ch04統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

數(shù)據(jù)分布的特征集中趨勢(位置)離中趨勢

(分散程度)偏態(tài)和峰度（形狀）

介紹如何將一個現(xiàn)象分布的特征，提煉出來。以及這些特征值有什么作用？怎樣計算？Ch4主要內(nèi)容Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征§4.1數(shù)值平均數(shù)§4.2位置平均數(shù)§4.3分布的離散程度§4.4分布的偏度和峰度Ch4學(xué)習(xí)要求1，掌握統(tǒng)計平均數(shù)的計算及作用2，掌握分布的離散程度指標(biāo)的作用及計算3，掌握分布的偏度和峰度的計算Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征§4.1數(shù)值平均數(shù)§4.2位置平均數(shù)§4.3分布的離散程度§4.4分布的偏度和峰度Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征§4.1統(tǒng)計平均數(shù)—數(shù)值平均數(shù)§4.2統(tǒng)計平均數(shù)—位置平均數(shù)§4.3分布的離散程度§4.4分布的偏度和峰度統(tǒng)計學(xué)原理§4.1數(shù)值平均數(shù)■統(tǒng)計平均數(shù)概述圖4－1統(tǒng)計平均數(shù)概述統(tǒng)計平均數(shù)靜態(tài)、分布平均數(shù)數(shù)列平均數(shù)動態(tài)、序時平均數(shù)數(shù)值平均數(shù)位置平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)其他分位數(shù)Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征§4.1數(shù)值平均數(shù)§4.2位置平均數(shù)§4.3分布的離散程度§4.4分布的偏度和峰度§4.1數(shù)值平均數(shù)§4.1.1算術(shù)平均數(shù)§4.1.2調(diào)和平均數(shù)§4.1.3幾何平均數(shù)Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征§4.1數(shù)值平均數(shù)§4.2位置平均數(shù)§4.3分布的離散程度§4.4分布的偏度和峰度返回■算術(shù)平均數(shù)，是算術(shù)級數(shù)數(shù)列

x1，x2，x3，…，xn-1，xn；的平均數(shù)?！鏊^算術(shù)級數(shù)，就是指同質(zhì)總體各單位之間，數(shù)量標(biāo)志值的差異變動，往往是獨立的或者不相關(guān)的?！鏊阈g(shù)平均數(shù)是最常用的一種統(tǒng)計平均數(shù)。它的理論公式是標(biāo)志變量的算術(shù)平均數(shù)=標(biāo)志總量/總體單位數(shù)(4.1.1)■算術(shù)平均數(shù)的具體計算方法，根據(jù)標(biāo)志數(shù)列的分布特點確定：簡單算術(shù)平均數(shù)方法和加權(quán)算術(shù)平均數(shù)方法?！霾徽摬捎檬裁捶椒ㄓ嬎闼阈g(shù)平均數(shù)，其計算內(nèi)容在概念上必須滿足理論公式(4.1.1)?！?.1.1算術(shù)平均數(shù)

Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.1數(shù)值平均數(shù)一、簡單算術(shù)平均數(shù)對未分組整理的算術(shù)級數(shù)數(shù)列

x1，x2，x3，…，xn-1，xn；其標(biāo)志序列總量為x1+x2+x3+…+xn-1+xn，總體單位數(shù)為n，則數(shù)據(jù)序列分布的算術(shù)平均數(shù)

(4.1.2)該方法主要適用于，在總體單位數(shù)很少，而且已知各單位數(shù)量標(biāo)志值的情況下，可直接將各單位的數(shù)量標(biāo)志值相加，求出標(biāo)志總量，再除以總體單位數(shù)，得出平均數(shù)。這種計算平均數(shù)的方法，稱為簡單算術(shù)平均數(shù)方法?！?.1.1算術(shù)平均數(shù)

Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.1數(shù)值平均數(shù)【例4-1】觀察某路口在若干個10分鐘內(nèi)的車流量，資料記錄如下：26，26，38，24，32，22，15，33，19，26，21，29，16，20，34，24，27，30，31，33。試計算該路口在10分鐘內(nèi)的車流量強度。解：車流量強度就是平均車流量。觀察了20個10分鐘，每10分鐘當(dāng)成一個時間段，每個時間段記錄了一個車流量數(shù)據(jù)。因此，這20個時間段的平均車流量為通過這個結(jié)果，我們對該路口的車流量規(guī)律，有了一個大致的了解，即每10分鐘平均通過26.3輛。

§4.1.1算術(shù)平均數(shù)

Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.1數(shù)值平均數(shù)二、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)加權(quán)算術(shù)平均數(shù)，主要適用于分組數(shù)據(jù)的平均數(shù)計算。分組數(shù)據(jù)一般也有兩種：一種是單變量分組數(shù)據(jù)；另一種是組距式變量分組數(shù)據(jù)。這兩種數(shù)據(jù)資料條件，其計算方法，當(dāng)然也有兩種。§4.1.1算術(shù)平均數(shù)

Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.1數(shù)值平均數(shù)■如果分組整理后的分布為單變量分布。設(shè)整理后的標(biāo)志數(shù)據(jù)序列xi及相應(yīng)的頻數(shù)序列fi為于是，標(biāo)志數(shù)據(jù)序列xi的算術(shù)平均數(shù)為

(4.1.3)此稱為加權(quán)算術(shù)平均公式?？梢宰C明，當(dāng)f1=f2=…=fn時，加權(quán)算術(shù)平均公式，將化為簡單算術(shù)平均公式。

§4.1.1算術(shù)平均數(shù)

Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.1數(shù)值平均數(shù)組數(shù)i

標(biāo)志變量xi

頻數(shù)fi

1x1

f1

2x2

f2

3x3

f3

………n-1xn-1

fn-1

n

xnfn

-合計

f

表4－1單變量分組表【例4-2】對某公司員工工資數(shù)據(jù)進行整理，結(jié)果如下：計算該公司人平均月工資。(p54)解：§4.1.1算術(shù)平均數(shù)

Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.1數(shù)值平均數(shù)組數(shù)i

工資變量xi

頻數(shù)fi

總工資xi

·fi

1x1

=800f1=5800×5=40002x2

=1000f2

=101000×10=100003x3

=1200f3

=201200×20=240004x4

=1500f4

=71500×7=105005x5

=2000f5

=52000×5=100006x6

=2500f6

=32500×3=7500-合計

f=5066000表4－2單公司員工工資分組計算表于是，可得解：§4.1.1算術(shù)平均數(shù)

Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.1數(shù)值平均數(shù)圖4－2某公司員工工資分布豎線圖20000頻數(shù)（人）工資5101501000300020§4.4.1算術(shù)平均數(shù)如果整理后的分布為組距變量分布，則必須用組中值變量代替組距變量xi。設(shè)數(shù)據(jù)組中值變量序列及相應(yīng)的頻數(shù)序列fi為

則組距變量的算術(shù)平均數(shù)，可用下式估計

(4.1.4)其中：

(4.1.5)組數(shù)i

分組標(biāo)志變量xi

組中值頻數(shù)fi

頻率1L1～U1

f1.…2L2～U2

f2.…3

L3～U3

f3.………………n

Ln～Un

fn.…-

合計—

f…表4－3某

標(biāo)志組距變量分組表

Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.1數(shù)值平均數(shù)§4.1.1算術(shù)平均數(shù)【例4-3】以上下班的前后30分鐘為一個觀察時段，連續(xù)觀察了50個工作日，得到某路口的車流量數(shù)據(jù)分布如下表。試計算其日平均車流量強度。組數(shù)i車流量變量xi日數(shù)fi組中值日車流量總數(shù)fi

1105～110

f1=3107.5107.5×3=322.52110～115f2=5112.5112.5×5=562.53115～120f3=8117.5117.5×8=9404120～125f4=14122.5122.5×14=17155125～130f5=10127.5127.5×10=12756130～135f5=6132.5132.5×6=7957135～140f5=4137.5137.5×4=550-

合計

f=50-6160表4－4某路口日平均車流量計算表

Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.1數(shù)值平均數(shù)§4.1.1算術(shù)平均數(shù)解：上表是50個工作日車流量的分布情況，只能作大概估計其日平均車流量數(shù)。方法是計算其各組的組中值，用其組中值變量代替各組的一般水平，然后進行加權(quán)求平均。即同時，我們也整理得到了該路口比較準(zhǔn)確的車流量分布規(guī)律。

Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.1數(shù)值平均數(shù)圖4－3某路口車流量分布f(x).x14013012011051015123.21000§4.1.1算術(shù)平均數(shù)三、算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)■各變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差之和為零。

(4.1.6)

■各變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差的平方和最小。

(4.1.7)■兩個獨立的同質(zhì)變量代數(shù)和的平均數(shù)，等于各變量平均數(shù)的代數(shù)和。

(4.1.8)■兩個獨立的同質(zhì)變量乘積的平均數(shù)，等于各變量平均數(shù)的乘積。

(4.1.9)Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.1數(shù)值平均數(shù)返回§4.1.2調(diào)和平均數(shù)■調(diào)和平均數(shù)H

調(diào)和平均數(shù)，也叫標(biāo)志變量的倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，它是算術(shù)平均數(shù)的另一種表現(xiàn)形式。在實際工作中，由于所獲得的數(shù)據(jù)不同，有時不能直接采取算術(shù)平均公式計算平均數(shù)，這就需要使用調(diào)和平均的形式，來計算平均數(shù)。■調(diào)和平均數(shù)的計算方法，也是根據(jù)數(shù)列的分布特點確定。通常采用兩種形式：簡單調(diào)和平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.1數(shù)值平均數(shù)§4.1.2調(diào)和平均數(shù)一、加權(quán)調(diào)和平均數(shù)為了更好地理解調(diào)和平均數(shù)與調(diào)和平均數(shù)的應(yīng)用場合，我們看下面的例子。

【例4-4】某蔬菜批發(fā)市場三種蔬菜日成交數(shù)量數(shù)據(jù)如下。計算三種蔬菜的日平均批發(fā)價格。

表4—5

某市場蔬菜日成交數(shù)據(jù)分組表

Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.1數(shù)值平均數(shù)組數(shù)i蔬菜名稱批發(fā)價格xi成交金mi=xi·fi

1a1.280002b0.5125003c0.86400-

合計36900§4.1.2調(diào)和平均數(shù)解：從平均批發(fā)價格的概念上看，其計算方法應(yīng)該是：平均批發(fā)價格=成交金額/成交量；它的公式也應(yīng)該是一個批發(fā)價格xi的加權(quán)平均公式。但是，成交量fi未知。所以必須將各組的成交量fi換算出來。利用mi=xi·fi關(guān)系，有fi=mi/xi，即

表4—6三種蔬菜的日批發(fā)數(shù)據(jù)及調(diào)和平均數(shù)計算表則三種蔬菜的日平均批發(fā)價格為

Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.1數(shù)值平均數(shù)組數(shù)i蔬菜名稱批發(fā)價格xi成交金額mi=xi·fi

成交量fi=mi/xi

1a1.21800018000/1.2=150002b0.51250012500/0.5=250003c0.864006400/0.8=8000-

合計3690048000§4.1.2調(diào)和平均數(shù)一、加權(quán)調(diào)和平均數(shù)因此，我們令

(4.1.10)為在某些特殊條件下的平均數(shù)計算方法，這種方法就是調(diào)和方法，其中(4.1.10)式就為加權(quán)調(diào)和平均公式。Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.1數(shù)值平均數(shù)§4.1.2調(diào)和平均數(shù)三、調(diào)和平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系：在mi=xi·fi條件下，可以證明，調(diào)和平均公式與算術(shù)公式是等價的。調(diào)和平均數(shù)，是算術(shù)平均數(shù)的一種變化形式。Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.1數(shù)值平均數(shù)是由于使用了不同的數(shù)據(jù)§4.1.2調(diào)和平均數(shù)二、簡單調(diào)和平均數(shù)加權(quán)調(diào)和平均公式，適用于各組的標(biāo)志變量代表值xi已知，且已知各組的標(biāo)志總量mi。但是如果各組的標(biāo)志總量m1=m2=…=mn。則調(diào)和平均公式可化為

