固體的能帶理論習(xí)題

第五章固體的能帶理論1?布洛赫電子論作了哪些基本近似？它與金屬自由電子論相比有哪些改進(jìn)？解：布洛赫電子論作了 3條基本假設(shè)，即①絕熱近似，認(rèn)為離子實固定在其瞬時位置上，可把電子的運動與離子實的運動分開來處理； ②單電子近似，認(rèn)為一個電子在離子實和其它電子所形成的勢場中運動； ③周期場近似，假設(shè)所有電子及離子實產(chǎn)生的場都具有晶格周期性。布洛赫電子論相比于金屬自由電子論， 考慮了電子和離子實之間的相互作用， 也考慮了電子與電子的相互作用。2?周期場對能帶形成是必要條件嗎？解：周期場對能帶的形成是必要條件，這是由于在周期場中運動的電子的波函數(shù)是一個周期性調(diào)幅的平面波，即是一個布洛赫波。由此使能量本征值也稱為波矢的周期函數(shù)， 從而形成了一系列的能帶。3?—個能帶有N個準(zhǔn)連續(xù)能級的物理原因是什么？解：這是由于晶體中含有的總原胞數(shù)N通常都是很大的，所以k的取值是十分密集的，相應(yīng)的能級也同樣十分密集，因而便形成了準(zhǔn)連續(xù)的能級。4?禁帶形成的原因如何？您能否用一物理圖像來描述？解：對于在倒格矢Kh中垂面及其附近的波矢k，即布里淵區(qū)界面附近的波矢k，由于采用簡并微擾計算，致使能級間產(chǎn)生排斥作用，從而使E(k)函數(shù)在布里淵區(qū)界面處“斷開”，即發(fā)生突變，從而產(chǎn)生了禁帶?？梢杂孟旅娴膱D5.1來描述禁帶形成的原因:

5?近自由電子模型與緊束縛模型各有何特點？它們有相同之處?解：所謂近自由電子模型就是認(rèn)為電子接近于自由電子狀態(tài)的情況，而緊束縛模型則認(rèn)為電子在一個原子附近時，將主要受到該原子場的作用，把其它原子場的作用看成微擾作用。這兩種模型的相同之處是： 選取一個適當(dāng)?shù)木哂姓恍院屯陚湫缘牟悸搴詹ㄐ问降暮瘮?shù)集，然后將電子的波函數(shù)在所選取的函數(shù)集中展開， 其展開式中有一組特定的展開系數(shù)， 將展開后的電子的波函數(shù)代入薛定諤方程， 利用函數(shù)集中各基函數(shù)間的正交性， 可以得到一組各展開系數(shù)滿足的久期方程。這個久期方程組是一組齊次方程組， 由齊次方程組有解條件可求出電子能量的本征值，由此便揭示出了系統(tǒng)中電子的能帶結(jié)構(gòu)。6?布洛赫電子的費米面與哪些因素有關(guān)？確定費米面有何重要性？解：布洛赫電子的費米面與晶體的種類及其電子數(shù)目有關(guān)。由于晶體的很多物理過程主要是由費米面附近的電子行為決定的， 如導(dǎo)電、導(dǎo)熱等，所以確定費米面對研究晶體的物理性質(zhì)及預(yù)測晶體的物理行為都有很重要的作用。7?試述晶體中的電子作準(zhǔn)經(jīng)典運動的條件和準(zhǔn)經(jīng)典運動的基本公式。解：在實際問題中，只有當(dāng)波包的尺寸遠(yuǎn)大于原胞的尺寸，才能把晶體中的電子看做準(zhǔn)經(jīng)典粒子。準(zhǔn)經(jīng)典運動的基本公式有：1vkE(1vkE(k)；dkF二dt1 1；：2E(k)m] 2::k.：k\晶體電子的速度為晶體電子受到的外力為晶體電子的倒有效質(zhì)量張量為在外加電磁場作用下，晶體電子的狀態(tài)變化滿足:dk e“水一.(EvB)-(EvB)dt m8?試述有效質(zhì)量、空穴的意義。引入它們有何用處？解：有效質(zhì)量實際上是包含了晶體周期勢場作用的電子質(zhì)量，它的引入使得晶體中電子準(zhǔn)經(jīng)典運動的加速度與外力直接聯(lián)系起來了， 就像經(jīng)典力學(xué)中牛頓第二定律一樣， 這樣便于我們處理外力作用下晶體電子的動力學(xué)問題。當(dāng)滿帶頂附近有空狀態(tài)k時，整個能帶中的電流，以及電流在外電磁場作用下的變化，完全如同存在一個帶正電荷 q和具有正質(zhì)量 m*、速度v(k)的粒子的情況一樣，這樣一個假想的粒子稱為空穴?？昭ǖ囊胧沟脻M帶頂附近缺少一些電子的問題和導(dǎo)帶底有少數(shù)電子的問題十分相似，給我們研究半導(dǎo)體和某些金屬的導(dǎo)電性能帶來了很大的方便。試述導(dǎo)體、半導(dǎo)體和絕緣體能帶結(jié)構(gòu)的基本特征。解：在導(dǎo)體中，除去完全充滿的一系列能帶外，還有只是部分地被電子填充的能帶，后者可以起導(dǎo)電作用，稱為導(dǎo)帶。在半導(dǎo)體中，由于存在一定的雜質(zhì)，或由于熱激發(fā)使導(dǎo)帶中存有少數(shù)電子，或滿帶中缺了少數(shù)電子，從而導(dǎo)致一定的導(dǎo)電性。在絕緣體中，電子恰好填滿了最低的一系列能帶，再高的各帶全部都是空的，由于滿帶不產(chǎn)生電流，所以盡管存在很多電子，并不導(dǎo)電。說明德?哈斯-范?阿爾芬效應(yīng)的基本原理及主要應(yīng)用。解：在低溫下強磁場中，晶體的磁化率、電導(dǎo)率、比熱容等物理量隨磁場變化而呈現(xiàn)出振蕩的現(xiàn)象，稱為德?哈斯一范?阿爾芬效應(yīng)。由于德?哈斯一范?阿爾芬效應(yīng)同金屬費米面附近電子在強磁場中的行為有關(guān)，因而同金屬費米面結(jié)構(gòu)密切相關(guān)， 所以德?哈斯-范?阿爾芬效應(yīng)成為人們研究費米面的有力工具。一維周期場中電子的波函數(shù) k(x)應(yīng)當(dāng)滿足布洛赫定理。若晶格常數(shù)為 a，電子的波函數(shù)為… 兀k(x)二sin—x；a3下k(x)=icos——x；aQO■-：k(x)=vf(x-ia)(其中f為某個確定的函數(shù))。i試求電子在這些狀態(tài)的波矢。解：布洛赫函數(shù)可寫成k(x)=eikxuk(x),其中，uk(x?a)=uk(x)或?qū)懗?■k(xa)=e^-\(x)k(xa)=sin―二--sin△二_-'-k(x)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"a a\o"CurrentDocument"故 eika=-1 k=-a呂兀1 匹屮k(x)=ea|easilx)=eauk(x)-a一顯然有 uk(x-a)二uk(x)故tk(x)二sin—X的波矢是一。TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"a ak(xa)=icos—■:--icos3^ -k(x)\o"CurrentDocument"a a所以 e^--1 k=-a\o"CurrentDocument"i兀|-+5x 3xI i^x即k(x)=ea|eaicoh兀i=eauk(x)-a一顯然有 uk(x-a)二uk(x)

