2022-2023學(xué)年安徽省滁州市高一下學(xué)期7月教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年安徽省滁州市高一下學(xué)期7月教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解絕對值不等式得A，根據(jù)交集的定義計(jì)算即可.【詳解】解得，即，B為奇數(shù)集，故.故選：C2．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】設(shè)，則，代入，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件求出，再根據(jù)模長公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，所以，即，所以，，所以.故選：B3．隨機(jī)抽取騎行共享單車的市民進(jìn)行問卷調(diào)查，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示．再從這些市民中用分層抽樣的方法抽取一個樣本進(jìn)行調(diào)查，若第二次抽取的樣本中年齡段的人數(shù)為，則第二次抽取的樣本中年齡段的人數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分層抽樣，各樣本的抽取數(shù)量比等于其頻率比，結(jié)合直方圖，即可求第二次抽取的樣本中年齡段的人數(shù).【詳解】設(shè)年齡段應(yīng)抽取人數(shù)為．由圖可知年齡段對應(yīng)的頻率為．由，得．故選：A.4．某學(xué)校在校學(xué)生有3000人，為了增強(qiáng)學(xué)生的體質(zhì)，學(xué)校舉行了跑步和登山比賽，每人都參加且只參加其中一項(xiàng)比賽，高一?高二?高三年級參加跑步的人數(shù)分別為，且，全校參加登山的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的.為了了解學(xué)生對本次比賽的滿意程度，按分層抽樣的方法從中抽取一個容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查，則應(yīng)從高二年級參加跑步的學(xué)生中抽?。?/p>

）A．15人 B．30人 C．45人 D．60人【答案】D【分析】先得出全校參加跑步的人數(shù)，再由分層抽樣的方法求解即可.【詳解】由題意，可知全校參加跑步的人數(shù)為，所以.因?yàn)?，所?因?yàn)榘捶謱映闃拥姆椒◤闹谐槿∫粋€容量為300的樣本，所以應(yīng)從高二年級參加跑步的學(xué)生中抽取的人數(shù)為.故選：D5．為平行四邊形兩條對角線的交點(diǎn)，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意可得，再由向量的減法結(jié)合條件可得答案.【詳解】．故選:D．6．已知m，n為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若m//，m//n，則n// B．若m//，n//，則m//nC．若m//，n，則m//n D．若m//，m，＝n，則m//n【答案】D【分析】舉例說明判斷A，B，C；利用線面平行的性質(zhì)判斷D作答.【詳解】如圖，長方體中，平面視為平面，對于A，直線AB視為m，直線視為n，滿足m//，m//n，而，A不正確；對于B，直線AB視為m，直線BC視為n，滿足m//，n//，而m與n相交，B不正確；對于C，直線AB視為m，直線視為n，滿足m//，n，顯然m與n是異面直線，C不正確；對于D，由直線與平面平行的性質(zhì)定理知，D正確.故選：D7．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知條件得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，解之即可.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，且，所以，，解?故選：D.8．中國古建筑聞名于世，源遠(yuǎn)流長．如圖1所示的五脊殿是中國傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示，在結(jié)構(gòu)示意圖中，已知四邊形ABCD為矩形，，，與都是邊長為1的等邊三角形，若點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，根據(jù)球的性質(zhì)可得平面ABCD，根據(jù)中位線的性質(zhì)和勾股定理可得且，分類討論當(dāng)O在線段上和O在線段的延長線上時2種情況，結(jié)合球的性質(zhì)和表面積公式計(jì)算即可求解.【詳解】如圖，連接AC，BD，設(shè)，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以為矩形ABCD外接圓的圓心．連接，則平面ABCD，分別取EF，AD，BC的中點(diǎn)M，P，Q，根據(jù)幾何體ABCDEF的對稱性可知，直線交EF于點(diǎn)M．連接PQ，則，且為PQ的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，連接EP，F(xiàn)Q，在與中，易知，所以梯形EFQP為等腰梯形，所以，且．設(shè)，球O的半徑為R，連接OE，OA，當(dāng)O在線段上時，由球的性質(zhì)可知，易得，則，此時無解．當(dāng)O在線段的延長線上時，由球的性質(zhì)可知，，解得，所以，所以球O的表面積，故選：D．【點(diǎn)睛】求解外接球問題的關(guān)鍵在于確定球心的位置，而確定球心位置的依據(jù)一是球心到球面上各點(diǎn)的距離都等于球的半徑，二是球心與截面圓圓心的連線垂直于截面．由此出發(fā)，利用一些特殊模型，或借助一般方法，即可確定外接球球心的位置．二、多選題9．歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋．依據(jù)歐拉公式，下列說法中正確的是（

