2021屆全國高考數(shù)學(xué)超級聯(lián)考試卷附答案解析

2021屆全國高考數(shù)學(xué)超級聯(lián)考試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分)

Z

1.已知復(fù)數(shù)Z滿足----=2,正是虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)Z對應(yīng)的點在()

4+2i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知集合4={x|-3<x<5,且X6Z},8={加％2一%一2>0},則力nB=()

A.{0,1}B.{-1,0}C.{-2,3,4}D.{2,3,4}

3.若(1一2%)2011=a。+&*+T--則與?+梟H--------------+署段的值為()

A.—2B.-1C.0D.2

4.設(shè)區(qū)是兩條不同的直線，S是三個不同的平面，下列四個命題中假命題的是()

A.若叵］則回B.若回則S

C.若因則因D.若回，則0

5.設(shè)非零向量五與方的夾角是等，且|蒼|=|蒼+石則岸震的最小值為()

A.里B.3C.iD.1

322

6.不等式/-4%>2QX+a對一切實數(shù)》都成立，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(1,4)B.(-4,—1)

C.(-8,-4)U(―1,+8)D.(-8,1)u(4,+8)

7.尸(九)是一個關(guān)于自然數(shù)?I的命題，若F(k)(kWN+)真,則尸(々+1)真，現(xiàn)已知F(7)不真，則有：

①F(8)不真；②尸(8)真；③F(6)不真；④尸(6)真；⑤F(5)不真；⑥F(5)真.其中真命題是()

A.③⑤B,①②C.④⑥D(zhuǎn).③④

8,下列函數(shù)中，周期為2兀的奇函數(shù)為()

A.y=sin；cos；B.y=sin2x

C.y=tan2xD.y=sin2x+cos2x

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分)

9.已知實數(shù)x,y,z滿足度=，。92丫=%則下列關(guān)系式中可能成立的是()

A.y=z>xB.z=x>yC.y>z>xD.z>y>x

10.設(shè)函數(shù)f（x）=sin（3X-》（3>0）,已知/（%）在［0,2兀］內(nèi)有且僅有2個零點，則下列結(jié)論成立的

有（）

A.函數(shù)y=/（X）+1在（0,2兀）內(nèi)沒有零點

B.y=/（x）-1在（0,2兀）內(nèi)有且僅有1個零點

C.f（x）在（0潦）上單調(diào)遞增

D.3的取值范圍是S3）

OO

11.已知方程+71y2=1（科71￡R）,則下面四個選項中正確的是（）

A.當(dāng)血>九>0時，方程表示橢圓，其焦點在y軸上

B.當(dāng)?n=?i>0時，方程表示圓，其半徑為迎

C.當(dāng)nm<0時，方程表示雙曲線，其漸近線方程為y=±產(chǎn)?x

D.方程表示的曲線不可能為拋物線

12.已知數(shù)列5｝滿足的=aan^n-i-fln-1+1=0（n>2,nGW*）-Sn是其前n項和，則（）

A.a6=2B.S12=6

a

一010,12

三、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)供電所為了調(diào)查農(nóng)村居民用電量情況，隨機抽取了500戶居民去年的用電量（單位：kw/h）,

將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖如圖所示；其中直方圖從左到右前3個小矩形的面積之

比為1：2：3.該鄉(xiāng)鎮(zhèn)月均用電量在37?39之內(nèi)的居民共有_戶.

t頻率

W

0.0875

0.0375

35373941

14.已知點4（4,0）,。為原點，對于圓。：/+72=4上的任意一點p,直線&y=kx-l上總存在

點Q滿足條件加+初=2的，則實數(shù)k的取值范圍是.

15.已知cos（a+S）=；,其中a為銳角，貝i］sin（a-普）的值為.

16316

16.已知”是球。的直徑ZB上一點，AH：HB=1：3,4BJ"平面a,"為垂足，平面a截球。所得截

面的面積為兀，則球。的半徑為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

22

17.已知正項數(shù)列｛冊｝的前71項和又滿足：S%-(n+2n-3)Sn-3(n+2n)=0(n6N*)

2

(I)求證：Sn=n+2n；

(n)求數(shù)列｛三｝的前n項和7Tl.

3n

18.在△ABC中，已知a=60。，AB=2,角4的平分線AD=延，求邊4c的長.