(4.1.11)令yi=1/xi，又由于yi=1/xi，就是標(biāo)志變量xi的倒數(shù)。則(4.1.11)可化為

(4.1.12)于是也可以說，調(diào)和平均數(shù)，是標(biāo)志變量的倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。公式(4.1.11)式也叫簡單調(diào)和平均公式。它的適用條件是，已知各組的標(biāo)志變量代表值xi，且各組的標(biāo)志總量mi恰好相等。Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.1數(shù)值平均數(shù)§4.1.2調(diào)和平均數(shù)■調(diào)和平均數(shù)，有著比算術(shù)平均數(shù)更好的使用空間。比如，欲了解某商品的市場變化規(guī)律，就必須收集市場逐日的商品價格，但逐日的商品價格資料搜集，是非常困難的，因為你必須了解每日各個市場，不同時間的價格資料和成交量資料，這種要求不僅困難而且也不可行。因此，在大多數(shù)情況下，逐日的商品價格資料收集，是采用市場抽樣的方法?！纠?-5】市場抽樣。指派一個調(diào)查員到市場上去購買某商品，抽樣理論可以證明，在完全隨機的情況下，調(diào)查員的購買成本，就是市場的銷售價格；調(diào)查員依次在三個不同的市場，購買了某商品，每次消費1元錢；其獲得的資料如下：Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.1數(shù)值平均數(shù)組數(shù)i蔬菜名稱批發(fā)價格xi成交金額mi=xi·fi

1a1.212b0.513c0.81-

合計3§4.1.2調(diào)和平均數(shù)求該商品的日平均銷售價格。解：抽樣理論可以證明，在完全隨機的情況下，調(diào)查員的購買成本就是市場的銷售價格；而該日的購買價格=消費金額/購買數(shù)量。已知，消費金額=1+1+1=3；而購買數(shù)量=1/1.2+1/1.5+1/1.3。因此有即，該商品該日的平均銷售價格為1.322034元。顯然，這里該日的平均銷售價格計算，使用了簡單調(diào)和平均公式。如果考慮到各個市場的價格差異對消費者消費欲望的影響，則調(diào)整各市場的消費金額，便可以將計算推廣到加權(quán)調(diào)和平均公式。

Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.1數(shù)值平均數(shù)返回§4.1.3幾何平均數(shù)■算術(shù)平均數(shù)或調(diào)和平均數(shù)的計算，各個標(biāo)志變量值xi是獨立不相干的。如果xi是非獨立和相關(guān)的，則標(biāo)志變量xi數(shù)列的平均數(shù)計算，就不能再采用算術(shù)方法或調(diào)和方法，而必須使用其他方法。■幾何平均數(shù)，是幾何級數(shù)的平均數(shù)。它的xi數(shù)列特點是，

xi=x0·Gi，i=1,2,..,n，標(biāo)志變量xi的每一項值的變化，基本與該值的前后項有關(guān)，存在時間上相互銜接的比率關(guān)系，xi數(shù)列是一個幾何級數(shù)數(shù)列。例如，流水線上的產(chǎn)品合格率數(shù)列，在復(fù)利條件下的本利率數(shù)列變動，等等，都是幾何級數(shù)數(shù)列?！鰩缀纹骄鶖?shù)的計算方法，也是根據(jù)數(shù)列的分布特點確定：簡單幾何平均公式和加權(quán)幾何平均公式。

Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.1數(shù)值平均數(shù)§4.1.3幾何平均數(shù)一、簡單幾何平均公式簡單幾何平均數(shù)是n個變量值乘積的n次方根。具體地說，如果有xi數(shù)列

x1，x2，x3，…，xn-1，xn；滿足幾何級數(shù)變化的要求，則xi數(shù)列的平均數(shù)

(4.1.13)Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.1數(shù)值平均數(shù)§4.1.3幾何平均數(shù)【例4-6】某產(chǎn)品的完整生產(chǎn)過程，要經(jīng)過3道流水作業(yè)工序，這3道工序的產(chǎn)品合格率，分別為80%，90%，95%。求整個生產(chǎn)流程的產(chǎn)品總平均合格率。解：因為，任意一道工序的產(chǎn)品合格與否，都與上一道工序有關(guān)。設(shè)流水作業(yè)的初級投入為y，每個工序的產(chǎn)品平均合格率都為G，則整個生產(chǎn)流程的產(chǎn)品總合格率R=y·G·G·G/y=G3

；80%，90%，95%是流水作業(yè)的狀態(tài)合格率，同樣有整個生產(chǎn)流程的產(chǎn)品總合格率

R=80%·90%·95%=G3

。于是

即，整個生產(chǎn)流程的產(chǎn)品總平均合格率為88.1%。

Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.1數(shù)值平均數(shù)§4.1.3幾何平均數(shù)【例4-7】一位投資者持有一種股票。1996年，1997年，1998年，1999年的收益率分別為4.5%，2.0%，3.5%，5.4%。求投資者這4年的年平均收益率。

解：本題的正確答案是年平均收益而非原因是在按復(fù)利計算收益的條件下，只有益本率1+r才具有幾何平均數(shù)性質(zhì)；于是Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.1數(shù)值平均數(shù)§4.1.3幾何平均數(shù)二、加權(quán)幾何平均公式如果幾個變量值出現(xiàn)的次數(shù)不同時，計算其平均數(shù)應(yīng)該采用加權(quán)幾何平均方法

(4.1.14)該公式的導(dǎo)出，類似于對幾何級數(shù)數(shù)列(x1，…，x1)；(x2，…，x2)；(x3，…，x3)；…，；(xn，…，xn)；f1個,f2個,f3個,,…….,fn個；求簡單幾何平均數(shù)。

Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.1數(shù)值平均數(shù)§4.1.3幾何平均數(shù)【例4-8】某項為期20年的投資，其收益按復(fù)利計算，前10年的年利率為10%，中間5年的年利率為8%，最后5年的年利率為6%。求這20年的年平均收益率。解：本題的正確答案是年平均收益而非原因是，在按復(fù)利計算收益的條件下，只有益本率1+r才具有幾何平均數(shù)性質(zhì)；于是