）A．對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限B．為純虛數(shù)C．的模長等于D．的共軛復(fù)數(shù)為【答案】AD【分析】根據(jù)題意結(jié)合復(fù)數(shù)的相關(guān)概念與運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對于A項(xiàng)：由題意可得：，則其對應(yīng)的點(diǎn)為，∵，則，∴對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)：由題意可得：為實(shí)數(shù)，故B項(xiàng)錯誤；對于C項(xiàng)：方法1：由題意可得：，則，方法2：，故C項(xiàng)錯誤；對于D項(xiàng)：由題意可得：，則的共軛復(fù)數(shù)為，故D項(xiàng)正確；故選：AD.10．景德鎮(zhèn)號稱“千年瓷都”，因陶瓷而享譽(yù)全世界.景德鎮(zhèn)陶瓷以白瓷著稱，而白瓷素有“白如玉，明如鏡，薄如紙，聲如磐”的美譽(yù)，如圖，某陶瓷展覽會舉辦方計(jì)劃在長方形空地上舉辦陶瓷展覽會，已知，，E為邊的中點(diǎn).G，F(xiàn)分別為邊，上的動點(diǎn)，，舉辦方計(jì)劃將區(qū)域作為白瓷展覽區(qū)，則白瓷展覽區(qū)的面積可能是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】設(shè)，則，由，，得到，再得到，，由求解.【詳解】解：設(shè)，則，由，，得，易得，，則，，由，得，得，則.因?yàn)?，，所以白瓷展覽區(qū)的面積可能是，.故選：BC11．已知向量，，則（

）A． B．向量,的夾角為C． D．在方向上的投影向量是【答案】BD【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對于，，，，，，故A錯誤；對于B，，由于，則向量的夾角為，故B正確；對于C，，，故C錯誤；對于D，在方向上的投影向量為，故D正確．故選：BD．12．已知圖1中，正方形的邊長為，、、、是各邊的中點(diǎn)，分別沿著、、、把、、、向上折起，使得每個三角形所在的平面都與平面垂直，再順次連接，得到一個如圖2所示的多面體，則（

）

A．平面平面B．直線與直線所成的角為C．直線與平面所成角的正切值為D．多面體的體積為【答案】BC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法，依次判定ABC選項(xiàng)即可，D選項(xiàng)需要對幾何體進(jìn)行補(bǔ)體，補(bǔ)成長方體，由長方體體積減去錐體的體積求解.【詳解】如圖，取CD、AB的中點(diǎn)O、M，連接OH、OM，因?yàn)锳、B、C、D是正方形各邊的中點(diǎn)，則CH=DH，因?yàn)镺為CD中點(diǎn)，所以,因?yàn)槠矫鍯DH平面ABCD，平面CDH平面ABCD=CD，OH平面CDH，所以O(shè)H平面ABCD，在圖中，易知四邊形ABCD為邊長為1的正方形，所以O(shè)MCD,故建立空間直角坐標(biāo)系.