3

19.某項比賽中甲、乙兩名選手將要進行決賽，比賽實行五局三勝制.已知每局比賽中必決出勝負，

若甲先發(fā)球，其獲勝的概率為去否則其獲勝的概率為

(1)若在第一局比賽中采用擲硬幣的方式?jīng)Q定誰先發(fā)球，試求甲在此局獲勝的概率；

(2)若第一局由乙先發(fā)球，以后每局由負方發(fā)球，規(guī)定勝一局得3分，負一局得0分，記x為比賽結(jié)束

時甲的總得分，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形4BCD為平行四邊形，以BC為直徑的圓0(0為圓心)過點4,

且20=AC=4P=2,PA^ABCD,M為PC的中點.

(1)證明：平面04Ml平面PCD；

(2)求二面角。一MD-C的余弦值.

21.求函數(shù)y=2/一+5在［0,3］上的最大值與最小值.

3X2-12X

22

22.已知橢圓C：］+4=1(">&>0)的一個頂點恰好是拋物線/=4母的焦點，且離心率為

ah

1

e=—.

2

(/)求橢圓c的方程；

(〃)設(shè)過原點的直線與橢圓C交于A,B兩點,過橢圓C的右焦點作直線，//4月交橢圓C于M,N兩

點.試問一§是否為定值，若為定值，請求出這個定值；若不是定值，請說明理由.

\MN\

參考答案及解析

1.答案：B

解析：本題考查復(fù)數(shù)的基本運算及復(fù)數(shù)的幾何意義，考查了學(xué)生的計算能力.

Z

解：由石百■二】得z=i(4+2i)=-2+4i，

因此復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(-2,4),在第二象限.

故選B.

2.答案：C

解析：解：由B中不等式變形得：(x-2)(x+l)>0,

解得：x<-1或x>2,即B={x\x<-1或x>2},

???4={刻-3cx<5,且x€Z}={-2,-1,0,1,2,3,4),

■■Ar\B=(-2,3,4).

故選：C.

求出B中不等式的解集確定出B,列舉出4中的元素，找出兩集合的交集即可.

此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵.

3.答案:B

解析：解：由題意得：%=C￡oii(-2)r,

y+^+…+翳I=-C2011+C2011~C2011■+---+C2011-C2011>

???C%1-Gou+廢on-第on+…+廢第-C據(jù)=(1一2產(chǎn)11

?以+&+,^2011_

2十22十+22011

故選8

22011

有若(1—2x)2011=劭+a1X+a2x+…+a2011x(xeR)得到展開式的每一項的系數(shù)與，代入到

y++,?,+翳f中求值即可.

此題考查了二項展開式定理的展開使用及靈活變形求值，屬于二項式定理應(yīng)用的中等難度題但也數(shù)

常見題型.

4.答案：C

解析：試題分析：設(shè)mna=O,過。與直線n的平面0,利用線面平行的性質(zhì)得線線平行，再由線線

平行得線線垂直，來判斷力是否正確；

根據(jù)平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面，來判斷B是否正確；

借助圖形，若/〃a,alp,直線/與平面6的位置關(guān)系不確定，由此可判斷C是否正確；

根據(jù)平行平面中的一個垂直于一條直線，另一個也垂直于這條直線，由此判斷。是否正確.

考點：空間的線面的位置關(guān)系.

5.答案：B

解析：-I?|a|=\a+b\，.-.a2=-a+b2+2a-b>=-2a-b=-2\a\\b\cos^=\a\\b\,

\b\=\a\=\a+b\.

■-a-b=-1|b|2,

,|2a+tb|、24五2+4七。石+~54—2￡+尸1《、23

二支彳)=----/----=「一=41)+不

...當(dāng)t=一1時，嘲1取得最小值日=立.

\2b\<42

故選：B.

對|磴=|五+肛兩邊平方化簡得出|即=|石|，計算鬻1的平方，得到只含￡的二次函數(shù)，然后利用

二次函數(shù)的特性來求出最值.

本題考查平面向量的綜合運用，解題的關(guān)鍵點在于把里好的化成只含有t為自變量的二次函數(shù)形態(tài),

|2/)|

進而求最值.

