平面向量的坐標運算人教A版必修

平面向量的坐標表示及運算復習1,平面向量基本定理

如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2

使a=λ1e1+λ2e22.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)λ，使____________．b＝λa(1)我們把不共線向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不唯一，關(guān)鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量a在給出基底e1、e2的條件下進行分解；(4)基底給定時，分解形式唯一.λ1,λ2是被a,e1、e2唯一確定的數(shù)量。a=λ1e1+λ2e2復習G=F1+F2F1F2GG=F1+F2叫做重力G的分解類似地，由平面向量的基本定理，對平面上的任意向量a，均可以分解為不共線的兩個向量λ1a1和λ2

a2,使a=λ1a1+λ2

a2新課引入G與F1,F2有什么關(guān)系?把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量正交分解若兩個不共線向量互相垂直時aλ1a1λ2

a2F1F2G正交分解思考：我們知道，在平面直角坐標系，每一個點都可用一對有序?qū)崝?shù)（即它的坐標）表示，對直角坐標平面內(nèi)的每一個向量，如何表示？在平面上，如果選取互相垂直的向量作為基底時，會為我們研究問題帶來方便。yxAa如圖，在直角坐標平面內(nèi)，以原點O為起點作OA=a，則點A的位置由a唯一確定。yxOji設(shè)OA=xi+yj，則向量OA的坐標（x,y)就是點A的坐標；a(x,y)因此，在平面直角坐標系內(nèi)，每一個平面向量都可以用一對實數(shù)唯一表示。反過來，點A的坐標（x,y)也就是向量OA的坐標。向量的坐標表示i=j=0=(1,0)(0,1)(0,0)ayOxxiyjjia=(x,y)yOxajixiyjxiyjb相等的向量坐標相同向量a、b有什么關(guān)系?a＝b能說出向量b的坐標嗎?b=(x,y)2.3.2（3）平面向量的坐標表示及運算學習導航預習目標重點難點

重點：向量的坐標表示．難點：向量的坐標運算法則．新知初探思維啟動1.平面向量的正交分解把一個向量分解成兩個__________的向量，叫做把向量正交分解．2.平面向量的坐標表示(1)向量的直角坐標互相垂直在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個___________________i、j作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x，y使得a＝__________，則把有序數(shù)對_________叫做向量a的坐標．單位向量xi＋yj(x，y)(2)向量的坐標表示在向量a的直角坐標中，___叫做a在x軸上的坐標，____叫做a在y軸上的坐標,__________

叫做向量的坐標表示．(3)在向量的直角坐標中，i＝(1，0)，j＝______________，0＝(0，0)．xya＝(x，y)(0，1)想一想3.平面向量的坐標運算向量的加、減法若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝______________________，a－b＝________________________．即兩個向量和(差)的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和(差)．(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)實數(shù)與向量的積若a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝____________，即實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標(λx，λy)做一做已知a＝(1，2)，b＝(－1，3)，則a＋2b＝________．解析：∵2b＝(－2，6)，∴a＋2b＝(1，2)＋(－2，6)＝(1－2，2＋6)＝(－1，8)．答案：(－1，8)已知，求的坐標.OxyB(x2,y2)A(x1,y1)結(jié)論:一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段終點的坐標減去始點的坐標。想一想典題例證技法歸納題型探究例1

在直角坐標系xOy中，向量a，b，c的方向如圖所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分別計算出它們的坐標．向量的坐標表示【名師點評】向量的坐標表示是向量的另一種表示方法，當向量的始點在原點時，終點坐標即為向量的坐標．變式訓練

設(shè)向量a、b的坐標分別是(－1，2)，(3，－5)，求a＋b，a－b，3a，2a＋3b的坐標．【解】a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(－1＋3，2－5)＝(2，－3)；a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－1－3，2＋5)＝(－4，7)平面向量的坐標運算例23a＝3(－1，2)＝(－3，6)；2a＋3b＝2(－1，2)＋3(3，－5)＝(－2，4)＋(9，－15)＝(－2＋9，4－15)＝(7，－11)．向量坐標的應用例3【名師點評】(1)如果兩個向量是相等向量，那么它們的坐標一定對應相等．當平面向量的起點在原點時，平面向量的坐標與表示向量的有向線段終點的坐標相同．(2)證明一個四邊形為平行四邊形，可證明該四邊形的一組對邊所對應的向量相等．變式訓練2.已知向量u＝(x，y)和向量v＝(y，2y－x)的對應關(guān)系用v＝f(u)表示．(1)若a＝(1，1)，b＝(1，0)，試求向量f(a)及f(b)的坐標；(2)求使f(c)＝(4，5)的向量c的坐標．備選例題2.若a＋b＝(－3，－4)，a－b＝(5，2)，則向量a＝________，向量b＝________．解析：a＋b＝(－3，－4)，①a－b＝(5，2)．②答案：(1，－1)

(－4，－3)方法感悟方法技巧1.向量的正交分解是平面向量分解中常見的一種情形，即基底i，j垂直的情況．單位正交基底坐標：i＝(1，0)，j＝(0，1),零向量坐標0＝(0，0).2.向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行．若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則．失誤防范1.點的坐標與向量坐標的聯(lián)系與區(qū)別(1)表示形式不同，向量a＝(x，y)中間用等號連接，而點的坐標A(x，y)中間沒有等號.(2)意義不同,點A(x，y)的坐標(x，y)表示點A在平面直角坐標系中的位置，a＝(x，y)的坐標(x，y)既表示向量的大小,也表示向量的方向,另外(x，y)既可以表示點，也可以表示向量，敘述時應指明點(