考點34 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系9種常見考法歸類（原卷版）

考點34空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系9種常見考法歸類考點一平面的概念及基本性質(zhì)考點二證明“點共面”、“線共面”考點三證明“點共線”及“線共點”考點四平面基本性質(zhì)的應(yīng)用考點五判斷兩條直線的位置關(guān)系考點六等角定理考點七異面直線所成的角考點八空間直線與平面位置關(guān)系判斷考點九平面與平面位置關(guān)系的判斷1.平面的幾個特點平面是平的；平面是沒有厚度的；(3)平面是無限延展而沒有邊界的2.三種語言的轉(zhuǎn)換方法(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示．(2)要注意符號語言的意義，如點與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”，直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”．提醒：根據(jù)符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別．3.點、直線、平面之間的基本位置關(guān)系及語言表達文字語言符號語言圖形語言A在l上A∈lA在l外AlA在α內(nèi)A∈αA在α外Aαl與m平行l(wèi)

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ml，m相交于Al∩m＝Al與m異面l在α內(nèi)l?αl與α平行l(wèi)

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αl，α相交于Al∩α＝Al在α外lαα，β相交于lα∩β＝lα與β平行α

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β4.平面的基本性質(zhì)(1)基本性質(zhì)基本事實文字語言圖形語言符號語言作用基本事實1過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面A，B，C三點不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α確定平面；判定點線共面基本事實2如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α確定直線在平面內(nèi)；判定點在平面內(nèi)基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l判定兩平面相交；判定點在直線上(2)基本事實1與2的推論推論文字語言圖形語言符號語言作用推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面A?l?有且只有一個平面α，使A∈α，l?α（1）判定若干條直線共面的依據(jù)（2）判定若干平面重合的依據(jù)（3）判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面a∩b＝P?有且只有一個平面α，使a?α，b?α推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面a∥b?有且只有一個平面α，使a?α，b?α5.證明點、線共面、點共線、線共點問題的常用方法證明點、線共面問題的常用方法(1)先由部分點、線確定一個面，再證其余的點、線都在這個平面內(nèi)，即用“納入法”；(2)先由其中一部分點、線確定一個平面α，其余點、線確定另一個平面β，再證平面α與β重合，即用“同一法”；(3)假設(shè)不共面，結(jié)合題設(shè)推出矛盾，即用“反證法”．要證明點共線問題(1)公理法：先找出兩個平面，然后證明這些點都是這兩個平面的公共點，再根據(jù)公理3證明這些點都在交線上(2)同一法：選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其余點也在該直線上.證明線共點問題的方法證明若干線共點的基本思路是先找出兩條直線的交點，再證明其他直線都經(jīng)過該點．而證明直線過該點的方法是證明點是以該直線為交線的兩個平面的公共點．6.證明三點共線的方法(1)首先找出兩個平面，然后證明這三點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)基本事實3可知，這些點都在兩個平面的交線上．(2)選擇其中兩點確定一條直線，然后證明另一點也在此直線上．7.判斷四點共線的方法有：（1）四點中兩點連線所成的兩條直線平行、相交或重合；（2）由其中三點確定一個平面，再證明第四點在這個平面內(nèi)；（3）若其中三點共線，則此四點一定共面.8.證明三線共點的步驟(1)首先說明兩條直線共面且交于一點；(2)說明這個點在另兩個平面上，并且這兩個平面相交；(3)得到交線也過此點，從而得到三線共點．9.證明四點共面的基本思路：一是直接證明，即利用基本事實或推論來直接證明；二是先由其中不共線的三點確定一個平面，再證第四個點也在這個平面內(nèi)即可；10.空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系(1)空間中直線與直線的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形符號共面情況公共點個數(shù)共面直線相交直線在同一個平面內(nèi)1平行直線a∥b在同一個平面內(nèi)0異面直線不同在任何一個平面內(nèi)0(2)空間中直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線在平面內(nèi)直線與平面相交直線與平面平行公共點個數(shù)無數(shù)個10圖形表示符號∥當(dāng)直線與平面相交或平行時，直線不在平面內(nèi)，也稱為直線在平面外.(3)空間中平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系兩個平面相交兩個平面平行公共點個數(shù)有一條公共直線0符號表示α∩β＝aα∥β圖形表示11.平行公理平行于同一條直線的兩條直線互相平行．12.等角定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補．13.唯一性定理(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直.(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直.14.判斷空間中兩條直線位置關(guān)系的訣竅(1)建立空間觀念，全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關(guān)系．特別關(guān)注異面直線．(2)重視正方體等常見幾何體模型的應(yīng)用，會舉例說明兩條直線的位置關(guān)系．15.判定或證明兩直線異面的常用方法：(1)定義法：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線．（證明兩條直線既不平行又不相交．)(2)定理法：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線．用符號語言可表示為l?α，A?α，B∈α，B?l?AB與l是異面直線(如圖)．(3)推論法：一條直線上兩點與另一條與它異面的直線上兩點所連成的兩條直線為異面直線．(4)分別在兩個平行平面內(nèi)的直線平行或異面.16.反證法：證明立體幾何問題的一種重要方法．證明步驟有三步：第一步是提出與結(jié)論相反的假設(shè)；第二步是由此假設(shè)推出與已知條件或某一公理、定理或某一已被證明是正確的命題相矛盾的結(jié)果；第三步是推翻假設(shè)，從而原命題成立．17.直線與平面位置關(guān)系的判斷(1)空間直線與平面位置關(guān)系的分類是解決問題的突破口，這類判斷問題，常用分類討論的方法解決．另外，借助模型(如正方體、長方體等)也是解決這類問題的有效方法．(2)要證明直線在平面內(nèi)，只要證明直線上兩點在平面α內(nèi)，要證明直線與平面相交，只需說明直線與平面只有一個公共點，要證明直線與平面平行，則必須說明直線與平面沒有公共點.18.平面與平面的位置關(guān)系的判斷方法(1)平面與平面相交的判斷，主要是以基本事實3為依據(jù)找出一個交點．(2)平面與平面平行的判斷，主要是說明兩個平面沒有公共點．19.常見的平面和平面平行的模型(1)棱柱、棱臺、圓柱、圓臺的上下底面平行；(2)長方體的六個面中，三組相對面平行.20.異面直線所成的角(1)定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角或直角叫作異面直線a，b所成的角(或夾角)．(2)范圍：.21.求異面直線所成的角的方法(1)求異面直線所成的角常采用“平移線段法”，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補形平移．計算異面直線所成的角通常放在三角形中進行．平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸為共面問題來解決，具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為兩條異面直線所成的角．求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍．(2)向量法(基底法、坐標(biāo)法)求異面直線所成的角根據(jù)題意，確定兩異面直線各自的方向向量a，b，則兩異面直線所成角θ滿足cosθ＝.考點一平面的概念及基本性質(zhì)1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列命題：①書桌面是平面；②有一個平面的長是50m，寬為20m；③平面是絕對平的、無厚度、可以無限延展的抽象的數(shù)學(xué)概念．其中正確命題的個數(shù)為______．2．（2023春·高三課時練習(xí)）下面說法中正確的是（

