2015年全國(guó)1卷高考理科數(shù)學(xué)試卷及答案(精校word詳細(xì)解析版)

2015年全國(guó)1卷高考理科數(shù)學(xué)試卷及答案(精校word詳細(xì)解析版)2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試——理科數(shù)學(xué)一、選擇題1.設(shè)復(fù)數(shù)$z$滿足$\frac{1+z}{1-z}=i$，則$|z|$=（B）22.$\sin20^\circ\cos10^\circ-\cos160^\circ\sin10^\circ=$（A）$-\frac{33}{11}$3.設(shè)命題$P$：$\existsn\inN,n^2>2n$，則$\negP$為（B）$\foralln\inN,n^2\leq2n$4.投籃測(cè)試中，每人投$3$次，至少投中$2$次才能通過(guò)測(cè)試。已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為$0.6$，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為（C）$0.36$5.已知$M(x,y)$是雙曲線$C：x^2-y^2=1$上的一點(diǎn)，$F_1$、$F_2$是$C$的兩個(gè)焦點(diǎn)，若$MF_1\cdotMF_2<1$，則$y$的取值范圍是（B）$(\frac{-3\sqrt{3}}{3},\frac{6\sqrt{3}}{3})$6.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問(wèn)：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧度為$8$尺，米堆的高為$5$尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知$1$斛米的體積約為$1.62$立方尺，圓周率約為$3$，估算出堆放的米約有（C）$36$斛7.設(shè)$D$為$\triangleABC$所在平面內(nèi)一點(diǎn)，$BC=3CD$，則$\frac{AB+AC}{AD}=$（B）$\frac{AB-AC}{3}$8.函數(shù)$f(x)=\cos(\omegax+\phi)$的部分圖像如圖所示，則$f(x)$的單調(diào)遞減區(qū)間為（D）$(2k\pi+\frac{\pi}{2},2k\pi+\frac{3\pi}{2}),k\in\mathbb{Z}$9.執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的$t=0.01$，則輸出的$n=$（C）$7$10.$(x+x+y)$的展開(kāi)式中，$xy$的系數(shù)為（D）$60$11.一個(gè)圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體的正視圖和俯視圖如圖所示。若該幾何體的表面積為16+20π，則r=？解：由正視圖和俯視圖可知，該幾何體由一個(gè)圓柱和一個(gè)半球組成，且圓柱的高為r，底面半徑為r，半球的直徑等于圓柱的底面直徑。設(shè)圓柱的高為h，則圓柱的側(cè)面積為2πrh，底面積為πr^2，半球的表面積為2πr^2，因此該幾何體的表面積為2πrh+3πr^2=16+20π?；?jiǎn)得r(h+3)=8，又因?yàn)閳A柱的高h(yuǎn)=r，代入得4r^2=8，因此r=2。答案：B12.設(shè)函數(shù)f(x)=ex(2x-1)-ax+a，其中a≠1。若存在唯一的整數(shù)x，使得f(x)<0，則a的取值范圍是()。解：由題意可知，f(x)<0的整數(shù)解x唯一，因此f(x)在x=0和x=1附近必須分別取正值和負(fù)值。當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=a-1<0，即a<1；當(dāng)x=1時(shí)，f(x)=e-a<0，即a>0。因此，a的取值范圍是(0,1)。答案：C13.若函數(shù)f(x)=xln(x+a+x^2)為偶函數(shù)，則a=______。解：由題意可知，f(x)為偶函數(shù)，即f(-x)=f(x)。代入得(-x)ln(-x+a+(-x)^2)=xln(x+a+x^2)，化簡(jiǎn)得a=0。答案：014.一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓x^2+4y^2=1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____________。解：設(shè)圓的半徑為r，圓心坐標(biāo)為(h,0)。由題意可知，圓經(jīng)過(guò)橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)，即(-1,0)、(1,0)和(0,1/2)。因此，圓心到x軸的距離h=r，圓心到橢圓頂點(diǎn)(0,1/2)的距離也為r，即(h-0)^2+(0-1/2)^2=r^2，化簡(jiǎn)得h^2-2h+1/4=r^2。又因?yàn)閳A心在x軸的正半軸上，因此h>0。綜上所述，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-h)^2+y^2=r^2，其中h>0，且滿足(h-0)^2+(0-1/2)^2=r^2和h^2-2h+1/4=r^2。化簡(jiǎn)得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)^2+y^2=1/4。答案：(x-1)^2+y^2=1/415.若x，y滿足約束條件x-1≥y，x+y-4≤0，則f(x,y)=x^2+y^2的最大值為_(kāi)_________。解：將約束條件化為y≤x-1和y≥4-x，畫(huà)出兩條直線y=x-1和y=4-x，它們的交點(diǎn)為(2,1)。因此，約束條件限制了點(diǎn)(x,y)在以直線y=x-1、y=4-x和x軸為邊界的三角形區(qū)域內(nèi)。在該區(qū)域內(nèi)，f(x,y)=x^2+y^2的最大值出現(xiàn)在三角形的頂點(diǎn)上。計(jì)算可得，f(2,1)=5，因此f(x,y)的最大值為5。答案：516.在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是______________。解：連接AC和BD，如圖所示。由題意可知，∠A=∠B=∠C=75°，因此∠D=360°-3×75°=135°。又因?yàn)锳BCD為平面四邊形，因此∠A+∠C=180°，即∠CAD=∠ACD=52.5°。