6.答案：B

解析：

本題考查不等式的恒成立問題，是基礎(chǔ)題.

把不等式/一4x>2ax+a化為/一(4+2a)x-a>0,得A<0,即可求出a的取值范圍.

解：不等式爐—4%>2ax+a變形為——(4+2d)x—a>0,

該不等式對一切實數(shù)x恒成立，

4<0,

即(4+2a)2+4a<0,

化簡得a?+5a+4<0,

解得—4<a<—1,

二實數(shù)a的取值范圍是(一4,-1).

故選艮

7.答案：A

解析：解：由原命題等價于逆否命題可得：若+l)(k屬于N)不真，則F(k)不真，從而③⑤為真

命題，

故選A.

利用原命題等價于逆否命題可以進行判斷

本題主要考查四種命題即命題的等價性，從而將問題巧妙轉(zhuǎn)化.

8.答案：A

解析：解丫=sin；cos；=：s譏x為奇函數(shù)，且周期為2兀，故滿足條件；

y=sin2n=^箸是偶函數(shù)，且周期為〃，故不滿足條件：

y=tan2x是奇函數(shù)，且周期為:，故不滿足條件；

、=5譏2%+0052%=7^比(2%+9是非奇非偶函數(shù)，且周期為乃，故不滿足條件；

故選：A.

利用三角恒等變換花簡函數(shù)的解析式，再利用三角函數(shù)的奇偶性和周期性，得出結(jié)論.

本題主要考查三角恒等變換，三角函數(shù)的奇偶性和周期性，屬于中檔題.

9.答案：ACD

解析：解：如圖，

x,y,z的關(guān)系有下列三種情況：y>z>x,y=z>x,z>y>x,由圖象可看出，z與x不可能相

等，那錯誤，ACD都正確.

故選:ACD.

在同一坐標(biāo)系下畫出y=2,y=log2久和y=:的圖象，并畫出y=c的圖象，根據(jù)圖象即可判斷出x,

y,z可能的大小關(guān)系.

本題考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象的畫法，數(shù)形結(jié)合解題的方法，考查了作圖能

力，屬于中檔題.

10.答案：BCD

解析：解：?.?函數(shù)/(x)=sin(3x>0),已知/'(x)在［0,2兀］內(nèi)有且僅有2個零點，

(i)xE［—^,2a)n—7T<2O)TT—^<2TT,求得gWto<3,D正確；

/(%)+1=0,即/(%)=-1,即sin(3x-1)=-1,在(0,2兀)內(nèi)能成立，

例如當(dāng)3=1時，若》=?,則sin(3X-9=sin0—》=-l,故A錯誤.

y=/(x)-l，即sin(3X-》=l,在(0,2兀)內(nèi),wx-^6

只有當(dāng)3兀-3=1時，sin(3X-》=l,故y=/(x)-1有且僅有1個零點，故8正確；

在(0,爭上，3%—旌(一%等—》而等*<壬.?.函數(shù)/(%)單調(diào)遞增，故C正確；

故選：BCD.

由題意利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論.

本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.

11.答案：ACD

解析：

利用m,n的取值，判斷曲線方程表示的圖形即可.

本題考查曲線與方程的應(yīng)用，圓錐曲線與方程的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題.

解：方程？n-+ny2=l(m,nER),

y2工2

當(dāng)m>n>0時，方程表示橢圓工"+工=1,其焦點在y軸上；所以A正確；

nm

當(dāng)m=n>0時，方程表示圓，其半徑為生；所以B不正確：

n

當(dāng)mn<0時，方程表示雙曲線，其漸近線方程為、=±6，,所以C正確；

方程中沒有x或y的一次項，所以方程表示的曲線不可能為拋物線，所以。正確；

故選：ACD.

12.答案:ABC

解析：解：數(shù)列｛即｝滿足的=：,即&?-1-%1-1+1=。5豈2,neN*),

當(dāng)71=1時，解得a2=-1,

當(dāng)n=2時，解得。3=2,

當(dāng)n=3時，解得。4=｝

所以數(shù)列｛斯｝的周期為3.

故。6=&3=2,

S12=4S3=4x(i+2-l)=6,

連1=1=ciio,ai2=2x-=1,

2sliHSi。+S]2，

故選：ABC.

