B4球坐標(biāo)、變量替換及重積分應(yīng)用(網(wǎng))

13.4在球坐標(biāo)系中三重積分的計(jì)算（有限）球體對應(yīng)球坐標(biāo)中的長方體23例6解145例7解由對稱性采用球坐標(biāo).6附注此題用柱坐標(biāo)解將比較簡單，因?yàn)椤?3.4三重積分的變量替換定理3且變換的Jacobi行列式又設(shè)變換則有證明從略可以除去一個(gè)零體積集8例如柱坐標(biāo)變換：其Jacobi行列式球坐標(biāo)變換其Jacobi行列式9例8（橢球坐標(biāo)變換）解作橢球坐標(biāo)變換，令則Jacobi行列式10問題橢球的體積？11另一解法則而且然后作球坐標(biāo)變換.12§4重積分的應(yīng)用舉例

幾何應(yīng)用面積、體積、

物理應(yīng)用質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量、力曲面面積定積分應(yīng)用的推廣可加性問題分割、取點(diǎn)、求和、取極限微元法連續(xù)體的離散化134.1重積分的幾何應(yīng)用例1所圍區(qū)域的體積V.解方程為即

14作廣義極坐標(biāo)變換：此時(shí)15

空間曲面的面積光滑曲面曲面在每點(diǎn)處都有切平面，的法向量隨著曲面上的點(diǎn)連續(xù)地變動.且切平面分片光滑曲面由有限塊光滑曲面組成的曲面.回憶以直代曲(ii)光滑曲面z

f(

x,y

)在一點(diǎn)處的法向量設(shè)曲面S

的方程為16現(xiàn)求曲面S

的面積.設(shè)M

(

x,y,z

)是曲面上一點(diǎn)，dS

是曲面微元.（面積也分別記又設(shè)曲面在M

點(diǎn)的單位法向量以平代曲17稱為曲面面積元素.于是，曲面面積例1由對稱性，所求面積等于曲面在第一卦限解部分S1的8倍.18RR被積函數(shù)特點(diǎn)(p.40)?R19其中的函數(shù)都具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，現(xiàn)求設(shè)P0

(

x0,y0,z0

)是曲面上一點(diǎn)，對應(yīng)參數(shù)(

u0,v0

)曲面的面積.上冊p.337即考慮曲面上過P0

點(diǎn)的兩條曲線：關(guān)鍵是法向量給出，20它們在P0

點(diǎn)的切向量分別為其中輪換21

又有則曲面面積元素

22從而由參數(shù)方程表出的曲面的面積例4面積.解所求面積23例

5解球面的參數(shù)方程為24補(bǔ)注連續(xù)曲面可以用一個(gè)由三角形構(gòu)成的多個(gè)三角形的內(nèi)角都必須

0，因此，球面面積面形來逼近，三角形的頂點(diǎn)都在曲面上，不過每一否則有著名的Schwarz反例.254.2物體的質(zhì)量與質(zhì)心

質(zhì)量平面薄片D

的質(zhì)量空間物體

的質(zhì)量

質(zhì)心設(shè)物體占據(jù)空間區(qū)域

,有連續(xù)的體微元的質(zhì)量取一微元.微元對各坐標(biāo)面的靜力矩分別為點(diǎn)密度26則質(zhì)心對各坐標(biāo)平面的靜力矩為27例6求由兩圓周解類似可得平面薄板D

的質(zhì)心28兩個(gè)圓周的極坐標(biāo)方程