）A．任何一個平面圖形都是一個平面B．平靜的太平洋面是平面C．平面就是平行四邊形D．在幾何體的直觀圖中，平面多邊形和圓、橢圓都可以表示一個平面3．（2023·全國·高三對口高考）一個平面把空間分為__________部分；兩個平面把空間分為__________部分；三個平面把空間分為__________部分．4．（2023·高三課時練習(xí)）已知A、B、C為空間中的三個點，則經(jīng)過這三個點的平面有______個．5．（2023·高三課時練習(xí)）一條直線和直線外三點最多可以確定_________個平面.考點二證明“點共面”、“線共面”6．（2023·全國·高三對口高考）給出下列命題：①梯形的四個頂點共面；②三條平行直線都與另一條直線相交，則這四條直線共面；③有三個公共點的兩個平面重合；④每兩條都相交并且交點全部不同的四條直線共面．其中正確的命題為__________．7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知空間四個點，則“這四個點中有三點在同一直線上”是“這四個點在同一平面內(nèi)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，則下列說法中正確的是（

）A．直線與直線共面 B．直線與直線異面C．直線與直線共面 D．直線與直線異面9．（2023·吉林·長春吉大附中實驗學(xué)校?？寄M預(yù)測）在長方體中，直線與平面的交點為為線段的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．三點共線 B．四點異不共面C．四點共面 D．四點共面10．（2023·全國·高三對口高考）如圖，正方體中，E、F分別是、上的點，并且．求證：B、E、、F共面．