直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出數(shù)列的周期為3,進一步求出數(shù)列的和和數(shù)列的各項的值，進一步求

出結(jié)果.

本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，數(shù)列的周期，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力

及思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

13.答案：125

解析：

根據(jù)小矩形的面積之比=頻率之比，利用面積比求前三組的頻率，利用頻數(shù)=頻率x樣本容量得在

37?39之內(nèi)的居民數(shù)；本題考查了由頻率分布直方圖求頻率、頻數(shù)，在頻率分布直方圖中頻率=

者上=小矩形的面積.

樣本容量

解：???從左到右前3個小矩形的面積之比為1：2：3.

二頻率之比為1：2：3,

又?.?頻率之和為1-0.0375X2-0.0875x2=0.75,

.?.在37?39之內(nèi)的頻率為0.75x|=0.25,

???在37?39之內(nèi)的居民共有500X0.25=125戶；

故答案為：125

14.答案：［0彳］

解析：

【試題解析】

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及向量的三角形法則以及直線的斜率公式，屬于綜合題.

根據(jù)題意，設(shè)設(shè)P(2cos0,2s譏0),由向量的三角形法則分析可得Q是P4的中點，即可得Q的坐標(biāo)，將

Q的坐標(biāo)代入直線1的方程，變形可得上=黑1,分析k的幾何意義，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，分

析可得答案.

解：根據(jù)題意，P是圓。：產(chǎn)+丫2=4上任意一點，

則設(shè)P(2cos。,2sin6),

若點Q滿足條件而+65=2而，則Q是24的中點，

則Q的坐標(biāo)為(2+cosd,sind),

若Q在直線心y=kx-l±.,貝ijs譏O=k(2+cos61)-l,

變形可得％=

2+COS0

即k表示單位圓上的點(cosasin。)

與點M(—2,—l)連線的斜率，如圖所示：

設(shè)過點M的直線y+1=m(x+2)與圓％2+y2=1相切,

則有=1,

vl+mz

4

演

一-

解可得m一3

則有。s黑號，即k的取值范圍為［。臺

故答案為：［0,1］.

15.答案：9

6

解析：解：。<QV]，,?令<戊+令<?，

41OIO1O

又cos(a+勺=1'二sin(a+劫=學(xué),

37r7171

?'?sin(a--)=sin[(a+.)一彳]

lolo4

71n7171

=sin(a+—)cos:一cos(a+—)sin—

164164

2V2>/21V24-V2

=-----X-----------X-=---------.

32326

故答案為：9.

6

由已知求得sin(a+V),再由sin(a-m=sin[(a+*)—J展開兩角差的直線求解.

本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查兩角差的正弦，是中檔題.

16.答案：壁

3

解析：

本題考查球及其結(jié)構(gòu)特征，考查球的半徑，屬于基礎(chǔ)題.

設(shè)球的半徑為R,根據(jù)題意知由與球心距離為的平面截球所得的截面圓的面積是兀，我們易求出截

面圓的半徑為1,根據(jù)球心距、截面圓半徑、球半徑構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，即可求出該球

的半徑.

解：設(shè)球的半徑為R,

■■AH：HB=1：3,AB1平面a,H為垂足，

???球心與平面a的距離為d=m,

???平面a截球。所得截面的面積為兀，

二截面圓的半徑為r=1.

^R2=r2+d2,得/?2=12+(例)2,

n273

：?R=-?

3

故答案為2.

3

22

17.答案：解：(I)?；Si-(n+2n-3)Sn-3(n+2n)=0(n6N*),

[^n-(?2+2n)][(S?+3)]=0,

2

：?Sn=n+2n^Sn=—3

???｛oj是正項數(shù)列,

2

：?Sn=n+2九成立.

(II)?,?Sn=n2+2n

—(ii---------------1------------

212n+1n+2y4(n+l)(n+2)

解析：（I）根據(jù)條件進行因式分解即可證明S"=n2+2n；

（n）求出求數(shù)列｛止｝的通項公式，利用裂項法即可求數(shù)列的前n項和7n.

3n

本題主要考查數(shù)列的通項公式的求解以及利用裂項法求數(shù)列的前n項和，考查學(xué)生的計算能力.

