2021年超級全能生高考數(shù)學聯(lián)考試卷（文科）（3月份）附答案解析

2021年超級全能生高考數(shù)學聯(lián)考試卷（文科）（3月份）

單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.若Z=[X]X2-2X<0],B=[x[^<1],則4nB=()

A.(0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.[1,2)

2.復數(shù)2=言0是虛數(shù)單位），則|Z|=（）

A.1B.V2C.V3D.V5

3.在區(qū)間［-自上隨機地取一個數(shù)x，則事件“sinx*"發(fā)生的概率為（）

4.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增的函數(shù)為（）

A.y=x2—xB.y=%+2sinx

C.y=%3+%D.y=tanx

5.己知函數(shù)/（x）=2sin（x-》cos《-x）,則下列說法錯誤的是（）

A.函數(shù)/（x）的最小正周期為兀

B.%=一總是函數(shù)“X）圖象的一條對稱軸

C.函數(shù)〃x）的圖象關于點?,0）中心對稱

D.將函數(shù)g（x）=cos2x-siMx的圖象向右平移居個單位后得到函數(shù)/（x）的圖象

6,已知△力BC中，A=30°,C=45°,b=8,則a等于（）

A.4B.4V2C.4V3D.4（V6-V2）

7.在數(shù)列｛%｝中，的=2（為虛數(shù)單位），（1+。/1+1=（1-。0?5€2*）,貝!|￡12012的值為（）

A.-2B.0C.2D.2i

8.“=”在基本算法語句中叫（）

A.賦值號B.等號C.輸入語句D.輸出語句

9.己知點P在AABC所在平面內(nèi)，且萬?麗=麗?正=正?方，則點P是△48（7的（）

A.重心B.外心C.垂心D.內(nèi)心

10.已知某一幾何體的正（主）視圖與側（左）視圖如圖，則在下列圖形中，可以是該幾何體的俯視圖的

圖形有（）

正注凝網(wǎng)觸左）視圖

①②③④⑤

A.①②③⑤B.②③④⑤C.①③④⑤D.①②③④

2

11.雙曲線y2-^=1的虛軸長是實軸長的2倍，則m的值為（）

1-1

A.4B.-4C.2-D.--2

12.如圖所示，正方形4BCD的邊長為2,切去陰影部分圍成一個正四棱錐，則當正四棱錐體積最大

時，該正四棱錐外接球的表面積為（）

二、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.設實數(shù)x、y滿足則z=|x+y+4|的取值范圍為.

14.一物體以"=312+101+3的速度沿直線運動，則該物體開始運動后5秒內(nèi)所經(jīng)過的路程s為

米.（速度單位：米/秒，路程單位：米）

15.己知橢圓C的方程為三+^=l（a22b>0）,則橢圓C的離心率的取值范圍是____.

azbz

16.三條直線兩兩平行，則過其中任意兩條直線最多可確定個平面.

三、解答題（本大題共7小題，共82.0分）

17.為了研究“教學方式”對教學質(zhì)量的影響，某高中數(shù)學老師分別用兩種不同的教學方式對入學

數(shù)學平均分數(shù)和優(yōu)秀率都相同的甲、乙兩個高一新班進行教學（勤奮程度和自覺性都一樣）.如圖

所示莖葉圖為甲、乙兩班（每班均為20人）學生的數(shù)學期末考試成績.

甲乙

0901568

7732801256689

8422107135

9877665789

88775

(1)學校規(guī)定：成績不低于75分的為優(yōu)秀.請畫出下面的列聯(lián)表.

甲班乙班合計

優(yōu)秀

不優(yōu)秀

合計

(2)判斷有多大把握認為“成績優(yōu)秀與教學方式有關”.

下面臨界值表僅供參考：

P(K2>k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n(ad-bc')2

參考公式：K2=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

18.如圖是從上下底面處在水平狀態(tài)下的棱長為a的正方體4BC0-中分離出來的.

(1)直接寫出NDQDi在圖中的度數(shù)和它表示的角的真實度數(shù).

(2)求乙4傳1。的真實度數(shù).

(3)設=如果用圖示中這樣一個裝置來盛水，那么最多能盛多少體積的水？

19.設數(shù)列｛5｝滿足%=0且即+1=二?,n6N*.

(1)求證數(shù)列｛盒｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛an｝的通項公式；

(2)設瓦=f五，Sn為數(shù)列｛與｝的前n項和，證明：Sn<l.

20.(本小題滿分14分)

已知橢圓“::^'^=31，其左準線為電，右準線為拋物線%以坐標原點淳為頂點，鼻為準線,

，交用于潮拂兩點.

(1)求拋物線，的標準方程;

(2)求線段耨的長度.

21.已知函數(shù)—2x)e*.