即這20年的年平均收益率為8.47%。Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.1數(shù)值平均數(shù)返回§4.2位置平均數(shù)§4.2.1眾數(shù)Mo§4.2.2中位數(shù)Me

§4.2.3其它分位數(shù)§4.2.4各種平均數(shù)的比較Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征§4.1數(shù)值平均數(shù)§4.2位置平均數(shù)§4.3分布的離散程度§4.4分布的偏度和峰度返回§4.2.1眾數(shù)Mo■眾數(shù)是統(tǒng)計數(shù)列中，出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值或者標(biāo)志值；由于眾數(shù)與分布的頻數(shù)fi有關(guān)，不受極端值的影響，因此，可作為現(xiàn)象一般水平的代表值。■理論上，確定眾數(shù)，必須編制相應(yīng)變量分布序列?！霰姅?shù)確定：一、品質(zhì)數(shù)列和單項式變量數(shù)列的眾數(shù)確定。二、組距式變量數(shù)列的眾數(shù)確定。

Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.2位置平均數(shù)§4.2.1眾數(shù)Mo一、品質(zhì)數(shù)列、單項式變量數(shù)列的眾數(shù)確定。方法非常簡單。由Max{fi}，(4.2.1)求Mo

組i，i對應(yīng)的xi就是該數(shù)列的眾數(shù)，Mo=xi。Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.2位置平均數(shù)Isee!【例4-9】在某城市隨機調(diào)查了200個市民，整理后得到其關(guān)注的廣告變量頻數(shù)分布。求分布的眾數(shù)。解：這里的變量為“廣告變量”，這是個定類變量，不同類型的廣告就是變量值。由于在所調(diào)查的200人中，關(guān)注商品廣告的人最多，為112人，占總調(diào)查人數(shù)的56%，因此，眾數(shù)屬于“商品廣告”這一類別，i=1，即Mo=x1=“商品廣告”。組數(shù)i廣告類型分組xi人數(shù)fi1商品廣告1122服務(wù)廣告513金融廣告94房地產(chǎn)廣告165招生招聘廣告106其他廣告2-合計200市民關(guān)注的廣告類型頻數(shù)分布§4.2.1眾數(shù)MoCh4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.2位置平均數(shù)【例4-10】在某城市隨機調(diào)查了300戶居民，整理后得到其對住房狀況評價的頻數(shù)分布。求分布的眾數(shù)。解：這里的變量為“回答變量”，這是個定序變量，不同類型的回答就是變量值。由于在所調(diào)查的300人中，對住房表示不滿意的人最多，為108人，占總調(diào)查人數(shù)的36%，因此，眾數(shù)屬于“不滿意”這一類別，i=2，即Mo=x2=“不滿意”。

市民對住房狀況的評價頻數(shù)分布組數(shù)i回答類型分組xi戶數(shù)fi1非常不滿意242不滿意1083一般934滿意455非常滿意30-合計300§4.2.1眾數(shù)MoCh4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.2位置平均數(shù)圖4－4居民對住房評價的累計分布不滿意一般滿意非常不滿意非常滿意300100200S’S【例4-11】表3－6是某班學(xué)生按年齡分組表。計算其年齡眾數(shù)。解：由Max{fi}求i，Max{fi}=16，i=3，所以Mo=x3=20。即眾數(shù)為20歲。

組數(shù)i

年齡變量xi（歲）人數(shù)（人）fi

人數(shù)比重（%）118814.552191221.813201629.094211120.00522814.55－合計55100.00表3－6某班學(xué)生按年齡分組表圖4－5某班學(xué)生年齡分布豎線圖206頻數(shù)（人）頻率%年齡8101214161718192122232418.1821.8225.4529.0914.551832.72§4.2.1眾數(shù)MoCh4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.2位置平均數(shù)二、組距式變量數(shù)列的眾數(shù)確定。方法則復(fù)雜一些。其步驟是：

由Max{fi}求眾數(shù)組i：“Li~

Ui”，該組的上、下限，就是眾數(shù)的變動范圍；

LMo

Mo

UMo.

(4.2.2)依據(jù)與眾數(shù)組相臨的兩個組的頻數(shù)，近似計算眾數(shù)值，公式為

(4.2.3)其中，

dMo=UMo-LMo，

1=fMo-fMo-1，

2=fMo-fMo+1。(4.2.4)

§4.2.1眾數(shù)MoCh4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.2位置平均數(shù)二、組距式變量數(shù)列的眾數(shù)確定§4.2.1眾數(shù)MoCh4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.2位置平均數(shù)圖4－6眾數(shù)計算公式的幾何解釋f(x).xUMoLMofMo

20

1fMo-1fMo+1Mo.【例4-12】某路口50個工作日車流量數(shù)如下表。試計算其日車流量的眾數(shù)。解：由Max{fi}=14，i=4，則眾數(shù)應(yīng)在第4組，于是有

LMo

Mo

UMo.→120

Mo

125.

1=14-8=6,

2=14-10=4,dMo=UMo-LMo=5.利用下限公式估計眾數(shù)§4.2.1眾數(shù)MoCh4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.2位置平均數(shù)組數(shù)i車流量變量xi日數(shù)fi1105～110

f1=32110～115f2=53115～120f3=84120～125f4=145125～130f5=106130～135f5=67135～140f5=4-

合計

f=50表4—11某路口日車流量眾數(shù)計算表【例4-13】某公司50名員工工資分布情況如下表。試計算其工資的眾數(shù)。解：由Max{fi}=20，i=3，則眾數(shù)應(yīng)在第3組，得Mo=1200。本例實際為單變量數(shù)列，但可以把它當(dāng)成是組距變量數(shù)列的特例處理，即

LMo

Mo

UMo.→1200

Mo

1200.

