重難點07空間距離與體積問題（2種考法）（原卷版）

重難點07空間距離與體積問題（2種考法）【目錄】考法1：距離問題考法2：體積問題二、命題規(guī)律與備考策略二、命題規(guī)律與備考策略一.求點到平面的距離的四步驟二、常見幾何體體積的四種求法1.直接法求體積（也稱公式法）直接利用常見幾何體的體積計算公式求解體積即可?？芍苯邮褂霉降念}目，“高”一般都可直接或間接找到2.等體積法求三棱錐體積1、等體積轉(zhuǎn)化法一般情況下是三棱錐才有的特性。2、盡可能尋找在表面的三個點，通過三棱錐“換底”求解三棱錐的體積?！咀⒁狻俊皳Q底”的結(jié)果是使新底面所對應(yīng)的高簡單易求。3.多面體割補(bǔ)法求體積1、分割法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，當(dāng)規(guī)則的幾何體用公式不易求出時，再將其分割沒轉(zhuǎn)化成比較好求體積的幾何體；【注意】大多數(shù)情況下，可以把不規(guī)則幾何體分割為三棱錐+四棱錐多從四棱錐底面對角線或者幾何體表面四邊形對角線處尋找分割的“刀口”2、補(bǔ)形法：把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，便于計算；常見的補(bǔ)形有：（1）將正四面體補(bǔ)形成正方體；（2）將等腰四面體（對棱相等）補(bǔ)形成長方體；（3）將三條棱兩兩相互垂直且相等的三棱錐補(bǔ)成正方體；（4）將臺體補(bǔ)成錐體等等?！咀⒁狻款}設(shè)條件存在將規(guī)則幾何體切去一些部分剩余的幾何體的情況，補(bǔ)形法可簡化題目。4.兩部分體積比例法（轉(zhuǎn)移法）利用祖暅原理和等積変化，把所求的幾何體轉(zhuǎn)化為與它等底、等高的幾何體的體積?！咀⒁狻坷煤谩巴椎雀摺焙汀巴妆壤摺?，本質(zhì)就是尋找合適的底面和平行高轉(zhuǎn)化。三、題型方法三、題型方法1．（2023?寶山區(qū)二模）四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長為2的菱形，∠DAB＝60°，對角線AC與BD相交于點O，PO⊥底面ABCD，PB與底面ABCD所成的角為60°，E是PB的中點．（1）求異面直線DE與PA所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；（2）證明：OE∥平面PAD，并求點E到平面PAD的距離．2．（2023?黃浦區(qū)二模）如圖，多面體A1C1D1ABCD是由棱長為3的正方體ABCD﹣A1B1C1D1沿平面A1BC1截去一角所得到在棱A1C1上取一點E，過點D1，C，E的平面交棱BC1于點F．（1）求證：EF∥A1B；（2）若C1E＝2EA1，求點E到平面A1D1CB的距離以及ED1與平面A1D1CB所成角的大?。?．（2023?奉賢區(qū)校級模擬）如圖，將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折蟊，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE＝．（1）求證：直線EC與平面ABD沒有公共點；（2）求點C到平面BED的距離．4．（2023?徐匯區(qū)校級三模）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，四邊形BCC1B1是邊長為2的正方形，D為AB中點，且．（1）求證：CD⊥平面ABB1A1；（2）若點P在線段B1C上，且直線AP與平面A1CD所成角的正弦值為，求點P到平面A1CD的距離．5．（2022?寶山區(qū)二模）在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，點E是棱AB上的點，AE＝2EB．（1）求異面直線AD1與EC所成角的大??；（2）求點C到平面D1DE的距離．6．（2022?閔行區(qū)二模）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為菱形，PD⊥平面ABCD，∠BAD＝60°，E為棱BC的中點．（1）求證：ED⊥平面PAD；（2）若PD＝AD＝2，求點D到平面PBC的距離．7．（2022?寶山區(qū)模擬）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，P是CC1的中點，過AP的平面與BB1，DD1分別交于Q，R，且BQ＝．（1）求異面直線PQ與AB所成角的大??；（2）求C1到平面AQPR的距離．8．（2023?嘉定區(qū)校級三模）在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，，E、F、G分別為AB、BC、C1D1的中點．（1）求三棱錐A﹣GEF的體積；（2）點P在矩形ABCD內(nèi)，若直線D1P∥平面EFG，求線段D1P長度的最小值．9．（2023?金山區(qū)二模）如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB＝AA1＝2，D是AB的中點．（1）求直線CC1與DB1所成的角的大?。唬?）求證：平面CDB1⊥平面ABB1A1，并求點B到平面CDB1的距離．10．（2023?楊浦區(qū)二模）四邊形ABCD是邊長為1的正方形，AC與BD交于O點，PA⊥平面ABCD，且二面角P﹣BC﹣A的大小為45°．（1）求點A到平面PBD的距離；（2）求直線AC與平面PCD所成的角．11．（2022?上海模擬）如圖，正三棱柱ABC﹣A1B1C1（側(cè)棱垂直于底面，且底面是正三角形的棱柱）的底面邊長為6，點M在邊BC上，△AMC1是以點M為直角頂點的等腰直角三角形．（1）求證：點M為BC邊的中點；（2）求點C到平面AMC1的距離．12．（2023?上海）已知三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AB＝3，AC＝4，M為BC中點，過點M分別作平行于平面PAB的直線交AC、PC于點E，F(xiàn)．（1）求直線PM與平面ABC所成角的大??；（2）求直線ME到平面PAB的距離．13．（2023?徐匯區(qū)校級三模）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB＝AD＝1，D1D＝CD＝2，AB⊥AD．（1）求證：BC⊥平面D1DB；（2）求點D到平面BCD1的距離．14．（2023?浦東新區(qū)校級三模）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AC＝BC，PA＝PB，且點C在以點O為圓心AB為直徑的半圓AB上．（1）求證：AB⊥PC；（2）若AC＝2，且PC與平面ABC所成角為，求點B到平面PAC的距離．15．（2022?浦東新區(qū)二模）如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1＝2，點D是線段A1B1的中點．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積；（2）已知P為側(cè)棱BB1的中點，求點P到平面BCD的距離．16．（2022?青浦區(qū)校級模擬）如圖，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝，點P、Q分別為A1B1、BC的中點，C1Q與底面ABC所成的角為arctan2．（1）求異面直線PB與QC1所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）；（2）求點C與平面AQC1的距離．17．（2021?楊浦區(qū)校級三模）如圖，空間幾何體由兩部分構(gòu)成，上部是一個底面半徑為1，高為2的圓錐，下部是一個底面半徑為1，高為2的圓柱，圓錐和圓柱的軸在同一直線上，圓錐的下底面與圓柱的上底面重合，點P是圓錐的頂點，AB是圓柱下底面的一條直徑，AA1、BB1是圓柱的兩條母線，C是弧的中點．（1）求異面直線PA1與BC所成的角的大?。唬?）求點B1到平面PAC的距離．考法2：體積問題一、填空題1．（2022·上海黃浦·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為球O的半徑，過的中點M且垂直的平面截球得到圓M，若圓M的面積為，則球O的體積為.2．（2023·上海普陀·曹楊二中校考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，直線與平面成角.設(shè)四面體外接球的圓心為，則球的體積為.3．（2023·上海青浦·統(tǒng)考一模）已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，為上底面圓的圓心，AB為下底面圓的直徑，為下底面圓周上一點，則三棱錐外接球的體積為．4．（2023·上海奉賢·上海市奉賢中學(xué)?？既＃┮粋€正方體和一個球的表面積相同，則正方體的體積和球的體積的比值．5．（2022·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）現(xiàn)將半徑為1和2的小鉛球，熔成一個大鉛球，那么，這個大鉛球內(nèi)接正四面體的體積為.6．（2022·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）一個四面體的頂點在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是、、、，則該四面體的內(nèi)切球與外接球體積之比為7．（2022·上海閔行·上海市七寶中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知直三棱柱的各棱長都相等，體積為18．若該三棱柱的所有頂點都在球O的表面上，則球O的體積為．二、解答題8．（2023·上海松江·?？寄M預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，，，．(1)求證：；(2)設(shè)與底面ABC所成角的大小為，求三棱錐的體積．9．（2023·上?！とA師大二附中校考模擬預(yù)測）在如圖所示的圓錐中，底面直徑與母線長均為4，點C是底面直徑AB所對弧的中點，點D是母線PA的中點.