(1)求曲線y=f(x)在原點處的切線方程.

(2)當x<2時，求函數(shù)y=f(x)的零點個數(shù);

22.在平面直角坐標系xOy中，直線的參數(shù)方程；二;:為參數(shù))，曲線c的參數(shù)方程為

翁鬻3為參數(shù))?

(I)求直線與曲線c的普通方程;

(口)求直線與曲線C的公共點為直徑的圓的極坐標方程.

23.已知函數(shù)f(x)=條圖象上斜率為3的兩條切線間的距離為等，函數(shù)g(x)=f(x)-,+3.

(1)若函數(shù)g(x)在％=1處有極值，求g(x)的解析式；

(2)若函數(shù)g(x)在區(qū)間［-1,1］上為增函數(shù)，且/-mb+4>g(x)在％W時恒成立，求實數(shù)ni的

取值范圍.

參考答案及解析

1.答案：D

解析：解：由4中的不等式變形得：x(x-2)<0,

解得：0cx<2,即4=(0,2),

由B中的不等式變形得：i-l<0,即匕S0,

XX

整理得：—>0,

X

解得：%<0或％21,即B=(-oo,0)U[l,+oo),

則4CB=[1,2).

故選：D.

求出4與B中不等式的解集確定出4與B,找出兩集合的交集即可.

此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵.

2.答案：A

解析：解:(2+i)(l+2i)2+5i+2/_Si

(l-2i)(l+2i)l2-(2i)2—"5

|z|=1.

故選:A.

首先化簡復數(shù)z,然后再求|z|.

本題考查復數(shù)的模及運算，考查數(shù)學運算能力，屬于基礎題.

3.答案：B

解析：解:在區(qū)間[一一3上,由sinxN；,得g嚀,

故選：B.

由已知求解三角不等式可得久的范圍，再由測度比是長度比得答案.

本題考查兒何概型的概率的計算，考查三角不等式的解法，是基礎題

4.答案：C

解析：解：對于4y=x2-x,是非奇非偶的函數(shù)，不滿足條件；

對于B,y=x+2sinx,是定義域R上的奇函數(shù)，但在(0,+8)上不是單調(diào)函數(shù)，不滿足條件;

對于C,y=x3+x,是定義域R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，滿足條件；

對于D,y=tanx,是定義域｛x|xHg+卜兀,k€Z｝上的奇函數(shù)，但在(0,+8)上不是增函數(shù)，不滿足

條件.

故選：C.

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性逐項判斷即可.

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷問題，要熟練掌握常見函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性.

5.答案：C

解析：解：/(x)=2sin(x-^)cos(^-x)=2sin(x-^)cos(x-^)=sin(2x-^),

由周期公式可得：T=y=7T,故A正確；

由2x—g=Mr+],得：無=等+患，k￡Z,

k=-l時，％=一專，故8正確；

由2%—?=々兀，得：%=-+-,kWZ,

326

k=_l時，x=故(一%0),故C錯誤；

JO

將函數(shù)g(x)=cos2x-sin2x-cos2x的圖象向右平移居個單位后得到函數(shù)g(x)=cos2(x—|^)=

cos(2x-=sin(2x-=f(x)的圖象，故。正確;

故選：C.

利用誘導公式，二倍角的正弦公式化簡函數(shù)解析式，進而求出的周期、對稱軸、對稱中心以及三角

函數(shù)的平移變換，可得4B、。都正確，C錯誤.

本題主要考查復合三角函數(shù)的周期性、奇偶性的應用，考查了三角函數(shù)平移變換的應用，屬于中檔

題.

6.答案：D

解析：解：由題意得，A=30。，C=45°,則B=兀一(4+。)=105。,

又b=8,由正弦定理得，急=熹

即。=鬻=慧=曲述一四)，

4

故選：D.

由內(nèi)角和定理以及題意求出B,由正弦定理求出邊a的值.

本題考查正弦定理的應用，以及內(nèi)角和定理，熟練掌握定理和公式是解題的關鍵.

7.答案：A

解析：???（1+3.（一居，；.駟=苧=孝邈—

故｛an｝是以2i為首項，-i為公

:嚓1+K尊+領一部

比的等比數(shù)列，。2。12=2ix(-i)2012-1=2ix(-04x502+3=2ixi=-2.

8.答案：A

解析：解：“=”在基本算法語句中叫賦值號.

功能是先計算出賦值號右邊表達式的值，然后把這個值賦給賦值號左邊的變量，使該變量的值等于

表達式的值.

故選：A.

根據(jù)賦值號的定義即可得解.

本題主要考查了賦值號這個知識點的識記，屬于基礎題.

9.答案：C

解析：解：???福?麗=麗?玩，

.?.而?值?-瓦5=0，即麗?瓊f=0，

PB1CA,

同理可得PA1BC,PCLAB,

AP是△ABC的垂心.

