高三數(shù)學(xué)-命題及其關(guān)系充分條件與必要條件

第二節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件1.理解命題的概念.2.了解“若p,則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系.3.理解必要條件、充分條件與充要條件的意義.

1.本部分主要考查四種命題的概念及其相互關(guān)系，考查充分條件、必要條件、充要條件的概念及應(yīng)用；2.題型主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).常與集合、幾何等知識(shí)相結(jié)合命題；3.本部分知識(shí)具有較強(qiáng)的工具性，單獨(dú)考查的機(jī)會(huì)不多.

命題及其關(guān)系高考指數(shù):★★★1.(2012·重慶高考)命題“若p則q”的逆命題是()(A)若q則p(B)若﹁p則﹁q(C)若﹁q則﹁p

(D)若p則﹁q【解析】選A.由命題的四種形式可知,A項(xiàng)是命題的逆命題,B項(xiàng)是命題的否命題,C項(xiàng)是命題的逆否命題,D項(xiàng)是命題的否定.2.(2010·遼寧高考)已知a＞0，函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，若x0滿足關(guān)于x的方程2ax+b=0，則下列選項(xiàng)的命題中為假命題的是

()(A)x∈R,f(x)≤f(x0)(B)x∈R,f(x)≥f(x0)(C)x∈R,f(x)≤f(x0)(D)x∈R,f(x)≥f(x0)【解析】選C.由x0滿足方程2ax+b=0，可得∵a＞0,∴f(x0)=f是二次函數(shù)f(x)的最小值，可判定D選項(xiàng)是真命題，C選項(xiàng)是假命題；存在x=x0時(shí)，f(x)=f(x0)，可判定A、B選項(xiàng)為真命題，故選C.3.(2011·四川高考)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳,若x1,x2∈A，且f(x1)=f(x2)時(shí)總有x1=x2，則稱f(x)為單函數(shù).例如f(x)=2x+1(x∈R)是單函數(shù)，下列命題：①函數(shù)f(x)=x2(x∈R)是單函數(shù)；②指數(shù)函數(shù)f(x)=2x(x∈R)是單函數(shù)；③若f(x)為單函數(shù)，x1，x2∈A且x1≠x2，則f(x1)≠f(x2)；④在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)一定是單函數(shù).其中的真命題是_____(寫出所有真命題的編號(hào)).【解題指南】單函數(shù)的定義實(shí)質(zhì)是唯一的函數(shù)值對(duì)應(yīng)唯一的自變量，也即函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù).【解析】

選項(xiàng)具體分析結(jié)論①(方法一)由x2=4可得x1=2,x2=-2，則x1≠x2不合定義(方法二)f(x)=x2(x∈R)在(-∞,0)上為減函數(shù)，在［0,+∞)上為增函數(shù)，故在定義域內(nèi)不是單函數(shù).假命題選項(xiàng)具體分析結(jié)論②符合唯一的函數(shù)值對(duì)應(yīng)唯一的自變量.真命題③“若x1,x2∈A且x1≠x2，f(x1)≠f(x2)”是“若x1,x2∈A且f(x1)=f(x2)時(shí)總有x1=x2”的逆否命題，互為逆否命題的兩個(gè)命題等價(jià).原命題為真，故逆否命題為真.真命題④符合單函數(shù)的定義，f(x1)=f(x2)時(shí)總有x1=x2.真命題答案：②③④

充分與必要條件的判定高考指數(shù):★★★★★4.(2012·浙江高考)設(shè)a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax+2y-1=0與直線l2：x+2y+4=0平行”的()(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充分必要條件

(D)既不充分也不必要條件【解析】選C.“a＝1”是“直線l1：ax+2y-1=0與直線l2：x+2y+4=0平行”的充要條件.由解得a=15.(2012·上海高考)對(duì)于常數(shù)m，n,“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲線是橢圓”的()(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件【解析】選B. 選項(xiàng)具體分析結(jié)論Am=1且n=1時(shí)方程表示圓，不成立×B符合題意√Cm=1且n=1時(shí)方程表示圓，不成立 ×Dm=1且n=2時(shí)方程表示橢圓，此時(shí)mn>0，必要性成立，所以既不充分也不必要條件不對(duì)×6.(2012·四川高考)設(shè)a，b都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使成立的充分條件是()(A)|a|=|b|且a∥b(B)a=-b(C)a∥b(D)a=2b【解析】選D.表示與a同向的單位向量，表示與b同向的單位向量，僅a與b方向相同，有當(dāng)a=2b時(shí)，a與b方向相同，故選D.

7.(2011·天津高考)設(shè)集合A={x∈R|x-2>0}，B={x∈R|x<0}，C={x∈R|x(x-2)>0}，則“x∈A∪B”是“x∈C”的()(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件【解題指南】求出集合C及集合A與B的并集再判斷.【解析】選C.集合C是{x|x<0或x>2}，∵A∪B={x|x<0或x>2}，∴A∪B=C.