18.答案：解：???由已知可得：/.DAB=30°,/

中，由余弦定理可得：/

BD2=AB2+AD2-2AB-AD-cos^DAB=4+--2x2x—x—=-,'

3323

...BD=第…（4分）

?.■ADAB^>,由正弦定理可得:

s\nz.DABsinz.ABD

即：4-=

s\nz.ABD

???解得：S\X\Z.ABD=1,

VZ-ABDG(0,180°),

A^ABD=90°,…(8分)

482

ABC中，AC-cos600=AB,可得：4c==1=4….(10分)

解析：由已知可得NDAB=30。，中，由余弦定理可求8。的值，在△DAB中，由正弦定理可

2\[3473

得不==結(jié)合乙4BDe（0,180。），可得乙4BD=90。，即可解得4c的值.

1sin448。

本題主要考查了正弦定理，余弦定理，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能

力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

19.答案：解：（1）若甲獲得發(fā)球權(quán)，則獲勝的概率為[=%如果甲沒有發(fā)球權(quán)，

則獲勝的概率為：x1=i所以甲獲勝的概率為:+：=2

2364612

(2)比賽結(jié)束時甲的總得分x的可能取值為0,3,6,9.

X=0時，比賽的結(jié)果為：“乙乙乙”，r.p(X=0)=：x；x；=；,

3226

X=3時，比賽的結(jié)果為：“甲乙乙乙”，“乙甲乙乙”，“乙乙甲乙”，

八，c、1211,2121.21125

***p(X=3)=-x—x—x——x—x—x——x—x—x—=一,

'33223232322318

X=6時，比賽的結(jié)果為：“甲甲乙乙乙”，“甲乙甲乙乙”，“甲乙乙甲乙”，

，，乙甲甲乙乙，，，“乙甲乙甲乙”“乙乙甲甲乙”，

八，八11211.12121,12112,21121.212

???p(X=6)=-x-x-x-x-+-x-x-x-x-+-x-x-x-x-+-x-x-x-x-+-x-x-x

八J33322332323322332332323

12,2111213

—X—H—X—X—X—X—=—.

233223354

czc、1151317

Xv=9,：?pv(X=9)=1----------=—.

“J6185454

X的分布列為：

X0369

151317

P

6185454

￡,(%)=0xi+3x-+6x-+9x-=5-.

',61854549

解析：本題考查離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，互斥事件的概率的求法，考查轉(zhuǎn)化思想

以及計算能力，是中檔題.

(1)若甲獲得發(fā)球權(quán)，求出獲勝的概率，如果甲沒有發(fā)球權(quán)，求出獲勝的概率，利用互斥事件的概率

求和即可.

(2)比賽結(jié)束時甲的總得分工的可能取值為0,3,6,9,求出概率，得到X的分布列，然后求解期望.

20.答案：解：(1)證明：由題意點4為圓。上一點，則4B14C,

由PA1底面ZBCD,知P414B,/iV,

又PACAC=A,PA,ZCu平面P4C,4B1平面P4C,/三A"

AMu平面P4C,.-.ABLAM,'k

???M為PC的中點，1PC,

■.■CDCtPC=C,AMl^PCD,

vAMu平面04M,：.平面。4M_1_平面PCD.

(2)如圖，以4為原點，4B為x軸，4C為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則C(0,2,0),D(-273,2,0),M(0,1,1),0(73,1,0),

OM=(-73,0,1),OD=(-373,1,0).

設(shè)平面0M。的法向量五=(x,y,z),

歸變=-噂+z=0,取％=1,得丘=(1,3丁回

(n-OD=-3V3x+y=0')

由(1)知AMJL平面PCD,

則平面CDM的一個法向量沆=(0,1,1),

__>—?mn2V186

.?.cos<m,n>=—,

由圖可知二面角。-MD—。的銳角，

則二面角?！狹D—C的余弦值為迎.

31

解析：(1)推導(dǎo)出AB14C,PALAB,從而4B_L平面P4C,AB1AM,推導(dǎo)出AM1PC,從而AM_L

平面PCD,由此能證明平面04MJ■平面PCD.

(2)以4為原點，4B為x軸，AC為y軸，4P為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角。-

MD-C的余弦值.

本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)

系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是中檔題.

21.答案：解：vfCx)=6x2-6x-12,

令:/'(x)=6