隨機(jī)變量的分布函數(shù)及其性質(zhì)_第1頁
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文檔簡介

定理1.（分布函數(shù)的特征性質(zhì)）(1)(非降性)F(x)是單調(diào)非降函數(shù)，即(3)(右連續(xù)性)F(x)右連續(xù)，即(2)(有界性)即F(+

)=1,F(-

)=0.證明（1）（2）

（3）由于F(x)為單調(diào)非降函數(shù)，只須證明對(duì)于一列單調(diào)下降的數(shù)列成立用分布函數(shù)表示概率請(qǐng)?zhí)羁兆?

任一函數(shù)F(x)為分布函數(shù)的充分必要條件為：F(x)滿足上述三條性質(zhì)。注1分布函數(shù)也可定義為應(yīng)改為左連續(xù)性。這樣定義的分布函數(shù)仍滿足性質(zhì)1－3，但性質(zhì)3例F(x),G(x)為兩個(gè)分布函數(shù),為一分布函數(shù)。證明例1設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為

X01２P0.20.50.3（1）求X的分布函數(shù)F(x),并畫出F(x)的圖形；（2）求

二、舉例解

(1)由于X只可能取,0,1,2,故當(dāng)x<0時(shí),當(dāng)0≤x<1時(shí),當(dāng)1≤x<2時(shí),當(dāng)2≤x時(shí),從而歸納上述結(jié)果得或0.20.71滿足分布函數(shù)的三條基本性質(zhì)。一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布律為從圖形上可以看出F(x)的單調(diào)非降右連續(xù)的函數(shù)，Xx1x2…xk…

P

p1p2…pk…

其中表示對(duì)滿足的一切下標(biāo)i求和。稱為單位階梯函數(shù)，也稱為Heavyside函數(shù)。則其分布函數(shù)為值得注意的是,F(x)是(-,+)上的分段階梯函數(shù),開區(qū)間外,其余各段都是左閉右開的區(qū)間.間斷點(diǎn)就是隨機(jī)變量X的取值點(diǎn),除最左邊那段是特別地，若隨機(jī)變量以概率1取常數(shù)，即則稱這個(gè)分布為單點(diǎn)分布或退化分布，它的分布函數(shù)為例2向平面上半徑為1的圓D內(nèi)任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn),以X表示該質(zhì)點(diǎn)到圓心的距離.設(shè)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)落在D中任意小區(qū)域內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)域的面積成正比,試求X的分布函數(shù).解當(dāng)

x<0時(shí),當(dāng)0≤x≤1,可得其中k為比例常數(shù),又因?yàn)镻{0

X1}=1,故k=1.當(dāng)x>1時(shí),綜上所述,X

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