8.(2011·四川高考)“x=3”是“x2=9”的()(A)充分而不必要的條件(B)必要而不充分的條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要的條件【解題指南】先由條件推結(jié)論，再由結(jié)論推條件.【解析】選A.x=3?x2=9;x2=9

x=3.故“x=3”是“x2=9”的充分而不必要條件.故選A.

9.(2010·廣東高考)“x＞0”是“＞0”成立的()(A)充分非必要條件(B)必要非充分條件(C)非充分非必要條件

(D)充要條件【解析】選A.“x＞0”?“

＞0”；而“＞0”不一定得到“x＞0”，故選A.【方法技巧】判斷充分條件、必要條件的技巧設(shè)A、B為任意兩個(gè)命題(1)若說(shuō)明A?B,應(yīng)對(duì)任意的情況均成立(2)若說(shuō)明A

B，只舉一個(gè)反例即可(3)若直接說(shuō)明A?B不易時(shí)，可說(shuō)明﹁B?﹁A.10.(2010·陜西高考)“a＞0”是“|a|＞0”的()(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件【解析】選A.因?yàn)椤癮＞0”?“|a|＞0”，但是“|a|＞0”?“a＞0或a＜0”，所以“|a|＞0”推不出“a＞0”，故“a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要條件，故選A.

11.(2010·福建高考)若向量a=(x,3)(x∈R),則“x=4”是“|a|=5”的()(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充要條件(D)既不充分又不必要條件【解析】選A.∵|a|=5,∴=5,∴x=±4,∴x=4?|a|=5,|a|=5x=4,所以“x=4”是“|a|=5”的充分而不必要條件.

命題及其關(guān)系【典例1】(2012·湖南高考)命題“若α=則tanα=1”的逆否命題是()(A)若α≠則tanα≠1(B)若α=則tanα≠1(C)若tanα≠1,則α≠

(D)若tanα≠1,則α=【解題視角】由題目獲取已知信息并分析如下：(1)已知信息：①已知原命題“若α=則tanα=1”;②求逆否命題.(2)信息分析：①原命題的條件為α=其否定為α≠②原命題的結(jié)論為tanα=1，其否定為tanα≠1；③寫原命題的逆否命題時(shí)，把原命題的結(jié)論的否定作條件，條件的否定作結(jié)論即可.【規(guī)范解答】選C.原命題的逆否命題是“若tanα≠1,則α≠

”，故選C.【命題人揭秘】命題規(guī)律：縱觀歷年來(lái)高考試題，該高頻考點(diǎn)的考查內(nèi)容主要有：(1)四種命題的有關(guān)概念；(2)命題真假的判斷；(3)由已知命題一種形式寫出命題其他三種形式；考查邏輯推理能力和判斷能力.一般都以選擇、填空題的形式考查,多為低檔的題目.備考策略：1.熟練掌握四種命題的概念.2.掌握把已知命題改寫成“若p,則q”的形式的方法.3.掌握四種命題的等價(jià)關(guān)系，會(huì)判斷命題的真假.4.練習(xí)以低中檔的題為主，不易過難.

充分、必要條件的判定【典例2】(2011·湖南高考)“x>1”是“|x|>1”的()(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充分必要條件

(D)既不充分又不必要條件【解題視角】由題目獲取已知信息并分析如下：(1)已知信息：①已知x∈R；②判斷x>1是|x|>1的什么條件.(2)信息分析：①|(zhì)x|>1?x>1或x<-1

x>1；②x>1?|x|>1.

【解題流程】選A.【延伸探究】“|x|>1”成立的充要條件是_____.【解析】|x|>1?x>1或x<-1,所以|x|>1成立的充要條件是x>1或x<-1.答案：x>1或x<-1【命題人揭秘】命題規(guī)律：縱觀歷年來(lái)高考試題，該高頻考點(diǎn)的考查內(nèi)容主要有：(1)充分條件，必要條件，充分必要條件的定義；(2)充分條件、必要條件的判斷方法；(3)充分、必要條件的綜合應(yīng)用；常以方程、不等式、函數(shù)等代數(shù)知識(shí)及幾何知識(shí)為載體考查，從能力上主要考查推理判斷能力和論證能力.備考策略：1.能深刻理解并熟練掌握充分、必要條件的定義.2.掌握充分、必要條件的判斷方法.3.充分、必要條件經(jīng)常應(yīng)用于集合、函數(shù)、數(shù)列、幾何等知識(shí)，關(guān)注在這些知識(shí)點(diǎn)上的應(yīng)用類型和應(yīng)用方法.

