“雙勾函數(shù)”的性質(zhì)及應(yīng)用

./"雙勾函數(shù)"的性質(zhì)及應(yīng)用問題引入：求函數(shù)的最小值．問題分析：將問題采用分離常數(shù)法處理得,,此時如果利用均值不等式,即,等式成立的條件為,而顯然無實數(shù)解,所以""不成立,因而最小值不是,遇到這種問題應(yīng)如何處理呢？這種形式的函數(shù)又具有何特征呢？是否與我們所熟知的函數(shù)具有相似的性質(zhì)呢?帶著種種疑問,我們來探究一下這種特殊類型函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)．一、利用"二次函數(shù)"的性質(zhì)研究"雙勾函數(shù)"的性質(zhì)1．"雙勾函數(shù)"的定義我們把形如〔為常數(shù),的函數(shù)稱為"雙勾函數(shù)"．因為函數(shù)〔為常數(shù),在第一象限的圖像如"√",而該函數(shù)為奇函數(shù),其圖像關(guān)于原點成中心對稱,故此而得名．2．類比"二次函數(shù)"與"雙勾函數(shù)"的圖像二次函數(shù)圖像二次函數(shù)圖像"雙勾函數(shù)"圖像3．類比"二次函數(shù)"的性質(zhì)探究"雙勾函數(shù)"的性質(zhì)〔1"二次函數(shù)"的性質(zhì)①當(dāng)時,在對稱軸的左側(cè),隨著的增大而減??；在對稱軸的右側(cè),隨著的增大而增大；當(dāng)時,函數(shù)有最小值．②當(dāng)時,在對稱軸的左側(cè),隨著的增大而增大；在對稱軸的右側(cè),隨著的增大而減?。?dāng)時,函數(shù)有最大值．〔2"雙勾函數(shù)"性質(zhì)的探究①當(dāng)時,在左側(cè),隨著的增大而減??；在的右側(cè),隨著的增大而增大；當(dāng)時,函數(shù)有最小值．②當(dāng)時,在的左側(cè),隨著的增大而增大；在的右側(cè),隨著的增大而減?。?dāng)時,函數(shù)有最大值．綜上知,函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在和上單調(diào)遞減．下面對"雙勾函數(shù)"的性質(zhì)作一證明．證明：定義法．設(shè)R,且,則．以下我們怎樣找到增減區(qū)間的分界點呢？首先,∴就是一個分界點,另外我們用"相等分界法",令,可得到,因此又找到兩個分界點,．這樣就把的定義域分為,,,四個區(qū)間,再討論它的單調(diào)性．設(shè),則,,,∴．∴,即．∴在上單調(diào)遞減．同理可得,在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．故函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在和上單調(diào)遞減．性質(zhì)啟發(fā)：由函數(shù)的單調(diào)性及在其單調(diào)區(qū)間的端點處取值的趨勢,可作出函數(shù)的圖像,反過來利用圖像可形象地記憶該函數(shù)的單調(diào)性及有關(guān)性質(zhì)．此性質(zhì)是求解函數(shù)最值的強有力工具,特別是利用均值不等式而等號不成立時,更彰顯其單調(diào)性的強大功能．4．"二次函數(shù)"與"雙勾函數(shù)"在處理區(qū)間最值問題上的類比〔1"二次函數(shù)"的區(qū)間最值設(shè),求在上的最大值與最小值．分析：將配方,得對稱軸方程,①當(dāng)時,拋物線開口向上．若必在頂點取得最小值,離對稱軸較遠端點處取得最大值；若,此時函數(shù)在上具有單調(diào)性,故在離對稱軸較遠端點處取得最大值,較近端點處取得最小值．②當(dāng)時,拋物線開口向下．若必在頂點取得最大值,離對稱軸較遠端點處取得最小值；若,此時函數(shù)在上具有單調(diào)性,故在離對稱軸較遠端點處取得最小值,較近端點處取得最大值．以上,作圖可得結(jié)論．①當(dāng)時,；．圖1圖1圖2圖3圖4圖5②當(dāng)時,；．圖6圖6圖7圖8圖9圖10〔2"雙勾函數(shù)"的區(qū)間最值設(shè),求在上的最大值與最小值．分析：①當(dāng)時,其圖像為第一象限部分．若,則函數(shù)必在界點處取得最小值,最大值需比較兩個端點處的函數(shù)值；若,此時函數(shù)在上具有單調(diào)性,故在離直線較遠端點處取得最大值,較近端點處取得最小值．②當(dāng)時,其圖像為第三象限部分．若,則函數(shù)必在界點處取得最大值,最小值需比較兩個端點處的函數(shù)值；若,此時函數(shù)在上具有單調(diào)性,故在離直線較遠端點處取得最小值,較近端點處取得最大值．以上,作圖可得結(jié)論．①當(dāng)時,圖11圖11圖12圖13②當(dāng)時,圖14圖14圖15圖16二、實踐平臺例1某化工廠生產(chǎn)的某種化工產(chǎn)品,當(dāng)年產(chǎn)量在噸至噸之間時,其生產(chǎn)的總成本〔萬元與年產(chǎn)量〔噸之間的函數(shù)關(guān)系式近似地表示為．問：〔1年產(chǎn)量為多少噸時,每噸的平均成本最低？并求出最低成本；〔2每噸平均出廠價為萬元,年產(chǎn)量為多少噸時,可獲得最大利潤？并求出最大利潤．分析：將問題歸結(jié)為"雙勾函數(shù)"問題,利用"雙勾函數(shù)"的性質(zhì),可使問題輕松獲解．解：〔1由題意可知,每噸平均成本為萬元．即,因為函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),在區(qū)間上為增函數(shù)．