11．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖所示，在直四棱柱中，，，，P為棱上一點，且（為常數(shù)），直線與平面相交于點Q．則線段的長為________．12．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，已知四棱錐的底面ABCD為平行四邊形，M是棱上靠近點D的三等分點，N是的中點，平面AMN交于點H，則，_______.13．（2023·廣東·高三專題練習(xí)）圖1是由矩形，和菱形組成的一個平面圖形，其中，，，將其沿，折起使得與重合，連接，如圖2.(1)證明：圖2中的，，，四點共面，且平面平面；(2)求圖2中的直線與平面所成角的正弦值.14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在棱長為1的正方體中，為底面的中心，是棱上一點，且，，為線段的中點，給出下列命題，其中正確的是（

）A．與共面；B．三棱錐的體積跟的取值無關(guān)；C．當(dāng)時，；D．當(dāng)時，過，，三點的平面截正方體所得截面的周長為．考點三證明“點共線”及“線共點”15．（2023·全國·高三對口高考）如圖，正方體中，O是中點，與截面交于P，那么、P、O三點共線，其理由是__________．

16．（2023·高三課時練習(xí)）在空間四邊形ABCD的各邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點，若EF∩GH＝P，則點P（

）A．一定在直線BD上 B．一定在直線AC上C．既在直線AC上也在直線BD上 D．既不在直線AC上也不在直線BD上17．（2023·北京朝陽·高三專題練習(xí)）在長方體中，與平面相交于點M，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B．C． D．18．（2023·全國·高三對口高考）已知在平面外，三邊、、所在的直線分別與平面交于．求證：共線．19．（2023·全國·高三對口高考）如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)設(shè)EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線.20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在正方體中，E，F(xiàn)分別是的中點．(1)求證：三線交于點P；(2)在（1）的結(jié)論中，G是上一點，若FG交平面ABCD于點H，求證：P，E，H三點共線．21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求證：（1）D，B，E，F(xiàn)四點共面.（2）若A1C交平面BDEF于點R，則P，Q，R三點共線.22．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在正四棱柱中，O為的中點，且點E既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)．

(1)證明：；(2)若，，E為AO的中點，E在底面ABCD內(nèi)的射影為H，指出H所在的位置（需要說明理由），并求線段的長．23．【多選】（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知正方體的棱長為1，為底面的中心，交平面于點，點為棱的中點，則（

）

A．，，三點共線 B．異面直線與所成的角為C．點到平面的距離為 D．過點，，的平面截該正方體所得截面的面積為24．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）如圖所示，長方體中，，O是的中點，直線交平面于點M，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．A，M，O三點共線B．的長度為1C．直線與平面所成角的正切值為D．的面積為25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四面體中，分別為的中點，分別在上，且.給出下列四個命題：①平面；②平面；③平面；④直線交于一點.其中正確命題的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．426．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB和BC上的點，G，H分別是CD和AD上的點，若EH與FG相交于點K.求證：EH，BD，F(xiàn)G三條直線相交于同一點.27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點．求證：（1）E，C，D1，F(xiàn)四點共面；（2）CE，D1F，DA三線共點．28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，，，分別是菱形的邊，，，上的點，且，，，，現(xiàn)將沿折起，得到空間四邊形，在折起過程中，下列說法正確的是（

）A．直線，有可能平行B．直線，一定異面C．直線，一定相交，且交點一定在直線上D．直線，一定相交，但交點不一定在直線上29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在長方體中，，，，分別為，，，的中點，且．(1)證明：直線，，交于一點；(2)設(shè)直線，，交于點，記關(guān)于平面的對稱點為，求二面角的正弦值．考點四平面基本性質(zhì)的應(yīng)用30．（2023·云南昆明·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正方體ABCD－A1B1C1D1，平面滿足，若直線AC到平面的距離與BC1到平面的距離相等，平面與此正方體的面相交，則交線圍成的圖形為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形31．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，為正方體.任作平面與對角線垂直，使得與正方體的每個面都有公共點，記這樣得到的截面多邊形的面積為S，周長為l.則（

）

A．S為定值 B．S不為定值 C．l為定值 D．l不為定值32．（2023·河北唐山·唐山市第十中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，正方體的棱長為4，點P，Q，R分別在棱，，上，且，則以平面截正方體所得截面為底面，為頂點的棱錐的體積為___________.