則，對于選項(xiàng)A，設(shè)平面AEF的一個法向量為，;設(shè)平面CGH的一個法向量為，，，故平面與平面不垂直，故A選項(xiàng)錯誤；對于B選項(xiàng)，,,,故直線與直線所成的角為，B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，記直線與平面所成角為，則，則，則，故直線與平面所成角的正切值為，C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，如上圖所示，以ABCD為底面，以O(shè)H為高將幾何體補(bǔ)成長方體，則E、F、G、H分別為的中點(diǎn)，因?yàn)閨AB|=1，|OH|=，則長方體的體積為，，因此多面體的體積為，故D選項(xiàng)錯誤.故選：BC.三、填空題13．一組數(shù)據(jù)的平均值為3，方差為1，記的平均值為a，方差為b，則.【答案】【分析】利用平均數(shù)和方差的運(yùn)算性質(zhì)可求出值，再求即可.【詳解】因?yàn)橐唤M數(shù)據(jù)的平均值為3，方差為1，所以的平均值為，方差為，所以，，所以.故答案為:14．向量在向量方向上的投影向量的模為．【答案】2【詳解】根據(jù)投影的定義可得：在方向上的投影向量為：．所以在方向上的投影向量的模為故答案為：215．已知非零向量，的夾角為，，，則．【答案】【分析】根據(jù)向量垂直滿足的關(guān)系可得，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的定義即可求解.【詳解】，，，，，非零向量，的夾角為，．故答案為：．16．奮進(jìn)新時代，揚(yáng)帆新航程.在南海海域的某次海上閱兵上，一大批國產(chǎn)先進(jìn)艦船和軍用飛機(jī)接受了黨和人民的檢閱.殲-15艦載飛機(jī)從遼寧艦航空母艦上起飛，以千米/小時的速度在同一水平高度向正東方向飛行，在閱兵艦“長沙號”導(dǎo)彈驅(qū)逐艦上第一次觀察到殲-15艦載飛機(jī)在北偏西，1分鐘后第二次觀察到殲-15艦載飛機(jī)在北偏東，仰角為，則殲-15飛機(jī)飛行高度為千米（結(jié)果保留根號）.【答案】/【分析】作出圖形，用點(diǎn)表示殲-15艦載飛機(jī)，用點(diǎn)表示閱兵艦，然后由正弦定理求得，再在直角三角形中求得．【詳解】如圖，是閱兵艦，是殲-15艦載飛機(jī)被觀察的起始位置，是飛機(jī)在地面上的射影，由已知千米，，是正北方向，因此，，，，，由正弦定理，即，解得，在直角三角形中，．故答案為：．四、解答題17．已知復(fù)數(shù)，且為實(shí)數(shù)．(1)求的值；(2)設(shè)，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，即可根據(jù)復(fù)數(shù)的分類求解，進(jìn)而由模長公式即可求解，（2）根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)的象限的特征即可求解.【詳解】（1）為實(shí)數(shù)，，即．所以；（2），復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，，解得．的取值范圍是．18．年月日，第十三屆全國人民代表大會第五次會議在北京人民大會堂開幕，會議報(bào)告指出，年，國內(nèi)生產(chǎn)總值和居民人均可支配收入明顯增長．某地為了解居民可支配收入情況，隨機(jī)抽取人，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這人去年可支配收入（單位：萬元）均在區(qū)間內(nèi)，按，，，，，分成組，頻率分布直方圖如圖所示，若上述居民可支配收入數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為．(1)求的值，并估計(jì)這位居民可支配收入的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)用樣本的頻率估計(jì)概率，從該地居民中抽取甲、乙、丙人，若每次抽取的結(jié)果互不影響，求抽取的人中至少有兩人去年可支配收入在內(nèi)的概率．【答案】(1)；平均值為(2)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的矩形面積和為1，結(jié)合第百分位數(shù)的性質(zhì)求解，進(jìn)而根據(jù)頻率分布直方圖的平均值算法求解即可；（2）分抽取的人中有兩人和三人去年可支配收入在內(nèi)兩種情況求解即可【詳解】（1）由頻率分布直方圖，可得，則①因?yàn)榫用袷杖霐?shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為8.1，所以，則②將①與②聯(lián)立，解得．所以平均值為．（2）根據(jù)題意，設(shè)事件A，B，C分別為甲、乙、丙在[7.5，8.5）內(nèi)，則．①“抽取3人中有2人在[7.5，8.5）內(nèi)”，且與與互斥，根據(jù)概率的加法公式和事件獨(dú)立性定義，得．②“抽取3人中有3人在[7.5，8.5）內(nèi)”，由事件獨(dú)立性定義，得．所以抽取的3人中至少有兩人去年可支配收入在[7.5，8.5）內(nèi)的概率：．19．在三棱柱中，AB⊥AC，平面ABC，E?F分別是棱中點(diǎn).(1)求證：EF平面；(2)求證：平面.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）由線線平行證線面平行即可；（2）先由線線垂直證平面，再由即可證.【詳解】（1）證明：由E?F分別是棱中點(diǎn)得，又平面，平面，故EF平面（2）證明：由平面ABC，平面ABC，∴，又AB⊥AC，平面，故平面，由得平面.20．（1）指出函數(shù)的最大值，及函數(shù)取得最大值時所對應(yīng)的的值，并畫出該函數(shù)在一個最小正周期內(nèi)的大致圖像；（2）指出正弦函數(shù)的單調(diào)性，并以此為依據(jù)證明：余弦函數(shù)在區(qū)間是嚴(yán)格增函數(shù).【答案】（1）時，函數(shù)取得最大值2，作圖見解析；（2）單調(diào)增區(qū)間，單調(diào)減區(qū)間，其中，證明見解析【分析】（1）首先利用倍角公式化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求最值，五點(diǎn)作圖法作圖．（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合誘導(dǎo)公式直接化為余弦函數(shù)，即可證明．【詳解】（1），，即時，函數(shù)取得最大值2.00200

