,否則不認(rèn)為有顯著提高）.

解：（1）各項(xiàng)所求值如下所示.

T=—(9.84-10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.04-10.1+10.2+9,7)=10.0,

y=-(10.1+10.4+10.1+10.04-10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,

V=,x[(9.7—10,0)2+2x(9.8-10.0)2+(9.9-10,0)24-2x(10.0—10.0)2+(10.1—10.0產(chǎn)+

2x(10.2—10.0產(chǎn)+(10.3-10.0)2]=0.36.

222

4=，x[(KM)1。.3產(chǎn)+3x(]。]-10,3)+(10.3-10.3)+2x(10.4-10.3)+

2x(10.5-10.3尸+(10.6-10.3戶]=0.4.

(2)由(1)中數(shù)據(jù)得9-7=032\/呻言xO.34.

顯然j；-7<2\"予?所以不認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.

18.(12分)

如圖.四棱錐尸-ABC。的底面是矩形,PD1.底面ABCDPO=。。=1.M為BC的中點(diǎn)，且P8_LAM.

Q)求BC;

(2)求二而角A-PM-B的正弦值.

解：(I)因?yàn)槭?。工平面且矩?,ADJ.DC.所以以方丸說,蘇分別為了.以？軸正方

向./)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Dryz,

設(shè)BC=t./4(t,0,0),B(f,1.0),A/(^.1.0J,P(0,0,l),所以兩一一(-^.1.0).

因?yàn)槭珺_L4\/,所以注?布)--J+1=0,所以/=e.所以BC=0.

⑵設(shè)平面從尸.”的一個(gè)法向蛾為m^(r,y,硬由PN=(->/2.0.1),則

m-AP=~\/2jt+3=1).

令/=\/5,得m=(L2).

設(shè)平面PMB的一個(gè)法向量為n=5.心力,則

nCfi=y/irf—0,

n-P/i=\pif+/-J=0.

令/=l,^n^(0.1.1).

所以cos(mm)=-答.所以二面角A-PM-3的正弦值為喜.

|m||n|y/7xy/21414

19.(12分)

21

記S”為數(shù)列｛冊｝的前n項(xiàng)和?鼠為數(shù)列｛Sn｝的前n項(xiàng)枳.己知:+J=2.

(1)證明:數(shù)列抄”｝是等差數(shù)列;

(2)求｛6｝的通項(xiàng)公式.

解：(I)由已知1—F?j—=2.則-~—=S”(r?，2).

3nM―一

[3

=2n26n-1+2=nbTlb?_\——(n22)」“=5.

故｛b?｝是以1為苜項(xiàng),|為公差的等差數(shù)列.

oQ71+2fl-t-11

〃》2時(shí).b?———-----------二一；一

un+1nnfn+1)；.

3

2*n=L

故?！??]/

-----：-------F?n，2，

n[n+1)

20.(12分)

設(shè)函數(shù)f{x}=ln(a-r).已知r=0是函數(shù)y=j-f(x)的極值點(diǎn).

⑴求。；

(2)設(shè)函數(shù)(/(r)="+&.證明：g(r)<1.

解：(I)k/(N)r=￡‘/(/)+T/'3).

當(dāng)上=0時(shí).[工〃￡獷=/(0)=ln/i=0,所以小=1.

(2)由/(才)=ln(l-『),J-<1.

當(dāng)0VTv1時(shí)./(ar)=ln(l-r)<(J.jf(x)v0;當(dāng)rv(J時(shí),/(工)=ln(1—n)>0.xf(x)<0.

故即證x+f(x)>x/(x),x+ln(l-x)-xln(l-z),>0.

令1/二/且，/I),」?一1-f.即證1C+ln/-(1f)lnrX).

令/(0=1-4-In/-(1-則

ii_(][一,

/z(t)=—1+7—[(-1)Inf+--—j=-14-j4-Ini----------=Int.

所以f(t)在(03)上單調(diào)遞減,在5+8)上單調(diào)遞增.故f(ty>/(!>0,得證.

21.(12分)

已知拋物線C.產(chǎn)=2py(p>0)的焦點(diǎn)為￡且F與阿M:/+?+4產(chǎn)=I上點(diǎn)的距離的最小值為4.

⑴求『:

⑵若點(diǎn)P在ML尸從尸B是C的兩條切線.A.B是切點(diǎn),求△尸工8面枳的最大值.

解：⑴焦點(diǎn)尸(嗎)到爐+(“+4)2=1的最短距離為占37.所以“一2

(2)拋物線y=設(shè)4丁2、加).。(心,帆).則

4

IPA-y=不工一工一工力+捫=不叫工一=不丁1工一"1?

i/q/

Ipn:!/=-$2.且溫=一點(diǎn)-8/-15.

tyo-|xiX0-yn]I

IpzIpB都過點(diǎn)而,則(]故IAB:加=/皿一n，即期=-r()r-m

|曲=針2Ho-%

y=gw-的)，,e

2.得工2-2XQX+4如=0,△=4xg-16的.

(?=4y

所以\AB\—J1+?.\]4瑤-16yo=,4+￡之./上a-4加,dp—AB=所以

s4P318=葡陰,-AB=$K?I_仙=1宙_4的N=:(一加-12加一15)上

而如w|5,3J.故當(dāng)如=~5時(shí)，S2P.達(dá)到最大,最大值為力彳.

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做.則按所做的第一題計(jì)分.

22.【選修4一4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程】(10分)

在直角坐標(biāo)系xOy中，C。的園心為f(2,1),半徑為1.

(1)”出?;C的一個(gè)參數(shù)方程；

(2)過點(diǎn)門[1)作的兩條切戰(zhàn).以坐標(biāo)蹤點(diǎn)