又因?yàn)椤螪AC=75°，因此∠DAB=52.5°-75°=-22.5°。由正弦定理可得AB=AD×sin75°/sin22.5°，因此AB的取值范圍為2sin75°/sin22.5°≤AB≤AD×sin75°/sin22.5°?；?jiǎn)得2√6-2≤AB≤4√6-2。答案：[2√6-2,4√6-2]17.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知an>0，an^2+2an=4Sn+3。(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)bn=an/an+1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和。解：(Ⅰ)由已知可得，an^2+2an+1=4Sn+4=(2n+1)^2。因此，an=2n+1-2√Sn+1，代入得S_n=\frac{n(2n+1)}{3}。(Ⅱ)由an^2+2an=4Sn+3可得an+1=(an+1+1)^2/(4Sn+4-an-1)。因此，bn=an/an+1=(4Sn+3-an)/(4Sn+4-an-1)，代入得b_n=\frac{2n+1}{2n+2}。因此，b1+b2+...+bn=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{n+1})=\frac{n}{2(n+1)}。答案：(Ⅰ)an=2n+1-2√Sn+1，S_n=\frac{n(2n+1)}{3}；(Ⅱ)b_n=\frac{2n+1}{2n+2}，b1+b2+...+bn=\frac{n}{2(n+1)}。18.如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，E、F是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。(Ⅰ)證明：平面AEC⊥平面AFC；(Ⅱ)求直線AE與直線CF所成角的余弦值。解：(Ⅰ)連接AC和EF，如圖所示。由題意可知，ABCD為菱形，因此AC為菱形的對(duì)角線，且∠ABC=120°。又因?yàn)锽E⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，因此BE和DF在平面ABCD內(nèi)，且平行。又因?yàn)锽E=2DF，因此EF=3DF。又因?yàn)锳E⊥EC，因此AE在平面AEC內(nèi)，且與EC垂直。因此，AE垂直于平面AFC，而AC也在平面AFC內(nèi)，因此平面AEC⊥平面AFC。(Ⅱ)由正弦定理可得sin∠AEC=sin∠FEC/EC，sin∠ACF=sin∠FEC/FC，因此sin∠AEC/EC=sin∠ACF/FC。又因?yàn)锳E⊥EC，因此sin∠AEC=AE/AC，代入得AE/AC=FC/EC，化簡(jiǎn)得AE/FC=AC/EC=√3。因此，cos∠AEF=cos(∠AEC+∠CEF)=cos∠AECcos∠CEF-sin∠AECsin∠CEF=√3/2。答案：(Ⅰ)證明過(guò)程略；(Ⅱ)cos∠AEF=√3/2。(Ⅰ)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，哪一個(gè)方程更適合作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）(Ⅱ)根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(Ⅲ)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x，y的關(guān)系為z=0.2y-x。根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果回答下列問(wèn)題：（?。┊?dāng)年宣傳費(fèi)x=49時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)測(cè)值是多少？（ⅱ）當(dāng)年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)測(cè)值最大？在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C：y=x^4與直線y=kx+a(a>0)交于M，N兩點(diǎn)。(Ⅰ)當(dāng)k=1時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；(Ⅱ)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？說(shuō)明理由。已知函數(shù)f(x)=x^3+ax+4/3，g(x)=-lnx。(Ⅰ)當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線y=f(x)的切線；(Ⅱ)用min{m,n}表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0)，討論h(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。選修4-1：幾何證明選講如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，BC交⊙O于點(diǎn)E。（Ⅰ）若D為AC的中點(diǎn)，證明：DE是⊙O的切線；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小。選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1:x=-2，圓C2：(x-1)^2+(y-2)^2=1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。（Ⅰ）求C1，C2的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若直線C3的極坐標(biāo)方程為θ=π/4（ρ∈R），設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M，N，求△CMN的面積。選修4-5：不等式選講已知函數(shù)f(x)=|x+1|-2|x-a|，a>0。(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f(x)>1的解集；若函數(shù)f(x)的圖像與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍。解析：設(shè)函數(shù)f(x)的表達(dá)式為f(x)=ax^2+bx+c，則x軸與f(x)圍成的三角形面積為∫[0,1]f(x)dx。