第3章系統(tǒng)的時域分析2

注意：當(dāng)ζ不同時，（極點(diǎn)）有不同的形式，其階躍響應(yīng)的形式也不同。它的階躍響應(yīng)有振蕩和非振蕩兩種情況。特征方程為：特征根為：當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時極點(diǎn)為：一對不等的實(shí)根即特征方程為1、ζ>1式中其單位階躍響應(yīng)為ζ>1稱為過阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為非振蕩過程。階躍響應(yīng)為：極點(diǎn)為：一對相等的實(shí)根稱為臨界阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為非振蕩過程。2、ζ=1階躍響應(yīng)為：極點(diǎn)為：一對實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)根3、0<ζ<1極點(diǎn)的負(fù)實(shí)部決定了指數(shù)衰減的快慢；虛部是振蕩頻率，稱為阻尼振蕩頻率。稱為欠阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為衰減振蕩過程。極點(diǎn)為：特征方程有一對共軛的虛根此時輸出將以頻率ωn做等幅振蕩，稱為零(無)阻尼系統(tǒng)，所以，ωn稱為無阻尼自然振蕩頻率。4、ζ=0上述四種情況分別稱為二階無阻尼、欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼系統(tǒng)。其阻尼系數(shù)、特征根、極點(diǎn)分布和單位階躍響應(yīng)如下表所示：阻尼系數(shù)特征根極點(diǎn)位置單位階躍響應(yīng)一對共軛虛根等幅周期振蕩一對共軛復(fù)根衰減振蕩一對負(fù)實(shí)重根單調(diào)上升兩個互異負(fù)實(shí)根單調(diào)上升隨著ζ的增加，c(t)將從無衰減的周期運(yùn)動變?yōu)橛兴p的正弦運(yùn)動，當(dāng)ζ≥1時c(t)呈現(xiàn)單調(diào)上升運(yùn)動(無振蕩)。可見ζ反映實(shí)際系統(tǒng)的阻尼情況，故稱為阻尼系數(shù)。3.3.2典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)1、衰減振蕩瞬態(tài)過程(0<ζ<1)（1）上升時間tr：根據(jù)定義，當(dāng)t=tr

時，c(tr)=1β稱為阻尼角，這是由于cosβ=ζξ一定時，ωn越大，tr越??；ωn一定時，ξ越大，tr越大。整理得：由于tp出現(xiàn)在第一次峰值時間，取n=1，有：其中（2）峰值時間tp：根據(jù)定義，當(dāng)t=tp

時，（3）最大超調(diào)量δ%將峰值時間代入（4）調(diào)節(jié)時間ts根據(jù)調(diào)節(jié)時間的定義，當(dāng)t≥ts時|c(t)-c(∞)|≤c(∞)×Δ%。可見，寫出調(diào)節(jié)時間的表達(dá)式是困難的。由右圖可知響應(yīng)曲線總在一對包絡(luò)線之內(nèi)。包絡(luò)線為當(dāng)t=t’s時，有：認(rèn)為響應(yīng)曲線的包絡(luò)線進(jìn)入誤差帶時，調(diào)整過程結(jié)束。當(dāng)ζ較小時，近似取：，則（5）振蕩次數(shù)N由分析知，在ζ=0.4~0.8之間，調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量都較小。工程上常取作為設(shè)計(jì)依據(jù)，稱為最佳阻尼常數(shù)。這是一個單調(diào)上升的過程。用調(diào)整時間ts就可以描述瞬態(tài)過程的性能。（1）對于ζ=1，極點(diǎn)為：2、非振蕩瞬態(tài)過程在c(t)中，有兩個衰減指數(shù)項(xiàng)，所以是一個單調(diào)上升的過程。用調(diào)整時間ts描述瞬態(tài)過程的性能。（2）對于ζ>1，極點(diǎn)為：式中即特征方程為當(dāng)ζ=1時，系統(tǒng)也具有單調(diào)非振蕩的瞬間過程，是單調(diào)非振蕩的臨界狀態(tài)。在非振蕩過程中，它的ts最小。當(dāng)ζ>>1時，c(t)中包含極點(diǎn)