（2）單調(diào)增區(qū)間，單調(diào)減區(qū)間，其中.任取、，，即，由于,是正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，所以，，即，故，余弦函數(shù)在區(qū)間是嚴(yán)格增函數(shù).21．如圖，四棱錐的底面是正方形，平面，.點(diǎn)是的中點(diǎn)，作，交于點(diǎn).（1）設(shè)平面與平面的交線為，試判斷直線與直線的位置關(guān)系，并給出證明；（2）求平面與平面所成的較小的二面角的余弦值；（3）求直線與平面所成角的正切值.【答案】（1），證明見解析；（2）；（3）.【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行證明即可.（2）先找出二面角的平面角，然后進(jìn)行求解即可，（3）根據(jù)線面角的定義進(jìn)行求解即可，【詳解】（1）證明：連結(jié)交交于，∵是正方形，∴為的中點(diǎn)，又∵是的中點(diǎn)，∴，又∵平面，平面，∴平面，又平面，平面平面，∴.（2）∵平面，平面，∴，設(shè)正方形的邊長為4，∵，∴的中線，，，同理，，，∵，，∴為正三角形，中線，且，∵，，∴，同理，∴是二面角的一個平面角，又∵在正三角形中，∴，則平面與平面所成的較小的面角的余弦值為.（3）同（2）中，得，又∵在正方形中，，，平面，平面，∴平面，同理平面，同理面，∴是直線與平面所成的角，∵在和中得，∴直線與平面所成角的正切值為.22．在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．已知，．(1)求角B；(2)若M是△ABC內(nèi)的一動點(diǎn)，且滿足，則是否存在最大值？若存在，請求出最大值及取最大值的條件；若不存在，請說明理由；(3)若D是△ABC中AC上的一點(diǎn)，且滿足，求的取值范圍．【答案】(1)(2)當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，；(3)【分析】（1）利用正弦定理邊化角以及三角恒等變形即可求解，或者先利用余弦定理可得，再利用正弦定理邊化角即可求解；（2）先利用向量的線性