所以當(dāng)時,函數(shù)有最小值為〔萬元,所以當(dāng)年產(chǎn)量為噸時,每噸的平均成本最低,最低成本為萬元．〔2設(shè)年獲得總利潤為萬元,則,當(dāng),,故當(dāng)年產(chǎn)量為噸時,可獲得最大利潤萬元．評注：本題的關(guān)鍵是用年產(chǎn)量噸把每噸平均成本及利潤表示出來,然后再求其最值,在求解最值時我們要用到"雙勾函數(shù)"的單調(diào)性,記住這個結(jié)論可以簡化計算過程．函數(shù)的單調(diào)性除一些理論上的應(yīng)用外,它還可以靈活有效地解決現(xiàn)實生活中與之相關(guān)的實際問題．例2甲、乙兩地相距km,汽車從甲地勻速行駛到乙地,速度不得超過km/h,已知汽車每小時的運輸成本〔以元為單位,由可變部分和固定部分組成；可變部分與速度<km/h>的平方成正比,比例系數(shù)為,固定部分為元．〔1把全程運輸成本〔元表示為<km/h>的函數(shù),并指出這個函數(shù)的定義域．〔2為了使全程運輸成本最小,汽車應(yīng)以多大的速度行駛．分析：要計算全程的運輸成本<>,而已知每小時的運輸成本,只需計算全程的時間,由題意不難得到全程運輸成本<>,所要解決的問題是求何時取最小值,顯然要對的大小進行討論,討論的標(biāo)準(zhǔn)也就是與的大?。猓骸?依題意知：汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為,因此全程運輸成本為,又據(jù)題意,故所求函數(shù)及其定義域分別為：,．〔2設(shè),∴在上是減函數(shù),在上是增函數(shù)．①若,結(jié)合"雙勾函數(shù)"的性質(zhì)知,當(dāng)時運輸成本最小．②若,函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時,全程運輸成本最?。u注：解應(yīng)用題時,首先要訓(xùn)練讀題能力,成功地完成對數(shù)學(xué)文字語言、符號語言、圖形語言的理解、接受和轉(zhuǎn)換,繼而對題中各元素的數(shù)量關(guān)系進行加工和提煉,分清主次,并建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題．例3〔2006XX高考已知函數(shù)在R上有定義,對任意實數(shù)和任意實數(shù),都有．〔Ⅰ證明；〔Ⅱ證明其中和均為常數(shù)；〔Ⅲ當(dāng)〔Ⅱ中的,設(shè),討論在內(nèi)的單調(diào)性并求最值．分析：承接第〔Ⅱ問的結(jié)論,將問題歸結(jié)為"雙勾函數(shù)"的單調(diào)性與函數(shù)最值的求解問題．證明：〔Ⅰ令,則,∵,∴．〔Ⅱ①令,∵,∴,則．假設(shè)時,R,則,而,∴,即成立．②令,∵,∴,假設(shè)時,,則,而,∴,即成立．∴成立．〔Ⅲ當(dāng)時,,由"雙勾函數(shù)"性質(zhì)知在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),所以當(dāng)時,．評注：數(shù)學(xué)高考試題注重"考基礎(chǔ)、考能力、考思想"．所以熟悉數(shù)學(xué)化歸的思想,有意識地運用數(shù)學(xué)變換的方法去靈活解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問題,將有利于強化在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)變能力,有利于提高解決數(shù)學(xué)問題的思維能力和技能、技巧．適當(dāng)進行化歸、轉(zhuǎn)化能給人帶來思維的閃光點,找到解決問題的突破口,是分析問題中思維過程的主要組成部分．本題就是轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用的一個典型,通過轉(zhuǎn)化將本來抽象的問題歸結(jié)到"雙勾函數(shù)"區(qū)間最值的求解,讓我們有一種豁然開朗的感覺．例4〔2001XX高考設(shè)計一幅宣傳畫,要求畫面面積為cm,畫面的寬與高的比為,畫面的上、下各留cm空白,左、右各留cm空白．怎樣確定畫面的高與寬尺寸,能使宣傳畫所用紙張面積最小?如果要求,那么為何值時,能使宣傳畫所用紙張面積最小?分析：設(shè)定變元,尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系<等量關(guān)系>,選用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式表示問題中的這種聯(lián)系,建立函數(shù)模型,將問題歸結(jié)為"雙勾函數(shù)"區(qū)間最值問題,并運用"雙勾函數(shù)"性質(zhì)進行求解．解：設(shè)畫面高為cm,寬為cm,則設(shè)紙張面積為cm,則有,將代入上式得,,令,則,函數(shù)在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),所以當(dāng)時,取最小值,此時,高：cm,寬：cm．如果,則,所以函數(shù)在上為增函數(shù),故當(dāng)時,取最小值,此時．評注：函數(shù)描述了自然界中量的依存關(guān)系,是對問題本身的數(shù)量本質(zhì)特征和制約關(guān)系的一種動態(tài)刻畫．要充分重視解題過程中的推理,注意運用推理來簡化運算．充分利用題目給出的信息,抽象其數(shù)學(xué)特征,建立函數(shù)關(guān)系．很明顯,只有在對問題的觀察、