(1)求該圓錐的側(cè)面積與體積；(2)求異面直線AB與CD所成角的大小.10．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考三模）如圖，已知頂點為的圓錐其底面圓的半徑為8，點為圓錐底面半圓弧的中點，點為母線的中點.

(1)若母線長為10，求圓錐的體積；(2)若異面直線與所成角大小為，求、兩點間的距離.11．（2023·上海奉賢·上海市奉賢中學(xué)?？既＃┮阎忮F，平面，PA=6，AC=4，，M，N分別在線段PB，PC上．

(1)若PB與平面所成角大小為，求三棱錐的體積V；(2)若平面，求證：平面12．（2022·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，是圓柱體的一條母線，過底面圓的圓心，是圓上不與、重合的任意一點，已知棱，，.

（1）求異面直線與平面所成角的大小；（2）將四面體繞母線旋轉(zhuǎn)一周，求三邊旋轉(zhuǎn)過程中所圍成的幾何體的體積.13．（2020·上海閔行·上海市七寶中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，四邊形是圓柱的軸載面，，，以圓柱上底面為底面作高為的圓錐，、分別在、上，，.（1）求這個幾何體的表面積和體積；（2）求二面角的余弦值.14．（2020·上海普陀·統(tǒng)考二模）某小區(qū)樓頂成一種“楔體”形狀，該“楔體”兩端成對稱結(jié)構(gòu)，其內(nèi)部為鋼架結(jié)構(gòu)（未畫出全部鋼架