專題4-1任意角與弧度制三角函數的概念6大考點（原卷版）

專題4-1任意角與弧度制、三角函數的概念6大考點知識點一任意角的定義1、定義：角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形。2、角的表示：（1）始邊：射線的起始位置．（2）終邊：射線的終止位置．（3）頂點：射線的端點O．（4）記法：圖中的角可記為“角”或“”或“”．3、角的分類：（1）正角：按照逆時針方向旋轉形成的角叫做正角；（2）負角：按順時針方向旋轉形成的角叫做負角；（3）零角：一條射線沒有作任何旋轉形成的角叫做零角知識點二象限角與軸線角1、象限角的定義與表示：在直角坐標系中，角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的正半軸重合，角的終邊落在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角。象限角集合表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角2、軸線角的定義與表示：在直角坐標系中，角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的正半軸重合，角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限，可稱為軸線角。角的終邊位置集合表示軸的非負半軸軸的非正半軸軸上軸非負半軸軸非正半軸軸上知識點三角度制與弧度制1、角度制與弧度制的定義（1）規(guī)定周角的為1度的角，這種用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制.（2）弧度制的定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度，這種用弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制.（3）弧度制與角度制的區(qū)別與聯系區(qū)別（1）單位不同，弧度制以“弧度”為度量單位，角度制以“度”為度量單位；（2）定義不同.聯系不管以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個與圓的半徑大小無關的定值.2、角度制與弧度制的換算角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度數×eq\f(π,180)＝弧度數弧度數×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度數3、一些特殊角的度數與弧度數的對應表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0知識點四弧長與扇形面積公式設扇形的半徑為，弧長為，或°為其圓心角，則弧長公式與扇形面積公式如下：類別/度量單位角度制弧度制扇形的弧長扇形的面積知識點五三角函數的定義與符號1、三角函數的定義：設是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點，則：叫做的正弦函數，記作.即；叫做的余弦函數，記作.即；叫做的正切函數，記作.即?！狙a充】三角函數另一種定義設點（不與原點重合）為角終邊上任意一點，點P與原點的距離為：，則：，，.三角函數值只與角的大小有關，而與終邊上點P的位置無關2、三角函數的符號：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．一、確定角終邊所在象限的方法法1分類討論法：利用已知條件寫出的范圍（用表示），由此確定的范圍，在對進行分類討論，從而確定所在象限。法2幾何法：先把各象限分為等份，再從軸的正方向的上方起，逆時針依次將各區(qū)域標上一、二、三、四……則原來是第幾象限的角，標號為幾的區(qū)域即角終邊所在的區(qū)域。二、三角函數的定義中常見的三種題型及解決辦法1、已知角的終邊上一點的坐標，求角的三角函數值方法：先求出點到原點的距離，再利用三角函數的定義求解。2、已知角的一個三角函數值和終邊上一點的橫坐標或縱坐標，求與角有關的三角函數值方法：先求出點到原點的距離（帶參數），根據已知三角函數值及三角函數的定義建立方程，求出未知數，從而求解問題。3、已知角的終邊所在的直線方程（），求角的三角函數值方法：先設出終邊上一點，求出點到原點的距離，再利用三角函數的定義求解，注意的符號，對進行討論。若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角的三角函數值。考點一終邊相同的角的表示【例1】（2022·全國·高三專題練習）下列說法中正確的是（）A．第二象限角大于第一象限角B．若，則為第一或第二象限角C．鈍角一定是第二象限角D．三角形的內角是第一或第二象限角【變式1-1】（2023·全國·高三專題練習）與終邊相同的角的表達式中，正確的是（）A．B．C．D．【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習）與終邊相同的最小正角是.【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習）終邊落在直線上的角的集合為（）A．B．C．D．【變式1-4】（2023·全國·高三專題練習）集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（）A．B．C．D．考點二根據已知角確定某角的范圍【例2】（2023·全國·高三專題練習）若是第四象限角，則是第（）象限角A．一B．二C．三D．四【變式2-1】（2022·全國·高三專題練習）若α是第四象限角，則90o－α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【變式2-2】（2023·全國·高三專題練習）若，則的終邊在（

）A．第二或第三象限B．第一或第三象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限【變式2-3】（2022·全國·高三專題練習）（多選）若為第一象限角，則的終邊所在的象限可能是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考點三等分角與倍角的象限問題【例3】（2022·全國·高三專題練習）若角是第一象限角，則是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角【變式3-1】（2022·全國·高三專題練習）若是鈍角，則是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【變式3-2】（2022·全國·高三專題練習）已知角的終邊與的終邊重合，則的終邊不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【變式3-3】（2023·全國·高三專題練習）已知角第二象限角，且，則角是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角考點四扇形弧長與面積公式【例4】（2023春·上海松江·高三上海市松江二中?？茧A段練習）已知扇形的圓心角為，扇形的面積為，則該扇形的周長為.【變式4-1】（2023·全國·高三專題練習）若圓弧長度等于圓內接正三角形的邊長，則其圓心角的弧度數為()A．B．C．3D．【變式4-2】（2023·全國·高三專題練習）如圖，已知扇形的周長為，當該扇形的面積取最大值時，弦長（）A．B．C．D．【變式4-3】（2023·貴州貴陽·校聯考三模）《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經驗公式為：弧田面積（），弧田（如圖）由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.現已知弧田面積為，且弦是矢的倍，按照上述經驗公式計算所得弧田的弧長是（）

A．B．C．D．【變式4-4】（2023·全國·高三專題練習）如圖是杭州年第屆亞運會會徽，名為“潮涌”，形象象征著新時代中國特色社會主義大潮的涌動和發(fā)展．如圖是會徽的幾何圖形，設弧長度是，弧長度是，幾何圖形面積為，扇形面積為，若，則（）A．B．C．D．考點五三角函數的定義及應用【例5】（2023·上海浦東新·華師大二附中?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，角以為始邊，其終邊經過點，則.【變式5-1】（2023·全國·高三專題練習）已知的頂點在原點，始邊與x軸正半軸重合，點是終邊上一點，則等于.【變式5-2】（2023·全國·高三專題練習）已知第二象限角的終邊與單位圓交于，則（）A．B．C．D．1【變式5-3】（2023春·北京海淀·高三北京市八一中學校考階段練習）已知角終邊經過點，且，則的值為．【變式5-4】（2023·河北·秦皇島一中?？级＃ǘ噙x）在平面直角坐標系中，角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，且，則的值可以是（）A．B．1C．0D．2【變式5-5】（2023·全國·高三專題練習）已知點是角終邊上一點，則的值為（）A．B．C．D．考點六判斷三角函數的符號【例6】（2022秋·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學?？茧A段練習）點在直角坐標平面上位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【變式6-1】（2023·全國·高三專題練習）已知，，則角的終邊位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【變式6-2】（2023·全國·高三專題練習）已知點是第二象限的點，則的終邊位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【變式6-3】（2023秋