故選C.

根據(jù)對PB=PB-無，移向并根據(jù)向量的數(shù)量積的運算法則，得到麗?（可-兩=0,因此有PB1

CA,同理可得P41BC,PCLAB,根據(jù)三角形五心的定義，即可求得結果.

本小題主要考查向量的數(shù)量積的運算法則、三角形垂心等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形

結合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎題.

10.答案：D

解析：試題分析：俯視圖為⑤的幾何體的側視圖如下，這與題目不相符，而①②③④符合題意。

故選。。

旦

考點：三視圖

點評：本題考查簡單空間圖形的三視圖，考查空間想象能力，是基礎題.

11.答案：A

解析：解：雙曲線y2-5=1（巾>0）的a=1，b=標，

則2布=2x2,

解得m=4.

故選A.

求出雙曲線的a,b,由題意可得2標=2x2,解方程即可得到m.

本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查運算能力，屬于基礎題.

12.答案：D

解析：

本題考查球的表面積的求法，是較難題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).

正方形4BCD的邊長為2,設正四棱錐底面邊長為a,高為九，可得/=2-遮a，0<a<魚，用a表

示正四棱錐體積心利用導數(shù)求得U最大時的a和九，即可利用勾股定理列方程求解正四棱錐外接球的

半徑，進而求得表面積.

解：由題意，正方形ABC。的邊長為2,可得對角線的一半為近，折成正四棱錐后，

設正四棱錐底面邊長為a,高為九，

可得：Ja）2+F+ga=&,即公=2—ea,（0<a<V2）.

正四棱錐體積V=ga2.九

—302d2一&a=^2a4-V2a5.

令y-2a4—V2a5,

則y'=8a3-5/a3

令y，=0,可得a=挈，

當a6（0,華）時，/>0,y單調(diào)遞增，

當a6（雪，魚）時，/<0,y單調(diào)遞減，

.?.當a=半時，y取得最大值，即體積V取得最大值，

此時九=旦，正四棱錐底面正方形外接圓半徑為r=1

55

設正四棱錐外接球的半徑R,

可得dp-R)2+(》2=R2,

解得：R2=券，

正四棱錐外接球的表面積S=4TTR2=翟TT.

故選：D.

13.答案：［6,11］

解析:作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義可得z=Ix+y+4］的范圍為［6,11］.

14.答案:265

解析：解：由積分的物理意義可知該物體開始運動后5秒內(nèi)所經(jīng)過的路程s=C(3t2+10t+3)dt=

(t3+5t2+3t)lo=265.

故答案為：265.

根據(jù)積分的物理意義是求函數(shù)的積分即可.

本題主要考查導數(shù)的物理意義的應用，要求熟練掌握常見函數(shù)的積分公式.

15.答案：哼,1)

解析：解：由a22b可得a224b2,

又爐=a2-c2,

可得>4a2-4c2,即為4c2>3a2,

即cN3a,

2

即有e=->^.

a2

由0<e<1,可得更<e<1.

2

故答案為：

運用a,b,c的關系和離心率公式，結合已知不等式，即可得到所求范圍.

本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率的范圍，屬于基礎題.

16.答案：3

解析：

本題給出三條直線兩兩平行，求經(jīng)過其中任意兩條直線確定平面的個數(shù)，著重考查了空間直線與平

面的包含關系的知識，屬于基礎題.

三條直線可能分布在同一個平面內(nèi)，也可能不在同一個平面內(nèi)，分以上兩種情況加以討論，可得經(jīng)

過其中任意兩條直線確定平面的情況，從而得到最多可以確定3個平面.

解：因為三條直線兩兩平行，所以分兩種情況

①三條直線在同一平面a內(nèi)，此時經(jīng)過任意兩條直線確定一個平面；

②三條直線不在同一個平面內(nèi)，如三側柱三條側棱所在的直線，此時經(jīng)過任意兩條直線確定三個平

面.

綜上所述，可得過其中任意兩條直線最多可確定3個平面.

故答案為3.

17.答案：解：(1)列聯(lián)表:

甲班乙班合計

優(yōu)秀61420

不優(yōu)秀14620

合計202040

(2/2的觀測值k=40X(6X6-14X14)2=64>5024,

\/20x20x20x20

因此，我們有97.5%的把握認為成績優(yōu)秀與教學方式有關.

解析：本題考查了由莖葉圖求列聯(lián)表，及根據(jù)列聯(lián)表計算K2的觀測值，考查獨立性檢驗，屬于中檔

題.

(1)由所給數(shù)據(jù)，結合莖葉圖，即可補全列聯(lián)表;

(2)把數(shù)據(jù)代入公式中，算出觀測值，同所給的臨界值表進行比較,即可得出結論.