1=20-10=10,

2=20-7=13,dMo=UMo-LMo=0.利用下限公式估計眾數(shù)組數(shù)i工資變量xi人數(shù)fi1800～800f1=521000～1000f2=1031200～1200f3=2041500～1500f4=752000～2000f5=562500～2500f

6

=3-合計

f=50表4—12員工工資眾數(shù)計算表Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.2位置平均數(shù)§4.2.1眾數(shù)Mo返回■中位數(shù)是統(tǒng)計數(shù)列按數(shù)值的大小排序，排序后處于中間位置上的標(biāo)志值。由于Me位置居中，不受極端值的影響，因此，可以用來代表現(xiàn)象的一般水平。■為確定中位數(shù)，必須將總體各單位的標(biāo)志值，按大小排序，最好是先編制出變量序列。一般有三種情況：第一種情況，未分組原始資料的中位數(shù)確定。第二種情況，單項式變量數(shù)列資料的中位數(shù)確定。第三種情況，組距式變量數(shù)列的中位數(shù)的確定。Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.2位置平均數(shù)§4.2.2中位數(shù)Me一、未分組原始資料的中位數(shù)確定。首先按標(biāo)志值的大小排序。設(shè)排序后的結(jié)果為

x1

x2

x3

……..

xn-1

xn；按照中位數(shù)的定義，則中位數(shù)可按下式確定

(4.2.5)其中(n+1)/2為數(shù)列的中間位置。Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.2位置平均數(shù)§4.2.2中位數(shù)Me【例4-14】5個原始數(shù)據(jù)：24，22，21，26，20；計算其中位數(shù)。解：對原始數(shù)據(jù)排序，有xi：20，

21，

22，

24，

26；位置i：1，2，3，4，5；排序數(shù)列的中間位置為(n+1)/2=(5+1)/2=3。第3個位置所對應(yīng)的數(shù)據(jù)值為22，所以Me=x3=22。

【例4-15】6個原始數(shù)據(jù)：10，5，9，12，6，8；計算其中位數(shù)。解：對原始數(shù)據(jù)排序，有xi：5，

6，

8，

9，

10，

12；位置i：1，2，3，4，5，6；排序數(shù)列的中間位置為(n+1)/2=(6+1)/2=3.5。第3個位置所對應(yīng)的數(shù)據(jù)值為8，第4個位置所對應(yīng)的數(shù)據(jù)值為9，所以Me=(x3+x4)/2=(8+9)/2=8.5。

Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.2位置平均數(shù)§4.2.2中位數(shù)Me【例4-16】觀察某路口在若干個10分鐘內(nèi)的車流量，資料記錄如下：26，26，38，24，32，22，15，33，19，26，21，29，16，20，34，24，27，30，31，33。對其進行排序整理，試計算該路口在10分鐘內(nèi)的車流量中位數(shù)。解：排序整理后，有xi：15,16,19,20,21,22,24,24,26,26,26,27,29,30,31,32,33,33,34,38，位置i：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20；排序數(shù)列的中間位置為(n+1)/2=(20+1)/2=10.5。第10個位置所對應(yīng)的數(shù)據(jù)值為26，第11個位置所對應(yīng)的數(shù)據(jù)值為26，所以Me=(x10+x11)/2=(26+26)/2=26。

Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.2位置平均數(shù)§4.2.2中位數(shù)Me【例4-17】在某城市隨機調(diào)查了300戶居民，整理后得到其對住房狀況評價的頻數(shù)分布。求分布的中位數(shù)。市民對住房狀況的評價頻數(shù)分布組數(shù)i回答類型分組xi戶數(shù)fi向上累計Si=f1+f2+…+fi.排序Pi1非常不滿意2424=241～242不滿意108132=24+10825～1323一般93225=24+108+93133～2254滿意45270=24+108+93+45226～2705非常滿意30300=24+108+93+45+30271～300-合計300--§4.2.2中位數(shù)MeCh4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.2位置平均數(shù)解：排序計算累計頻數(shù)Si；由于，中間位置(

f+1)/2=(300+1)/2=150.5，從累計頻數(shù)Si和排序Pi的關(guān)系看，從序133-225的變量值均為“一般”，于是中位數(shù)應(yīng)在“一般”這一類別中。因此，中位數(shù)為“一般”，即Me=x3=“一般”。

二、單項式變量數(shù)列資料的中位數(shù)確定由于變量值已經(jīng)初步序列化，其中位數(shù)的確定，既可按中位數(shù)的定義確定，也可按組距式變量數(shù)列方法的一個特例處理。Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.2位置平均數(shù)§4.2.2中位數(shù)Me是嗎？道理呢？三、組距式變量數(shù)列的中位數(shù)的確定（比較復(fù)雜）一般步驟是：先對數(shù)列進行排序。排序的過程，等價于計算數(shù)列的向上累計數(shù)Si或者向下累計數(shù)Si’。

Si=f1+f2+…+fi，Sn-i+1’=fn+fn-1+…+fn-i+1。(4.2.6)Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.2位置平均數(shù)§4.2.2中位數(shù)Me組數(shù)i

標(biāo)志變量xi

頻數(shù)fi

向上累計頻數(shù)Si=f1+f2+…+fi.排序1L1～U1f1

S1=f1.1～f12L2～U2f2

S2=f1+f2.1+f1

～S2

3L3～U3f3

S3=f1+f2+f3.1+S2

～S3

……………n

Ln～Unfn

Sn=f1+f2+…+fn.1+Sn-1

～Sn-合計

f

-…表4-4某

標(biāo)志中位數(shù)計算表

按照中位數(shù)的定義，有

Si(Me)=(

f)/2；Sn-i’(Me)=(

f)/2；(4.2.7)SMe-1<(

f)/2

SMe；SMe’

(

f)/2<SMe+1’；

(4.2.8)

從數(shù)列Si或Si’欄中，找出(

f)/2所在的組i—“中位數(shù)組”，該組的上、下限，就是中位數(shù)的取值范圍；

LMe

Me

UMe.(4.2.9)并確定fMe、SMe

、SMe-1、SMe+1’的值。這里，fMe、SMe

、SMe-1、SMe+1’，分別為中位數(shù)組頻數(shù)、向上累計到中位數(shù)組的頻數(shù)、向上累計到中位數(shù)組之相臨上一組的頻數(shù)、向下累計到中位數(shù)組之相臨下一組的頻數(shù)。Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.2位置平均數(shù)§4.2.2中位數(shù)Me假定中位數(shù)組內(nèi)各單位，是均勻分布的，利用下面公式，可近似計算中位數(shù)值

