Ch5-大數(shù)定律及中心極限定理

第一節(jié)大數(shù)定律先介紹r.v序列幾種收斂性的定義1．幾乎處處收斂：設X1，X2，…是定義在同一概率空間（，F(xiàn)，P）上的r.v列，如果

則稱r.v列幾乎處處（或依概率1）收斂于，記為（或a.s）第一節(jié)大數(shù)定律2．依概率收斂：若對任意的＞0，有

（或：）

則稱r.v列依概率（或隨機收斂）收斂于r.vX，記為

第一節(jié)大數(shù)定律3．依分布收斂（或弱收斂）：設r.vX，Xn各自d.f為F(x)和Fn(x)，若在F(x)的每一連續(xù)點x處，有

則稱r.v列Xn依分布收斂于r.vX，記為或第一節(jié)大數(shù)定律4．依r階平均收斂：設對某r＞0，，若有則稱r.v列｛Xn｝依r階平均（矩）收斂到X，記為

以上四者之關系為

第一節(jié)大數(shù)定律大數(shù)定律的數(shù)學定義：

設｛Xn｝是r.v列，記，｛an｝是常數(shù)列。若＞0，有

即則稱｛Xn｝（按算術平均值）服從大數(shù)定律。命題1車比雪夫定理

（由車比雪夫在1866年證明的）

設｛Xn｝是相互獨立的r.v列，若存在c＞0，使DXn≤c，則｛Xn｝服從大數(shù)定律。

證明：取，∵｛Xn｝相互獨立，∴故

從而由車比雪夫不等式，有第一節(jié)大數(shù)定律推論：設r.v列｛Xn｝相互獨立，且，存在，則｛Xn｝服從大數(shù)定律。例如：某容器內有很多氣體分子，它們在不斷地運動，每個氣體分子運動是隨機的，在一定溫度下容器內某部分氣體分子的動能的算術平均值幾乎是一個常數(shù)。命題2貝努利定理（BernoulliTh）

在Bernoulli試驗中，設事件A在每次試驗中出現(xiàn)的概率為p，記nA為前n次試驗中A出現(xiàn)的次數(shù)，則＞0，有

即第一節(jié)大數(shù)定律證明：令

則｛Xk，k≥1｝相互獨立，且DXk=pq≤1（EXk=p），

，，∴由命題1知

由此Th可知，為什么在實際中，可用頻率去代替概率的道理。命題3泊松定理（PoissonTh）

設在獨立試驗中，事件A在第k次試驗中出現(xiàn)的概率為pk，以nA表示前n次試驗中A出現(xiàn)的次數(shù)，則有

證明：令

則由，，

再由命題1即可得證。命題4辛欽定理

設｛Xk，k≥1｝是i.i.dr.v列，則｛Xk｝服從大數(shù)定律的充分必要條件是X1有有限的期望（證明參見王梓坤：《概率論基礎及其應用》）大數(shù)定律的意義和應用車氏命題1說明：當n很大時，n個r.v的算術平均值與其期望平均值相差很小的可能性很大，即故在測量中，常用測量數(shù)據(jù)的算術平均去代替測量值。大數(shù)定律的意義和應用

貝氏命題2說明：試驗次數(shù)很大時，可用事件出現(xiàn)的頻率代替事件出現(xiàn)的概率。由命題2知：實用中，希望相當?shù)匦?，比如只要即可。第一?jié)大數(shù)定律例：設在具有n個任意開、關的電路試驗中，假定在每次試驗中，開或關的概率均為，用K表示n次試驗中遇到開電的次數(shù)，欲使開關頻率與的絕對值之差小于0.01，且要求99%以上的可靠性保證其實現(xiàn)，試問試驗次數(shù)n至少多大？解：這里，=99%，解出t=10