18.答案：解：(1)4?？谝栽趫D中的度數(shù)和它表示的角的真實度數(shù)

都是45。；

(2)連接。則小&Ci。的三條邊都是正方體的面對角線，

都是&a，

.?.△&GD是等邊三角形，

:,乙41G。=60°.

(3)如果用圖示中的裝置來盛水，那么最多能盛的水的體積等于

三棱錐G-CBiDi的體積,

而％1-CJDi=^C-C1B1D1=§SABIQOI.CG=/

解析：（l）NDGDi在圖中的度數(shù)和它表示的角的真實度數(shù)都是45。；

（2）連接則△4GD的三條邊都是正方體的面對角線，都是近a,利用等邊三角形的性質(zhì)即可得

出；

（3）如果用圖示中的裝置來盛水，那么最多能盛的水的體積等于三棱錐G-C&D1的體積，即可得出.

本題考查了正方體的直觀圖的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三棱錐的體積計算公式，考查了空間想象

能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題.

19.答案：（1）解：即+1=3羨，

11112-an1d

-if1-=2-即1-??2-an

11T

?*?-----------------------=1,

1-an+l1-an

二數(shù)列｛—｝是公差為1的等差數(shù)列.

l-an

又J-=L故=幾，

1—Ctj1—（171

所以an=1-;.

⑵證明:由⑴得匕=上鏟=雷/-點S”=取M-/=1_焉<

1.

???Sn<1.

解析：（1）把即+1=3代入H-—十，能推導出：；4一—六=1，由此能證明數(shù)列｛十｝是公

1-a1-a

2-即l-an+1l-anl-an+lnn

差為1的等差數(shù)列，從而能求出即=1-3.

（2）由%=上筍=磊點=±-焉，利用裂項求和法能證明又<1.

本題主要考查數(shù)列的通項公式、前n項和公式的求法，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎知識，考查等

差數(shù)列的證明，證明數(shù)列為等差數(shù)列通常利用等差數(shù)列的定義證明，遇到與數(shù)列的和有關的不等式

可先考慮能否求和再證明.

20.答案：（1）,「=-：!解忘（2）16

解析：試題分析：⑴橢圓踹;：^開貯=：!中^=q,娥=史志=：1，左準線為米線gT，右準線

4察

為%:妒=燃，拋物線蛛準線為級』嘲二,施-七崎方程為，*=-Ifc

(2)方程中令級『一用得群=韭配..忸用=詞

考點：橢圓性質(zhì)拋物線方程

點評：圓錐曲線的幾何性質(zhì)是常出的考點

21.答案：解：(1)由f(x)=(%2-2盼/,得/'(x)=(一一2)e~則1(0)=-2,

曲線y=f(x)在原點處的切線方程為y=-2x.

(2)由(1)知/(X)=Q2-2)〃。42),令/(x)=0,得刀=/或%=-或，

???函數(shù)y=/(x)單調(diào)增區(qū)間為(―8,-夜)，(V2.2);單調(diào)減區(qū)間為(—VI魚)，

當x＜一企時，/(%)=(x2-2x)ex＞0恒成立，

???/(X)在(-8,-a)上沒有零點；

當一夜＜x＜或時，函數(shù)在區(qū)間(一魚,四)上單調(diào)遞減，且/(0)=0,存在唯一零點；

當或＜xW2時，/(%)在(e,2］上單調(diào)遞增，且f(2)=0,存在唯一零點；

綜上，函數(shù)y=f(x)零點個數(shù)為兩個.

解析：(1)根據(jù)f(x)=(M-2x)eX,求出/(x)的導函數(shù)，然后求出切線的斜率f'(0),再求出切線方

程即可；

(2)根據(jù)/'(x)=0得到導函數(shù)(。)的零點，然后判斷/(x)的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性和函數(shù)值得到/(x)

的零點個數(shù).

本題考查了利用導數(shù)研究曲線的切線方程和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論思想，屬

中檔題.

22.答案：解:(1);直線的參數(shù)方程為｛；：；：1?為參數(shù))，消去參數(shù)3

???直線的直角坐標方程為2x-y-2=0；

???曲線C的參數(shù)方程為『=(0為參數(shù))，

消去參數(shù)氏

???曲線C的直角坐標方程為必=2x；

(口)由題意，片=2x

(2%—y—2=0

解得

一乙

U1\y2=一1

直線與曲線C的交點為4(2,2),8&-1).

???以4(2,2),B?,-1)為直徑的圓的方程為：

(x-2)(x-i)+(y-2)(y+1)=0(也可求出圓的圓心，半徑寫出方程)

化簡得：x2+y2—|x—y—1=0.

由極坐標系與直角坐標系的互化關系