(4.2.10)其中，

dMe=UMe-LMe。(4.2.11)Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.2位置平均數(shù)§4.2.2中位數(shù)Me【例4-18】某路口50個工作日車流量分布情況如下表。試計算其中位數(shù)。組數(shù)i車流量變量xi日數(shù)fi向上累計Si=f1+f2+…+fi

排序Pi1105～110

f1=33=31～32110～115f2=53+5=84～83115～120f3=83+5+8=169～164120～125f4=143+5+8+14=3017～305125～130f5=103+5+8+14+10=4031～406130～135f5=63+5+8+14+10+6=4641～467135～140f5=43+5+8+14+10+6+4=5047～50-

合計

f=50--表4—14某路口50個工作日車流量中位數(shù)計算表Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.2位置平均數(shù)§4.2.2中位數(shù)Me解：中點位置為(

f)/2=25，由累計頻數(shù)Si與排序Pi的關(guān)系知，中位數(shù)應(yīng)在第4組，i=4，于是有

LMe

Me

UMe.→120

Me

125.SMe=30,SMe-1=16,SMe+1=40,fMe=14,dMe=UMe.-LMe=5.利用下限公式估計中位數(shù)Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.2位置平均數(shù)§4.2.2中位數(shù)Me【例4-19】某公司50名員工工資分布情況如下表。試計算其工資的中位數(shù)。組數(shù)i月工資分組xi人數(shù)fi向上累計Si=f1+f2+…+fi

排序Pi1800～800

f1=55=51～521000～1000f2=105+10=156～1531200～1200f3=205+10+20=3516～3541500～1500f4=75+10+20+7=4236～4252000～2000f5=55+10+20+7+5=4743～4762500～2500f5=35+10+20+7+5+3=5048～50-

合計

f=50--表4—15某公司員工工資中位數(shù)計算表Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.2位置平均數(shù)§4.2.2中位數(shù)Me解：單變量分布，可以當(dāng)成組距變量分布的特例。中點位置(

f)/2=25，由累計頻數(shù)Si與排序Pi的關(guān)系知，中位數(shù)應(yīng)在第3組，i=3，于是有

LMe

Me

UMe.→1200

Me

1200.SMe=35,SMe-1=15,SMe+1=42,fMe=20,dMe=UMe.-LMe=0.利用下限公式估計中位數(shù)Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.2位置平均數(shù)§4.2.2中位數(shù)Me返回■中位數(shù)，作為分布數(shù)列中處于中等水平的代表值，可以將全部總體單位，按標(biāo)志值的大小，等分為兩部分，因此，中位數(shù)也稱為“1/2分位數(shù)”。

Si(Me)=(

f)/2.→Si(Me)/(

f)=1/2.(4.2.12)

類似地，我們可以定義出其它分位數(shù)。如1/4分位數(shù)、1/8分位數(shù)、1/10分位數(shù)、1/100分位數(shù)，等等?！鲆话愕?，如果能夠?qū)⑷靠傮w單位，按標(biāo)志值的大小，等分為k個部分，有

Si(xk)/(

f)=1/k.(4.2.13)

則xk可稱為1/k分位數(shù)?！龃_定1/k分位數(shù)的目的，是進一步把握總體分布的范圍和內(nèi)部結(jié)構(gòu)。與中位數(shù)和眾數(shù)類似，這些分位數(shù)，也反映了總體分布的位置特征。較為常見的分位數(shù)，有以下幾種：

Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.2位置平均數(shù)§4.2.3其他分位數(shù)一、4分位數(shù)Q：

4分位數(shù)，就是能夠?qū)⑷靠傮w單位，按標(biāo)志值的大小，等分為4個部分的3個數(shù)值。分別記為Q1、Q2、Q3，并稱為1/4分位數(shù)、1/2分位數(shù)、3/4分位數(shù)。其中，1/4分位數(shù)也叫下4分位數(shù)，3/4分位數(shù)也叫上4分位數(shù)，1/2分位數(shù)就是中位數(shù)。在總體所有n個單位的標(biāo)志值，都已經(jīng)按大小順序排列的情況下，Q1的位次為(n+1)/4，Q2的位次為2(n+1)/4，Q3的位次為3(n+1)/4。如果n+1恰好為4的倍數(shù)，則

Q1=x(n+1)/4，Q2=x2(n+1)/4=Me，Q3=x3(n+1)/4，(4.2.14)

如果n+1不是4的倍數(shù)，則按上面方法計算出來的4分位數(shù)位次，就有可能有小數(shù)，這時，有關(guān)的4分位數(shù)，就應(yīng)該是，與該帶分?jǐn)?shù)相臨的兩個整數(shù)位次上的標(biāo)志值的加權(quán)算術(shù)平均，權(quán)數(shù)的大小，取決于兩個整數(shù)位次與4分位數(shù)位次距離的遠(yuǎn)近，距離越近權(quán)數(shù)越大，距離越遠(yuǎn)權(quán)數(shù)越小。Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.2位置平均數(shù)§4.2.3其他分位數(shù)【例4-21】當(dāng)給定n=50時，容易確定：

Q1的位次為(n+1)/4=12.75，

Q2的位次為2(n+1)/4=25.5，

Q3的位次為3(n+1)/4=38.25。則

Q1=x12+0.75(x13-x12)=0.25x12+0.75x13，

Q2=x25+0.5(x26-x25)=0.5x25+0.5x25=Me，

Q3=x38+0.25(x39-x38)=0.75x38+0.25x39。以上方法，適用于未分組數(shù)據(jù)和單變量分布數(shù)據(jù)。

Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.2位置平均數(shù)§4.2.3其他分位數(shù)對于組距變量數(shù)列，可仿照中位數(shù)的估計方法，求出Q1、Q2、Q3。第一步，由