∴強大數(shù)定律

如果r.v列Xn滿足

或，特別當時，

則稱服｛Xn｝從強大數(shù)定律。強大數(shù)定律KolmogorovTh

設｛Xn｝相互獨立，且，則｛Xn｝服從強大數(shù)定律。BorelTh

設在Bernoulli試驗中，事件A在每次試驗中出現(xiàn)的概率為p（0＜p＜1），nA表示前n次試驗中A出現(xiàn)的次數(shù)，則

或BorelTh（續(xù)）證明：事實上，令∵，∴

故｛Xn｝服從強大數(shù)定律。第二節(jié)中心極限定理（CLT）先看例1：已知某些型號芯片的次品率為0.01，出廠時每千只裝一盒，問其中次品個數(shù)介于5到20只的概率p？解：令

故得到Xk的分布為X10P0.010.99第二節(jié)中心極限定理（CLT）例1（續(xù)）

｛Xk｝是相互獨立，記，則為一盒中可能出現(xiàn)的次品個數(shù)，所以

按題意

現(xiàn)在設法尋找一個近似計算上式的方法或公式。第二節(jié)中心極限定理（CLT）例2：設炮彈射擊的目標位置是原點(0,0)，彈差點

(X,Y)，設X----落點與目標0沿x軸的偏差是隨機d，產生偏差原因有：瞄準誤差X1，炮彈或炮身結構誤差X2，空氣阻力引起誤差X3，炮手的技術、心理誤差X4，…等等故，各Xk相互獨立，考察X的分布CLT，即要解決許多獨立r.v之和的極限分布，數(shù)學上一般提法：第二節(jié)中心極限定理（CLT）例2（續(xù)）設｛Xn｝是r.v列，且EXn，DXn均存在，記

若實數(shù)x，有

則稱｛Xn｝服從CLT，記為第二節(jié)中心極限定理（CLT）Th1：設｛Xn，n≥1｝是i.i.dr.v列，且，則｛Xn｝服從CLT，此時，，Th2：（DeMoivre-LaplaceTh）設r.v(n≥1)是具有參數(shù)n、p(0＜p＜1)的二項分布，則對任意區(qū)間[a，b]，有Th2DeMoivre-LaplaceTh（續(xù)）證明：令為Bernoulli試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，而P(A)=p，記

則，各Xk相互獨立同分布，并且

故｛Xk｝i.i.d的，，所以由Th1知

從而DeMoivre-LaplaceTh（續(xù)）

由此Th2可計算例1的P()：事實上，n=1000，p=0.01np=10

，故

第二節(jié)中心極限定理（CLT）例3：一加法器同時收到20個噪聲電壓Vk，()，各

Vk是相互獨立r.v，且均服從U(0,10)，記，求P(V＞105)。

解：∵Vk的d.l為

∴

第二節(jié)中心極限定理（CLT）例3（續(xù)）故

∴

第二節(jié)中心極限定理（CLT）

對于｛Xn｝獨立非同分布情況，引進下述的Linderberg條件，即＞0，有

其中，，第二節(jié)中心極限定理（CLT）

該Lin氏條件是使各Xk所引起的影響“均勻地小”，即

第二節(jié)中心極限定理（CLT）Th3（LinderbergTh）設相互獨立r.v序列｛Xn｝滿足Linderberg條件，則｛Xn｝服從CLT。Th4（李雅普諾夫定理）若對獨立r.v序列｛Xn｝滿足：存在某一＞0，使有

則｛Xn｝服從CLT。Th4李雅普諾夫定理（續(xù)）證明：只要驗證Lin氏條件成立即可事實上，

在一般證明題中，可以取，只要驗證即可CLT與大數(shù)定律之關系大數(shù)定律只斷定，＞0，

但不知的具體值。而CLT則給出它一個近似值，即在｛Xn｝i.i.d時，有

（，，k≥1）第二節(jié)中心極限定理（CLT）例4：拋擲硬幣1000次，要求出現(xiàn)正面次數(shù)在440

與K次之間的概率約為或（），求K值。（記X為出現(xiàn)正面次數(shù)）第二節(jié)中心極限定理（CLT）例4（續(xù)）解：記n=1000，已知每次擲硬幣出現(xiàn)正面概率為p=，np=500，，先計算

查表得到K=500。第二節(jié)中心極限定理（CLT）例5：現(xiàn)有一大批種子，其中良種占，今在其中任選6000粒，試問在這些種子中，良種所占