TOC\o"1-5"\h\z3"JT J!故k(x)=icos■x的波矢一。\o"CurrentDocument"a a(3)'-\(xa)=f(xa_ia)=f[x一(i_1)a]-\f(x一ma)\(x)i i--：： m-.：：故 eika-1 k=0i0x-eUk(x)-k(x)二i0x-eUk(x)_i-oC故'-：k(x)=7f(x-ia)的波矢為0。i=joO要說明的是，上述所確定的波矢k并不是唯一的，這些k值加上任一倒格矢都是所需的解。因為k空間中相差任一倒格矢的兩個 k值所描述的狀態(tài)是一樣的。已知電子在周期場中的勢能為AU(x)=—m①2[b2—(x—na)2],當(dāng)na—b蘭x蘭na+b時I 2U(x)=0,當(dāng)(n-1)ab乞x乞na-b時JU(x)dxU=bU(x)dxb1一-mJU(x)dxU=bU(x)dxb1一-m■2(b2_x2)dx-b2-bodxbdxAb4b=-m2b26(2)根據(jù)近自由電子模型，此晶體的第1及第2個禁帶寬度為心巳=26 AE2=2U2其中U1和U2表示周期場U(x)的展開成傅立葉級數(shù)的第一和第二個傅立葉系數(shù)。于是有U1b4bJ」211222p”2)d=4m■2b2U24bJ咗1m.22(b2-2)d二m-2b2故此晶體的第1及第2個禁帶寬度為AE^2U1228m■b"2=2U2m-2b2已知一維晶體的電子能帶可寫成:一2E(k)=一2E(k)=2ma7(coskacos2ka)。8式中a是晶格常數(shù)。試求（1） 能帶的寬度；（2） 電子在波矢k的狀態(tài)時的速度；（3） 能帶底部和頂部電子的有效質(zhì)量。解：（1）在能帶底k=0處，電子能量為E(0)=03T在能帶頂k=—處，電子能量為aTOC\o"1-5"\h\z兀 2衣2E（—） 2ama故能帶寬度為=E二E（—）-E（0）乙\o"CurrentDocument"a ma（2）電子在波矢k的狀態(tài)時的速度為v(k)S衣dk1v(k)S衣dk\o"CurrentDocument"(sinkasin2ka)ma 4（3）電子的有效質(zhì)量為coskacos2ka2于是有在能帶底部電子的有效質(zhì)量為 m；=2m*2在能帶頂部電子的有效質(zhì)量為 m2 m314?平面正六角形晶格（見圖 5.30），六角形2個對邊的間距是a，其基矢為

