高等數(shù)學(xué)練習(xí)答案12-2

習(xí)題1221求下列微分方程的通解(1)xyylny0解分離變量得兩邊積分得即ln(lny)=lnx+lnC,故通解為y=eCx.(2)3x25x5y0解分離變量得5dy(3x25x)dx兩邊積分得即故通解為其中為任意常數(shù)(3)解分離變量得兩邊積分得即arcsinyarcsinxC故通解為ysin(arcsinxC)(4)yxya(y2y)解方程變形為(1xa)yay2分離變量得兩邊積分得即故通解為其中CaC1為任意常數(shù)(5)sec2xtanydxsec2ytanxdy0解分離變量得兩邊積分得即ln(tany)ln(tanx)lnC故通解為tanxtanyC(6)解分離變量得10ydy10xdx兩邊積分得即或10y10xC故通解為ylg(C10x)(7)(exyex)dx(exyey)dy0解方程變形為ey(ex1)dyex(1ey)dx分離變量得兩邊積分得所以特解為(4)cosydx(1ex)sinydy0解分離變量得兩邊積分得即ln|cosy|ln(ex1)ln|C|或cosyC(ex1)由得所以特解為(5)xdy2ydx0y|x21解分離變量得兩邊積分得即lny2lnxlnC或yCx2由y|x21得C×221C4所以特解為3.有一盛滿了水的圓錐形漏漏斗,高為10cm,頂角為60°,漏斗下面有面積為0.5cm2的孔,求水面高度變化的規(guī)律及流完所需的時間.解設(shè)t時該已流出的水的體積為V,高度為x則由水力學(xué)有,即.又因?yàn)?故,從而,即,因此.又因?yàn)楫?dāng)t=0時,x=10,所以,故水從小孔流出的規(guī)律為.令x=0,得水流完所需時間約為10s.4.質(zhì)量為1g(克)的質(zhì)點(diǎn)受外力作用作直線運(yùn)動,這外力和時間成正比,和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的速度成反比.在t=10s時,速度等于50cm/s,外力為4gcm/s2,解已知,并且法t=10s時,v=50cm/s,F=4gcm/s2,故,從而k=20,因此.又由牛頓定律,F=ma,即,故vdv=20tdt.這就是速度與時間應(yīng)滿足的微分方程.解之得,即.由初始條件有,C=250.因此.當(dāng)t=60s時,.5.鐳的衰變有如下的規(guī)律:鐳的衰變速度與它的現(xiàn)存量R成正比.由經(jīng)驗(yàn)材料得知,鐳經(jīng)過1600年后,只余原始量R0的一半.試求鐳的量R與時間t的函數(shù)關(guān)系.解由題設(shè)知,,即,兩邊積分得lnR=-lt+C1,從而.因?yàn)楫?dāng)t=0時,R=R0,故R0=Ce0=C,即R=R0e-lt.又由于當(dāng)t=1600時,,故,從而.因此.6.一曲線通過點(diǎn)(2,3),它在兩坐標(biāo)軸間的任一切線線段均被切點(diǎn)所平分,求這曲線方程.解設(shè)切點(diǎn)為P(x,y),則切線在x軸,y軸的截距分別為2x,2y,切線斜率為,故曲線滿足微分方程:,即,從而lny+lnx=lnC,xy=C.因?yàn)榍€經(jīng)過點(diǎn)(2,3),所以C=2′3=6,曲線方程為xy=6.7.小船從河邊點(diǎn)O處出發(fā)駛向?qū)Π?兩岸為平行直線).設(shè)船速為a,船行方向始終與河岸垂直,又設(shè)河寬為h,河中任一點(diǎn)處的水流速度與該點(diǎn)到兩岸距離的乘積成正比(比例系數(shù)為k).求小船的航行路線.解建立坐標(biāo)系如圖.設(shè)t時刻船的位置為(x,y),此時水速為,故dx=ky(h-y)dt.又由已知,y=at,代入