Si(Q1)/(

f)=1/4；

Si(Q2)/(

f)=Si(Me)/(

f)=1/2；(4.2.15)Si(Q3)/(

f)=3/4。

從變量數(shù)列的Si欄中，找出第(

f)/4、(

f)/2、3(

f)/4個單位所在的組，各組的上、下限，就是各分位數(shù)的取值范圍；

LQi

Qi

UQi.(4.2.16)并確定fQi、SQi

、SQi-1的值。這里，fQi、SQi

、SQi-1，分別為各分位數(shù)組頻數(shù)、向上累計到各分位數(shù)組的頻數(shù)、向上累計到各分位數(shù)組之相臨上一組的頻數(shù)。Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.2位置平均數(shù)§4.2.3其他分位數(shù)假定分位數(shù)組內(nèi)各單位是均勻分布的，利用下面公式，可近似計算各分位數(shù)值

(4.2.17)其中

dQi=UQi–LQi。(4.2.18)

Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.2位置平均數(shù)§4.2.3其他分位數(shù)二、十分位數(shù)D：■10分位數(shù)，就是能夠?qū)⑷靠傮w單位，按標(biāo)志值的大小，等分為10個部分的9個數(shù)值。分別記為D1、D2、…..、D9，并稱為1/10分位數(shù)、2/10分位數(shù)、…..、9/10分位數(shù)。其中，1/10分位數(shù)也叫下10分位數(shù)，9/10分位數(shù)也叫上10分位數(shù)，5/10分位數(shù)就是中位數(shù)?！?0分位數(shù)的確定方法，可以按4分位數(shù)的確定方法依次類推。在總體所有n個單位的標(biāo)志值，都已經(jīng)按大小順序排列的情況下，D1的位次為(n+1)/10，D2的位次為2(n+1)/10，…..，D9的位次為9(n+1)/10。如果n+1恰好為10的倍數(shù)，則

D1=x(n+1)/10，D2=x2(n+1)/10，…..，D9=x9(n+1)/10，(4.2.19)如果n+1不是10的倍數(shù)，則按上面方法計算出來的，10分位數(shù)位次就有可能有小數(shù)，有小數(shù)，就應(yīng)該與該位次相臨的兩個整數(shù)位次上的標(biāo)志值，進行加權(quán)算術(shù)平均?！鲋劣诮M距變量的10分位數(shù)的確定，基本方法與4分位數(shù)相同。此處從略。

Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.2位置平均數(shù)§4.2.3其他分位數(shù)返回一、數(shù)值平均數(shù)與位置平均數(shù)的比較：■作用—

數(shù)值平均數(shù)與位置平均數(shù)，在統(tǒng)計上，都是用來表征總體的一般水平或者集中趨勢，是抽象化的代表值；但代表意義卻有所不同：數(shù)值平均數(shù)，是對所有變量值來計算的平均數(shù)，它概括地反映數(shù)列中所有標(biāo)志值的平均水平；而位置平均數(shù)，是根據(jù)總體中，處于特殊位置上的個別單位或者部分標(biāo)志值，來確定的代表值。■概括能力—

數(shù)值平均數(shù)的數(shù)據(jù)概括能力極強，容易受個別或者少數(shù)極端值的影響；位置平均數(shù)則反之?！鲞m用的數(shù)據(jù)類型—

數(shù)值平均數(shù)，對數(shù)據(jù)的量化尺度要求較高，只適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)；而位置平均數(shù)的適用數(shù)據(jù)范圍，可擴展到品質(zhì)型數(shù)據(jù)。

Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.2位置平均數(shù)§4.2.4各種平均數(shù)的比較二、各種平均數(shù)的比較Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.2位置平均數(shù)§4.2.4各種平均數(shù)的比較數(shù)據(jù)類型定類數(shù)據(jù)定序數(shù)據(jù)定距數(shù)據(jù)定比數(shù)據(jù)適用的測度指標(biāo)眾數(shù)中位數(shù)算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)-1/4位數(shù)眾數(shù)調(diào)和平均數(shù)-眾數(shù)中位數(shù)幾何平均數(shù)--1/4位數(shù)1/4位數(shù)---眾數(shù)各種平均數(shù)的比較

三、算術(shù)平均數(shù)與眾數(shù)、中位數(shù)的關(guān)系眾數(shù)、中位數(shù)與算術(shù)平均數(shù)之間，存在一定的關(guān)系。這種關(guān)系，取決于總體內(nèi)部的次數(shù)分布狀況。在單峰分布條件下，如果分布是對稱的，則

Mo=Me=。(4.2.20)

如果分布是左偏分布，說明數(shù)據(jù)存在極小值，必然拉動算術(shù)平均數(shù)向極小值靠攏，而眾數(shù)、中位數(shù)是位置代表值，不受極值的影響，因此：

<Me<Mo。(4.2.21)

反之，如果分布是右偏分布，則是

Mo<Me<。(4.2.22)Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.2位置平均數(shù)§4.2.4各種平均數(shù)的比較三、算術(shù)平均數(shù)與眾數(shù)、中位數(shù)的關(guān)系

Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征

§4.2位置平均數(shù)§4.2.4各種平均數(shù)的比較MeMoMoMe圖4－7眾數(shù)、中位數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系Mo=Me=<Me<MoMo<Me<返回§4.3分布的離散程度§4.3.1變異指標(biāo)§4.3.2極差與分位差§4.3.3平均差與標(biāo)準(zhǔn)差§4.3.4變異系數(shù)Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征§4.1數(shù)值平均數(shù)§4.2位置平均數(shù)§4.3分布的離散程度§4.4分布的偏度和峰度返回§4.3.1變異指標(biāo)■變異指標(biāo)，就是用來刻畫總體分布的變異狀況或者離散程度的指標(biāo)。Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征§4.3分布的離散程度圖4－8離散程度不同的分布f(x).x0.總體2的分布總體1的分布§4.3.1變異指標(biāo)■通過變異指標(biāo)，還可以反映平均指標(biāo)的代表性，說明現(xiàn)象或過程的均衡程度與穩(wěn)定程度；等等。■在統(tǒng)計分析中，變異指標(biāo)與平均指標(biāo)，是互相補充的，常常需要結(jié)合起來運用?！龇植嫉碾x散程度，可以從不同的角度，運用不同的變異指標(biāo)進行考察?！龀Ｓ玫淖儺愔笜?biāo)，有極差、分位差、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差和方差，等等，其中以標(biāo)準(zhǔn)差最為重要。

Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征§4.3分布的離散程度返回§4.3.2極差與分位差一、極差R：

■極差是最簡單的變異指標(biāo)。它是一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差。又稱為“全距”。用公式表示為

R=xmax-xmin..(4.3.1)如果是根據(jù)組距變量數(shù)列計算極差，由于分布的實際最大值與最小值已經(jīng)難以確知，這時，只能利用最大組的上限和最小組的下限來估計

R≌Umax

-Lmin..(4.3.2)■極差，反映的是變量分布的變異范圍或者離散程度，在總體中任何兩個單位的標(biāo)志值之差，都不可能超過極差，

xi-xj

R,i≠j.(4.3.3)■極差的計算極其簡單，含義直觀，運用方便。但存在不足。一是它僅僅取決于兩個極端值的水平，不能反映其間的變量分布情況；二是受個別極端值的影響過于顯著，不符合“穩(wěn)健性”和“耐抗性”的要求。為此，還需要適當(dāng)運用其它的變異指標(biāo)。Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征§4.3分布的離散程度§4.3.2極差與分位差二、分位差：■分位差是極差的一種改進，它是排除了極端值的影響后，重新計算的類似極差的一種指標(biāo)。常用的分位差，有4分位差、8分位差、10分位差、16分位差、32分位差、….、100分位差，等等。這里僅以4分位差為例，加以說明?！鲇嬎?分位差的目的，是直接排除部分極端值對變異指標(biāo)的影響。為此，需要從總體分布中，先剔出最大、最小各四分之一的單位，再對中間剩余的總體單位數(shù)，計算“全距”。這個“全距”，實際上就是“上4分位數(shù)”與“下4分位數(shù)”之差，通常稱為內(nèi)距或4分位間距，記為QR。

QR=Q3-Q1。

(4.3.4)■QR反映了中間50%的數(shù)據(jù)的離散程度。QR值越小，說明中間的數(shù)據(jù)越集中；QR值越大，說明中間的數(shù)據(jù)越分散。Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征§4.3分布的離散程度§4.3.2極差與分位差二、分位差：■QR與R的區(qū)別，僅僅在于其計算范圍比較窄?！龅珜嶋H應(yīng)用時，人們習(xí)慣取QR的一半為“4分位差”，記為QD。

QD=QR/2=(Q3-Q1)/2。

(4.3.5)如果將Q3、Q1之間的中點值記為C，即

C=(Q3+Q1)/2。(4.3.6)則由4分位差的定義可知：總體中50%的單位分布在C

QD范圍之內(nèi)。另一方面，4分位差也可以表示Q3、Q1與Me的平均距離，即

(4.3.7)■它可以用于測量中位數(shù)的代表程度。Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征§4.3分布的離散程度返回§4.3.3平均差與標(biāo)準(zhǔn)差一、平均差A(yù)D：■也叫平均絕對偏差。是總體各變量值與其算術(shù)平均數(shù)離差的絕對值之算術(shù)平均數(shù)。計算公式為：如果是未分組數(shù)據(jù)，則

(4.3.8)如果是分組數(shù)據(jù)，則

(4.3.9)■AD是全面地反映一組數(shù)據(jù)的離散程度的重要指標(biāo)之一。AD值越大，說明分布越分散，AD值越小，說明分布越集中。

■但AD的數(shù)學(xué)性質(zhì)較差，實際應(yīng)用不多。Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征§4.3分布的離散程度【例4-23】觀察某路口在若干個10分鐘內(nèi)的車流量，資料記錄如下：26，26，38，24，32，22，15，33，19，26，21，29，16，20，34，24，27，30，31，33。計算該路口在10分鐘內(nèi)的車流量的平均差。解：計算其算術(shù)平均數(shù)計算其平均差Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征§4.3分布的離散程度§4.3.3平均差與標(biāo)準(zhǔn)差二、標(biāo)準(zhǔn)差與方差：標(biāo)準(zhǔn)差，是總體各變量值與其算術(shù)平均數(shù)離差的平方和之算術(shù)平均數(shù)的開平方根，標(biāo)準(zhǔn)差記為

。而標(biāo)準(zhǔn)差的平方，則為總體變量的方差，方差記為

2。其計算公式為：如果是未分組數(shù)據(jù)，則

(4.3.10)如果是分組數(shù)據(jù)，則

(4.3.11)

或者

2，全面地反映一組數(shù)據(jù)與其均值的平均離散程度。

或

2值越大，說明分布越分散，

或

2值越小，說明分布越集中。Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征§4.3分布的離散程度§4.3.3平均差與標(biāo)準(zhǔn)差【例4-25】觀察某路口在若干個10分鐘內(nèi)的車流量，資料記錄如下：26，26，38，24，32，22，15，33，19，26，21，29，16，20，34，24，27，30，31，33。計算該路口在10分鐘內(nèi)的車流量的標(biāo)準(zhǔn)差和方差。解：計算其算術(shù)平均數(shù)計算其方差于是，有

=6.108191(輛/10分鐘).Ch4統(tǒng)計分布的數(shù)值特征§4.3分布的離散程度§4.3.3平均差與標(biāo)準(zhǔn)差【例4-26】某路口50個工作日的車流量數(shù)據(jù)分布如下表。試計算其車流量的標(biāo)準(zhǔn)差和方差。組數(shù)i車流量變量xi日數(shù)fi組中值fi

1105～110

f1=3107.5107.5×3=322.5739.472110～115f2=5112.5112.5×5=562.5572.453115～120f3=8117.5117.5×8=940259.924120～125f4=14122.5122.5×14=17156.865125～130f5=10127.5127.5×10=1275184.96130～135