高等數(shù)學(xué)微積分復(fù)習(xí)題

第五章一元函數(shù)積分學(xué)1．基本要求（1）理解原函數(shù)與不定積分的概念，熟記基本積分公式，掌握不定積分的基本性質(zhì)。（2）掌握兩種積分換元法，特別是第一類換元積分法（湊微分法）。（3）掌握分部積分法，理解常微分方程的概念，會解可分離變量的微分方程，牢記非齊次線性微分方程的通解公式。（4）理解定積分的概念和幾何意義，掌握定積分的基本性質(zhì)。（5）會用微積分基本公式求解定積分。（6）掌握定積分的湊微分法和分部積分法。（7）知道廣義積分的概念，并會求簡單的廣義積分。（8）掌握定積分在幾何及物理上的應(yīng)用。特別是幾何應(yīng)用。2．本章重點難點分析本章重點：不定積分和定積分的概念及其計算；變上限積分求導(dǎo)公式和牛頓—萊布尼茨公式；定積分的應(yīng)用。本章難點：求不定積分，定積分的應(yīng)用。重點難點分析：一元函數(shù)積分學(xué)是微積分學(xué)的一個重要組成部分，不定積分可看成是微分運算的逆運算，熟記基本積分公式，和不定積分的性質(zhì)是求不定積分的關(guān)鍵，而定積分則源于曲邊圖形的面積計算等實際問題，理解定積分的概念并了解其幾何意義是應(yīng)用定積分的基礎(chǔ)。3．本章典型例題分析例1：求不定積分解：被積函數(shù)是一個復(fù)合函數(shù)，它是由和復(fù)合而成，因此，為了利用第一換元積分公式，我們將變形為，故有例2：求不定積分解：為了消去根式，利用三解恒等式，可令，則，，因此，由第二換元積分法，所以積分化為由于，所以，，利用直角三角形直接寫出，于是例3：求不定積分分析：如果被積函數(shù)中沒有x或sinx，那么這個積分很容易計算出來，所以可以考慮用分部積分求此不定積分，如果令u=x，那么利用分部積分公式就可以消去x（因為）解令，則，.于是。熟悉分部積分公式以后，沒有必要明確的引入符號，而可以像下面那樣先湊微分，然后直接用分部積分公式計算：例4：求微分方程的通解。解：原方程為可分離變量的方程，移項分離變量得，兩端積分得：，得從而。因為仍然是常數(shù)，把它記做C，故原方程的通解為其中C為任意常數(shù)例5：求微分方程的通解解：這是一個一階線性非齊次方程，通解公式為在本題中，由通解公式知=即原方程的通解為：（3）了解二重積分的概念與基本性質(zhì)，掌握二重積分的計算方法。2．本章重點難點分析本章重點：二元函數(shù)的定義域、多元復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)和全微分以及二重積分的計算方法。本章難點：一階偏導(dǎo)數(shù)、全微分以及二重積分的計算。3．本章典型例題分析例1.求函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù).解:把y看成常數(shù),對x求導(dǎo).例2.設(shè)求解：根據(jù)全微分公式，先求兩個偏導(dǎo)數(shù)；。所以例3.計算二重積分，其中是由直線及所圍成的閉區(qū)域．解區(qū)域如圖所示，可以將它看成一個-型區(qū)域，即．所以例4.計算二重積分，其中是有拋物線及所圍成的有界閉區(qū)域．解：如圖，區(qū)域可以看成是－型區(qū)域，它表示為，所以．一、選擇題1、（ ）．（A） （B） （C） （D）2、若是的原函數(shù)，則（）.（A）（B）（C）（D）3、若，則（）.（A）（B）（C）（D）4、（）.（A）（B）（C）（D）5、（）。（A）2arctant（B）（C）（D）二、填空：1、已知的一個原函數(shù)為，則=．2、若存在且連續(xù)，則．3、若，則=.4、.5、.6、＝.7、＝.8、已知在上連續(xù)，且，且設(shè)，則.9、 .10、設(shè)，則 .11、 .12、的階數(shù)是 .13、的階數(shù)是 .四、求不定積分（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）(13)（14）(15)（16）（18）(19)（20）（21）求由曲線，直線所圍成的圖形的面積.（22）求由曲線與直線，圍成的平面圖形面積.（23）,求，.（24），求，.（25）,求.（26）,求.（27），其中Ｄ是由直線及所圍成的平面區(qū)域.（28）,其中D由直線與所圍成.（29）其中D由拋物線和直線所圍成.（30）解微分方程：.（31）解微分方程：.（32）某廠生產(chǎn)某種商品千件的邊際成本為（萬元/千件），其固定成本是9800（萬元）.求（1）產(chǎn)量為多少