a￡i—aj；22ajaj倒格子基矢；畫出此晶體的第一、二、三布里淵區(qū)；計算第一、二、三布里淵區(qū)的體積多大?r\|/j\E_O圖5.30a2\ /aia2xr\|/j\E_O圖5.30a2\ /aia2xa32二a1 (a2a3)aa3a12二=2二=2二ai(a2 a3)1(iJa(一i(2)此晶體的第一、二、三布里淵區(qū)如下圖 5.2所示:廣.——第二布里淵區(qū)E3 第三布里淵區(qū)圖5.2平面正六邊形晶格的布里淵區(qū)示意圖(3)由于各個布里淵區(qū)的體積都相等，且等于倒格子原胞的體積，所以第布里淵區(qū)的體積為y=V2=V3 b1(b2k)2二1 2二 13a2書(iJ)[，TJ)k]

3a215.證明正方格子第一布里淵區(qū)的角隅處的一個自由電子的動能，比該區(qū)側(cè)面中點處的電子動能大1倍。對三維簡單立方晶格，其相應(yīng)的倍數(shù)是多少？解：設(shè)正方格子的晶胞參數(shù)為a，則其相應(yīng)的倒格子也為一正方格子， 并且其倒格子基2TT矢大小為—，由此可知位于該正方格子第一布里淵區(qū)角隅處的自由電子的波矢大小為aki而位于該區(qū)側(cè)面中點處的電子的波矢大小為k2ki而位于該區(qū)側(cè)面中點處的電子的波矢大小為k2又由自由電子動能與其波矢的關(guān)系式E—工可知，正方格子第一布里淵區(qū)角隅處2m的自由電子的動能大小為-2_.2的自由電子的動能大小為E&=—亍，而位于該區(qū)側(cè)面中點處的電子的動能大小為maEk2 2，顯然有Eki=2Ek2。2ma由此證得正方格子第一布里淵區(qū)的角隅處的一個自由電子的動能， 比該區(qū)側(cè)面中點處的電子動能大1倍。對三維簡單立方晶格，由相同的方法可以同樣證得其相應(yīng)的倍數(shù)為 3。16.設(shè)kF表示自由電子的費米波矢， km表示空間中從原點到第一布里淵區(qū)邊界的最小距離，求具有體心立方和面心立方結(jié)構(gòu)的一價金屬的比值 kF/km。解：對于體心立方結(jié)構(gòu)的一價金屬，其自由電子的費米波矢為3 1/3 3 1/3 2 1/3kFf)(孑)8■:—，故kF/km=(^)1/3a 2二對于面心立方結(jié)構(gòu)的一價金屬，其自由電子的費米波矢為kFW，3\3■:，故kF/kma17.一矩形晶格，原胞邊長a=21O，0m，b=41O‘°m。(1)畫出倒格子圖；(2)畫出第一布里淵區(qū)和第二布里淵區(qū);(3)畫出自由電子的費米面。解：由題意可取該矩形晶格的原胞基矢為a1解：由題意可取該矩形晶格的原胞基矢為a1=ai，a2二bj，由此可求得其倒格子基矢2h為bi i=3.141010i,b2=1.571010j,由此可做出此矩形晶格的倒格子圖如下圖a5.3所示：10-1 1.57X10m* ? ? * ?k ■巾2b1tef-4hh Jd*Ob Tt 1l 1\ <> It圖5.3矩形晶格的倒格子（2）該矩形晶格的第一布里淵區(qū)和第二布里淵區(qū)如下圖 5.4所示:圖5.4矩形晶格的第一和第二布里淵區(qū)（3）設(shè)該二維矩形晶格晶體含有 N個電子，由于費米面是k空間占有電子與不占有電子區(qū)域的分界面，所以有下式成立由此得2（2由此得2（2二）■kFN上式中n 為該二維晶格晶體的電子密度。S于是可求得該二維晶格晶體的費米面的半徑為kF—、23.14(一)1/2=0.89101°mJ