的衰減項(xiàng)的系數(shù)小，所以由極點(diǎn)s2引起的指數(shù)項(xiàng)衰減的很快，因此，在瞬態(tài)過程中可以忽略s2的影響，把二階系統(tǒng)近似為一階系統(tǒng)。

阻尼系數(shù)ζ是二階系統(tǒng)的一個重要參數(shù)，用它可以間接地判斷一個二階系統(tǒng)的瞬態(tài)品質(zhì)。在ζ>1的情況下瞬態(tài)特性為單調(diào)變化曲線，無超調(diào)和振蕩，但ts長。當(dāng)ζ≤0時，輸出量作等幅振蕩或發(fā)散振蕩，系統(tǒng)不能穩(wěn)定工作。小結(jié)通常，都希望控制系統(tǒng)有較快的響應(yīng)時間，即希望系統(tǒng)的阻尼系數(shù)在0～1之間。而不希望處于過阻尼情況，因?yàn)檎{(diào)節(jié)時間過長。但對于一些特殊的系統(tǒng)不希望出現(xiàn)超調(diào)系統(tǒng)（如液位控制）和大慣性系統(tǒng)（如加熱裝置），則可以處于過阻尼情況。在欠阻尼(0<ζ<1)情況下工作時，若ζ過小，則超調(diào)量大，振蕩次數(shù)多，調(diào)節(jié)時間長，瞬態(tài)控制品質(zhì)差。注意到，只與ζ有關(guān)，所以一般先根據(jù)ζ來選擇。越大，ts↓（由超調(diào)量確定ζ后）為了限制超調(diào)量，并使ts較短，ζ一般取0.4～0.8，則超調(diào)量在25%～1.5%之間。最佳阻尼常數(shù)ζ=0.707，超調(diào)量=4.3%例：求系統(tǒng)的特征參數(shù)ζ，ωn并分析與性能指標(biāo)的關(guān)系：解：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：K↑時，T↑時，瞬態(tài)性能指標(biāo)和系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系（假設(shè)0<ζ<1）快速性好，振蕩加劇例：試分析：1）單位階躍輸入時，該系統(tǒng)能否正常工作？

2）若要求

=0.707，系統(tǒng)應(yīng)作如何改進(jìn)？

=0

無阻尼，等幅不衰減振蕩工作不正常解：3.3.3改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施二階系統(tǒng)超調(diào)產(chǎn)生原因（1）[0,t1]正向修正作用太大，特別在靠近t1點(diǎn)時。（2）[t1,t2]反向修正作用不足。減小二階系統(tǒng)超調(diào)的思路（1）[0,t1]減小正向修正作用。附加與原誤差信號相反的信號。（2）[t1,t2]加大反向修正作用。附加與原誤差信號同向的信號。（3）[t2,t3]減小反向修正作用。附加與原誤差信號相反的信號。（4）[t3,t4]加大正向修正作用。附加與原誤差信號同向的信號。為了改善系統(tǒng)性能而改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)或附加具有一定功能的環(huán)節(jié)的方法稱為對系統(tǒng)進(jìn)行校正。附加環(huán)節(jié)稱為校正環(huán)節(jié)。速度反饋和速度順饋是較常用的校正方法。誤差的比例+微分控制：以誤差信號e(t)與誤差信號的微分信號e’(t)的和產(chǎn)生控制作用。簡稱PI控制。又稱微分順饋輸出量的微分負(fù)反饋控制：將輸出量的速度信號c’(t)采用負(fù)反饋形式反饋到輸入端并與誤差信號e(t)比較，構(gòu)成一個內(nèi)反饋回路。又稱速度反饋。1、輸出量的微分負(fù)反饋控制（速度反饋）---與典型二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式比較（1）不改變無阻尼振蕩頻率ωn（2）等效阻尼系數(shù)為由于，即等效阻尼系數(shù)加大，將使超調(diào)量δ%和調(diào)節(jié)時間ts變小。+-2、誤差的比例+微分控制-與標(biāo)準(zhǔn)形式比較（2）等效阻尼系數(shù)為由于，即等效阻尼系數(shù)加大，將使超調(diào)量δ%和調(diào)節(jié)時間ts變小。（