33．（2023·高三課時練習(xí)）如圖，正方體的棱長為4cm，分別是和的中點．(1)畫出過點的平面與平面及平面的兩條交線；(2)設(shè)過的平面與交于點P，求PM+PN的值．34．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在長方體中，點，分別是棱，的中點，點為對角線，的交點，若平面平面，，且，則實數(shù)（

）A． B． C． D．35．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在棱長為3的正方體中，已知點P為棱上靠近點的三等分點，點Q為棱CD上一動點.若M為平面與平面ABCD的公共點，且點M在正方體的表面上，則所有滿足條件的點M構(gòu)成的區(qū)域面積為___________.考點五判斷兩條直線的位置關(guān)系36．（2023·全國·高三對口高考）兩條直線分別和異面直線都相交，則直線的位置關(guān)系是（

）A．一定是異面直線 B．一定是相交直線C．可能是平行直線 D．可能是異面直線，也可能是相交直線37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知a，b，l是三條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，，則C．若，則 D．a(chǎn)，b一定是異面直線38．（2023·廣東·高三專題練習(xí)）已知，，是三個平面，，，，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線b與直線c可能是異面直線 B．直線a與直線c可能平行C．直線a，b，c必然交于一點（即三線共點） D．直線c與平面可能平行39．（2023·湖北·荊門市龍泉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知四棱錐的所有棱長相等，M，N分別是棱PD，BC的中點，則（

）A． B．面C． D．面40．（2023·全國·高三對口高考）如圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中，（1）與平行；（2）與是異面直線；（3）與成角；（4）與垂直.以上四個命題中，正確的命題的序號是：_________．41．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，已知正方體，點在直線上，為線段的中點，則下列命題中假命題為（

）A．存在點，使得B．存在點，使得C．直線始終與直線異面D．直線始終與直線異面42．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，E、F分別為邊AD、BC上的點，且，，設(shè)P、Q分別為線段AF、CE的中點，將四邊形ABFE沿著直線EF進行翻折，使得點A不在平面CDEF上，在這一過程中，下列關(guān)系不能恒成立的是（

）A．直線直線CD B．直線直線EDC．直線直線PQ D．直線平面43．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在菱形中，，分別是線段的中點，將沿直線折起得到三棱錐，則在該三棱錐中，下列說法正確的是（

）A．直線平面B．直線與是異面直線C．直線與可能垂直D．若，則二面角的大小為考點六等角定理44．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）我們知道，平面幾何中有些正確的結(jié)論在空間中不一定成立．下面給出的平面幾何中的四個真命題，在空間中仍然成立的有（

）A．平行于同一條直線的兩條直線必平行B．垂直于同一條直線的兩條直線必平行C．一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補D．一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補45．（2023·全國·高三對口高考）下列說法中，正確的是__________．①空間中，兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等或互補；②垂直于同一條直線的兩條直線平行；③分別和兩條異面直線都相交的兩條直線一定是異面直線；④若、是異面直線，、是異面直線，則、也是異面直線；⑤一條直線和兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是相交或異面．46．（2023·高三課時練習(xí)）若空間兩個角與的兩邊對應(yīng)平行，當(dāng)時，則______．考點七異面直線所成的角47．（2023·全國·高三對口高考）如圖是正方體的平面展開圖，在原正方體中：①與所在直線平行；②與所在直線異面；③與所在直線互相垂直；④與所在直線成角是．以上四個命題中，正確命題的序號是（

）

A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④48．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）在長方體中，，連接AC，，則（

）

A．直線與平面ABCD所成角為B．直線與平面所成角為C．直線與直線所成角為D．49．（2023春·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知三棱柱中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．50．（2023·山東濟寧·嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）在棱長為2的正方體中，為底面的中心，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值是________.51．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？既＃┱庵睦忾L均相等，E是的中點，則異面直線與BE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．52．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在正四棱臺中，，其體積為為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．53．（2023·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）在正三棱柱中，，D為的中點，E為的中點，則異面直線AD與BE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．54．（2023·江西撫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在四面體ABCD中，，E為CD的中點，△ACE為等邊三角形，則異面直線AC與BE所成角為（

）A． B． C． D．55．（2023·全國·高三對口高考）如圖所示，在三棱錐中，，M在內(nèi)，，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．56．（2023春·陜西西安·高三?？茧A段練習(xí)）在長方體中，與和所成的角均為，則下面說法正確的是（

）A． B．C． D．57．（2023春·上海寶山·高三上海交大附中?？茧A段練習(xí)）如圖所示，是長方體，其中，，點是棱上一點，若異面直線與互相垂直，則_________．

考點八空間直線與平面位置關(guān)系判斷58．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）已知直線，平面，滿足