根據(jù)題意，有∫[0,1]f(x)dx>6，即∫[0,1]ax^2+bx+cdx>6。對(duì)∫[0,1]ax^2+bx+cdx進(jìn)行計(jì)算，可得其值為a/3+b/2+c。因此，a/3+b/2+c>6。由于$a_n>a_{n-1}$，可得$a_{n+1}-a_n=2$。又$a_1+2a_2=4a_1+3$，解得$a_1=3$。因此，數(shù)列$\{a_n\}$是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為$a_n=2n+1$。設(shè)數(shù)列$\{b_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$T_n$，則$b_n=\frac{1}{a_na_{n+1}}=\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$。由$a_n=2n+1$可知，$b_n=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)$。因此，$T_n=b_1+b_2+\cdots+b_n=\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{n+2}\right)$。在菱形$ABCD$中，設(shè)$GB=1$，則$AG=GC=3$。由$\angleABC=120^\circ$，可得$AE=EC=3$。又$BE\perp$平面$ABCD$，$AB=BC$，可知$AE=EC$。因此，$EG=3$，且$EG\perpAC$。在$\triangleEBG$中，可得$BE=2$，故$DF=\frac{26}{3}$。在$\triangleFDG$中，可得$FG=\frac{22}{3}$。在直角梯形$BDFE$中，由$BD=2$，$BE=2$，$DF=\frac{26}{3}$，可得$EF=\frac{22}{3}$。從而$EG+FG=EF$，所以$EG\perpFG$，又$AC\perpFG$，可得$EG\perp$平面$AFC$。因?yàn)?EG\parallel$平面$AEC$，所以平面$AEC\perp$平面$AFC$。如圖，以$G$為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以$GB$，$GC$方向?yàn)?x$軸，$y$軸正方向，$GB$為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系$G$-$xyz$。由（Ⅰ）可得$A(0,-3,0)$，$E(1,0,2)$，$F(-1,0,\frac{2}{3})$，$C(0,3,0)$。因此，$AE=(1,3,2)$，$CF=(-1,-3,\frac{4}{3})$。故$\cos\angleAE,CF=-\frac{AE\cdotCF}{|AE|\cdot|CF|}=-\frac{10}{\sqrt{14}\sqrt{\frac{14}{3}}}$，所以直線$AE$與直線$CF$所成角余弦值為$-\frac{5}{3}$。由散點(diǎn)圖可以判斷，$y=c+dx$適宜作為年銷售量$y$關(guān)于年宣傳費(fèi)$x$的回歸方程類型。令$w=x$，先建立$y$關(guān)于$w$的線性回歸方程。由于$d=\frac{\sum_{i=1}^n(w_i-\bar{w})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^n(w_i-\bar{w})^2}=68$，$\bar{w}=\frac{1}{8}\sum_{i=1}^8w_i=2$，$\bar{y}=\frac{1}{8}\sum_{i=1}^8y_i=90$，可得$y=68w-98$。因此，年銷售量$y$關(guān)于年宣傳費(fèi)$x$的回歸方程為$y=68x-98$。1.經(jīng)過(guò)計(jì)算，得出關(guān)于w的線性回歸方程為y=100.6+68w，其中c=y-dw=563-68*6.8=100.6。2.根據(jù)線性回歸方程，當(dāng)x=49時(shí)，預(yù)測(cè)年銷售量y為576.6，預(yù)測(cè)年利潤(rùn)z為0.2*576.6-49=66.32。又根據(jù)線性回歸方程，當(dāng)x=46.24時(shí)，z取得最大值，即年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大。3.對(duì)于求解切線方程的問(wèn)題，由題設(shè)可得M2a,a，N-2a,a，或M-2a,a，N2a,a。又y’=x/2，故y在x=2a處的導(dǎo)數(shù)值為a。C在點(diǎn)-2a,a處的切線方程為ax-y-a=0。4.對(duì)于求解曲線與x軸相切的問(wèn)題，設(shè)曲線為y=f(x)，與x軸相切于點(diǎn)(x,0)，則f(x)=0，f’(x)=0。解得x=133/244，a=-55/244。因此當(dāng)a=-55/244時(shí)，x軸為曲線y=f(x)的切線。對(duì)于x>1的情況，h(x)<=g(x)，因此h(x)在(1,+∞)中無(wú)零點(diǎn)。當(dāng)x=1時(shí)，若a>=-44/55，則h(1)=min{f(1),g(1)}=g(1)=-ln(1)=0，此時(shí)x=1是切點(diǎn)。h(x)的零點(diǎn)為x=1，當(dāng)且僅當(dāng)f(1)<h(1)，即a<?。若a≥?，則h(x)在x=1處不為零點(diǎn)。當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g(x)=?lnx<0，因此只需考慮f(x)在(0,1)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。（?。┤鬭≤?3或a≥4，由f′(x)=3x+a可知f(x)在(0,1)無(wú)零點(diǎn)，因此f(x)在(0,1)單調(diào)。又因?yàn)閒(0)=2/15，f(1)=a+，所以當(dāng)a≤?3時(shí)，f(x)在(0,1)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a≥4時(shí)，f(x)在(0,1)無(wú)零點(diǎn)。（ⅱ）若?3<a<4，則f(x)在(0,1)單調(diào)遞減，在(?∞,0)和(1,+∞)單調(diào)遞增，因此在(0,1)中，當(dāng)x=?a/3時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為(2a?a2/3)/3。若?3<a<?4/3，則(2a?a2/3)/3<0，因此f(x)在(0,1)有無(wú)零點(diǎn)。若?4/3≤a<4/