810，由此可做出自由電子的費米面如下圖 5.5中圓面所示：圖5.5二維矩形晶格的費米面圓18.證明：應(yīng)用緊束縛方法，對于一維單原子鏈，如只計及最近鄰原子間的相互作用，其 s態(tài)電子的能帶為E(k)=Emin4Jsin2(ka/2)。式中：Emin為能帶底部的能量； J為交疊積分。并求能帶的寬度及能帶頂部和底部電子的有效質(zhì)量。解：設(shè)S態(tài)的原子能級為；s，當(dāng)只計及最近鄰格點的相互作用時，則用緊束縛方法可求得該一維單原子鏈的s態(tài)電子能量為_ kRE(k)=；s-J。-'J(Rs)eRRs室鄰上式中J。=—^(9|2[u(9—v(9]d&0,J(Rs) Rs)[U(3-V( 0(其中U(E)表示晶體中的周期性勢場，也即各格點原子勢場之和。 V(E)為某格點的原子勢場)由于s態(tài)波函數(shù)是球形對稱的，因而在各個方向重疊積分相同。在一維單原子鏈中，每個原子周圍有 2個近鄰格點，其格矢分別為ai和-ai，由此可知一維單原子鏈的s態(tài)電子能量可化為：E(k)二；s-J0-J(e^aeka)二；s-J0-2Jcoska

2-；s-J。一2J4Jsin(ka/2)上式中J二J(ai)二J(-ai)二-■■(E-ai)[U(3-V(刖1(Qdr0由此可知，當(dāng)k=0時，即能帶底的能量為Emin=.；：s-J0_2J；當(dāng)k=—,即能帶a頂?shù)哪芰繛镋max二；s-J0 2J于是可證得一維單原子鏈的 s態(tài)電子能量為2E(k)二Emin 4Jsin(ka/2)并且還可得能帶寬度為 E=Emax一Emin二4J由此還可求得有效質(zhì)量d2Edk2由此還可求得有效質(zhì)量d2Edk2護(hù)2a2Jcoska于是可求得能帶頂部的電子有效質(zhì)量■22a2J能帶底部的電子有效質(zhì)量 m*二m*(0) :-2a2J19?設(shè)二維正三角形晶格中原子間距為 a，試根據(jù)緊束縛近似的結(jié)果，求出能帶E(k)的表達(dá)式，并求出相應(yīng)的電子速度v(k)和有效質(zhì)量的各個分量m,。解：當(dāng)只計及最近鄰格點的相互作用時， 根據(jù)緊束縛近似可得該晶格由原子 s態(tài)的形成的能帶表達(dá)式為E(k)二；s-J。-'J(Rs)e，Rs (1)R莎鄰s2上式中j。二-,9[u(q-v(Q]dr0,J(Rs) ；(rRs)[U(9-V(9]i(9dE0(其中U(9表示晶體中的周期性勢場，也即各格點原子勢場之和。 V(9為某格點的原子勢場)在此二維晶格中，取原點為參考點，則其六個近鄰格點坐標(biāo)值為(a,(a,0) (一a,0)-a)(丄，2)(丄a，-企)2222把近鄰格式Rs代入(1)式，并考慮到s態(tài)波函數(shù)的球?qū)ΨQ性可得:

1 3 1 3 1 3 1 3_.akx aky akx aky _.akx aky akxakyE(k)=；s-Jo-J1(1 3 1 3 1 3 1 3_.akx aky akx aky _.akx aky akxakyE(k)=；s-Jo-J1(e』kx eakx e2 2 e2 2e2 2e2 2 )<3 1 <3=；s-Jo-2Ji[cosakxcos(-akx aky)cos(-akx aky)] ……(2)2 2 2上式中Ji表示原點所處格點與任一最近鄰格點的波函數(shù)的重疊積分的負(fù)值，并有Ji：■0。由此可知相應(yīng)的電子速度為1v(k)一kE(k)2Jia[(sjnakxsin-akxcos三aky)iC3cos-akxsin3aky)j]矗 2 2 2 2選取kx,ky軸沿張量主軸方向，則有 mxy二myx=o，而m*=/i2/主2來X■22 ii 432J1a(cosakx cos?akxcos aky)m*yS2/卑泳2■23J1a2cos-akxcos-^aky2220.用緊束縛方法處理面心立方的s態(tài)電子，若只計及最近鄰相互作用,試導(dǎo)出其能帶為E(k)=Eo-A4J(cosk^^coskya2cos?cos空222cos蟲cos^)22并求能帶底部電子的有效質(zhì)量。解：當(dāng)只計及最近鄰格點的相互作用時,用緊束縛近似方法處理晶體的s態(tài)電子，其能帶E(k)的表達(dá)式可寫為E(k)=Eo_A、s—JeRs塹鄰-kRs上式中Eo ,A=—!pi(E)2[U(a—V(Q]d^0,j=.;:*(ers)[u(a-v(?]「i(?di：o(其中u(9表示晶體中的周期性勢場，也即各格點原子勢場之和；V(E)為最近鄰格點的原子勢場； Rs為最近鄰格點的位矢)。對面心立方晶