審題不細(xì)造成失誤【典例3】(2011·陜西高考)設(shè)n∈N*，一元二次方程x2-4x+n=0有整數(shù)根的充要條件是n=_____.【解題視角】由題目獲取已知信息并分析如下：(1)已知信息：①一元二次方程x2-4x+n=0，n∈N*;②二次方程有整數(shù)根.(2)信息分析：①由求根公式寫出方程的根；②分析根為整數(shù)需要的條件，確定n的值.【規(guī)范解答】因?yàn)閤是整數(shù)，即2±

為整數(shù)，所以為整數(shù)，且n≤4，又因?yàn)閚∈N*，取n=1,2,3,4，驗(yàn)證可知n=3,4符合題意；反之由n=3,4，可推出一元二次方程x2-4x+n=0有整數(shù)根．答案：3或4【閱卷人點(diǎn)撥】誤區(qū)警示1.審題不細(xì)致，不能準(zhǔn)確把握“整數(shù)”的要求；2.忽視“充要條件”的條件限制;3.忽視n是不等于0的自然數(shù);4.計(jì)算、化簡(jiǎn)整理能力差，計(jì)算錯(cuò)誤，導(dǎo)致結(jié)果不正確.備考策略1.規(guī)范審題過程，讀題要細(xì)心，邊讀題邊把題目信息一一列出.2.做題時(shí)不要急于寫出解答，要將讀題所得信息逐一分析后，確定出正確的解題思路，然后再作答.3.通過正規(guī)訓(xùn)練，提高解題能力.

命題的概念、分類與一般形式用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題，其中判斷為真的語(yǔ)句叫做真命題，判斷為假的語(yǔ)句叫做假命題.命題結(jié)構(gòu)：命題均可化為“若p，則q”的形式，p為命題的條件，q為命題的結(jié)論.【考點(diǎn)突破區(qū)】【狀元心得】?jī)牲c(diǎn)注意(1)并不是任何陳述句都是命題，只有能判斷真假的陳述句才是命題.(2)一般說(shuō)來(lái)，疑問句、祈使句、感嘆句，都不是命題.

四種命題及其關(guān)系1.四種命題間的相互關(guān)系2.四種命題的真假關(guān)系(1)兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；(2)兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系.(3)四種命題中真命題一定是偶數(shù)個(gè).【狀元心得】1.等價(jià)關(guān)系的應(yīng)用可以利用等價(jià)關(guān)系判斷命題的真假，要判斷原命題真假，可判斷其逆否命題的真假，要判斷原命題的逆命題的真假，可以判斷原命題的否命題的真假.2.兩個(gè)提醒(1)明確“條件”與“結(jié)論”：“若p，則q”的形式是命題的基本形式，在命題變換時(shí)，可先化為“若p，則q”的形式，明確“條件”與“結(jié)論”.(2)審清“否命題”與“命題的否定”.

充分條件、必要條件與充要條件1.“若p,則q”為真命題，記p?q,則p是q的充分條件，q是p的必要條件.2.如果既有p?q，又有q?p，記作:p?q，則p是q的充要條件，q也是p的充要條件.3.命題與充要條件的關(guān)系，原命題“若p則q”，逆命題“若q則p”原命題逆命題p、q的關(guān)系真(p?q)假(qp)p是q的充分不必要條件q是p的必要不充分條件假(pq)真(q?p)p是q的必要不充分條件q是p的充分不必要條件真(p?q)真(q?p)p與q互為充要條件假(p

q)假(qp)p是q的既不充分也不必要條件q是p的既不充分也不必要條件【狀元心得】判定充分條件、必要條件、充要條件的三種方法(1)定義法①分清條件和結(jié)論：分清哪個(gè)是條件，哪個(gè)是結(jié)論；②找推式：判斷“p?q”及“q?p”的真假；③下結(jié)論：根據(jù)推式及定義下結(jié)論.(2)等價(jià)轉(zhuǎn)化法條件和結(jié)論若有否定性詞語(yǔ)的命題，常轉(zhuǎn)化為其逆否命題來(lái)判斷.(3)集合法記法p對(duì)應(yīng)集合A={x|p(x)},q對(duì)應(yīng)集合B={x|q(x)}關(guān)系A(chǔ)BBAA=BAB且BA結(jié)論p是q的充分不必要條件p是q的必要不充分條件p是q的充要條件p是q的既不充分也不必要條件

否命題與命題的否定理解不透致誤否命題與命題的否定不是同一個(gè)概念，否命題是相對(duì)于原命題“若p則q”的,既要否定條件p,也要否定結(jié)論q,而命題的否定，是對(duì)某一命題p進(jìn)行否定，即求非p,是對(duì)命題的全盤否定.【示例】寫出命題“若a2+b2+c2+d2=0，則實(shí)數(shù)a,b,c,d全為零”的否命題.【易錯(cuò)易混區(qū)】【錯(cuò)解1】原命題的否命題是“若a2+b2+c2+d2=0，則實(shí)數(shù)a,b,c,d不全為零”.【錯(cuò)解2】原命題的否命題是“若a2+b2+c2+d2≠0，則實(shí)數(shù)a,b,c,d