高中化高三大題練習(xí)解題7解析幾何第30練橢圓問(wèn)題中最值得關(guān)注的基本題型

高中化學(xué)教學(xué)同步課件專題7解析幾何第30練橢圓問(wèn)題中最值得關(guān)注的基本題型題型分析·高考展望橢圓問(wèn)題在高考中占有比較重要的地位，并且占的分值也較多.分析歷年的高考試題，在選擇題、填空題、解答題中都涉及到橢圓的題，所以我們對(duì)橢圓知識(shí)必須系統(tǒng)的掌握.對(duì)各種題型，基本的解題方法也要有一定的了解.常考題型精析高考題型精練題型一利用橢圓的幾何性質(zhì)解題題型二直線與橢圓相交問(wèn)題題型三利用“點(diǎn)差法，設(shè)而不求思想”解題?？碱}型精析題型一利用橢圓的幾何性質(zhì)解題例1如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓

的離心率e＝

，F(xiàn)，A分別是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，求

的最大值和最小值.解設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0).由題意知a＝2，點(diǎn)評(píng)熟練掌握橢圓的幾何性質(zhì)是解決此類問(wèn)題的根本，利用離心率和橢圓的范圍可以求解范圍問(wèn)題、最值問(wèn)題，利用a、b、c之間的關(guān)系和橢圓的對(duì)稱性可構(gòu)造方程.(1)求E的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.解

當(dāng)l⊥x軸時(shí)不合題意，故設(shè)l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.且滿足Δ>0，題型二直線與橢圓相交問(wèn)題例2

(2015·山東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：

(a＞b＞0)的離心率為

，左，右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2.以F1為圓心、以3為半徑的圓與以F2為圓心、以1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓C上.(1)求橢圓C的方程；解由題意知2a＝4，則a＝2，(2)設(shè)橢圓E：

P為橢圓C上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線y＝kx＋m交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，射線PO交橢圓E于點(diǎn)Q.(ⅱ)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).將y＝kx＋m代入橢圓E的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，由Δ＞0，可得m2＜4＋16k2，

①因?yàn)橹本€y＝kx＋m與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，m)，將y＝kx＋m代入橢圓C的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2. ②由①②可知0＜t≤1，由(ⅰ)知，△ABQ面積為3S，點(diǎn)評(píng)解決直線與橢圓相交問(wèn)題的一般思路：將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，由判別式范圍或根與系數(shù)的關(guān)系解決.求范圍或最值問(wèn)題，也可考慮求“交點(diǎn)”，由“交點(diǎn)”在橢圓內(nèi)(外)，得出不等式，解不等式.變式訓(xùn)練2

(2014·四川)已知橢圓C：

＝1(a>b>0)的焦距為4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；解得a2＝6，b2＝2，(2)設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線x＝－3上任意一點(diǎn)，過(guò)F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q.①證明OT平分線段PQ(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))；證明由(1)可得F的坐標(biāo)是(－2,0)，設(shè)T點(diǎn)的坐標(biāo)為(－3，m)，直線PQ的方程是x＝my－2.當(dāng)m＝0時(shí)，直線PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式.消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，其判別式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0，所以點(diǎn)M在直線OT上，因此OT平分線段PQ.②當(dāng)

最小時(shí)，求點(diǎn)T的坐標(biāo).題型三利用“點(diǎn)差法，設(shè)而不求思想”解題

兩式相減并整理可得，點(diǎn)評(píng)當(dāng)涉及平行弦的中點(diǎn)軌跡，過(guò)定點(diǎn)的弦的中點(diǎn)軌跡，過(guò)定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦所在直線方程時(shí)，用“點(diǎn)差法”來(lái)求解.變式訓(xùn)練3

已知橢圓

＝1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為B(0,4)，離心率e＝

，直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn).(1)若直線l的方程為y＝x－4，求弦|MN|的長(zhǎng).則4x2＋5y2＝80與y＝x－4聯(lián)立，(2)如果△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)F，求直線l方程的一般式.解如圖，橢圓右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0)，設(shè)線段MN的中點(diǎn)為Q(x0，y0)，由三角形重心的性質(zhì)知又B(0,4)，∴(2，－4)＝2(x0－2，y0)，故得x0＝3，y0＝－2，即得Q的坐標(biāo)為(3，－2).設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，即6x－5y－28＝0.高考題型精練

123456789101112高考題型精練123456789101112所以c＝2，a＝4，將x＝－2代入橢圓方程，解得y＝±3，所以|AB|＝6.答案B高考題型精練123456789101112高考題型精練123456789101112答案A高考題型精練

123456789101112

高考題型精練令Δ＝122－4×9(r2－46)＝0，123456789101112答案D高考題型精練

123456789101112解析由題意設(shè)焦距為2c，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2m，不妨令P在雙曲線的右支上.由雙曲線的定義知|PF1|－|PF2|＝2m，

①高考題型精練123456789101112由橢圓的定義知|PF1|＋|PF2|＝2a，

②又PF1⊥PF2，

∴∠F1PF2＝90°，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，

③①式的平方加上②式的平方得|PF1|2＋|PF2|2＝2a2＋2m2，

④答案B高考題型精練123456789101112高考題型精練解析設(shè)M(x0，y0)，123456789101112高考題型精練∵x0∈[－a，a]，123456789101112∴c2≤b2≤2c2，∴c2≤a2－c2≤2c2，∴2c2≤a2≤3c2，高考題型精練123456789101112答案A高考題型精練6.(2014·遼寧)已知橢圓C：

點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合.若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在C上，則|AN|＋|BN|＝________.123456789101112如圖，設(shè)MN的中點(diǎn)為D，則|DF1|＋|DF2|＝2a＝6.高考題型精練123456789101112∵D，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為MN，AM，BM的中點(diǎn)，∴|BN|＝2|DF2|，|AN|＝2|DF1|，∴|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)＝12.答案12高考題型精練7.(2014·江西)過(guò)點(diǎn)M(1,1)作斜率為－

的直線與橢圓C：

(a>b>0)相交于A，B兩點(diǎn)，若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率等于________.123456789101112高考題型精練123456789101112x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，高考題型精練123456789101112∴a2＝2b2.又∵b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，高考題型精練

123456789101112高考題型精練123456789101112高考題型精練123456789101112高考題型精練9.(2014·江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓

1(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，b)，連接BF2并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)C，連接F1C.123456789101112高考題型精練123456789101112解設(shè)橢圓的焦距為2c，則F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0).高考題型精練123456789101112高考題型精練123456789101112(2)若F1C⊥AB，求橢圓離心率e的值.解因?yàn)锽(0，b)，F(xiàn)2(c,0)在直線AB上，高考題型精練123456789101112又AC垂直于x軸，由橢圓的對(duì)稱性，高考題型精練123456789101112又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2.高考題型精練10.(2015·重慶)如圖，橢圓

＝1(a＞b＞0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，且PQ⊥PF1.123456789101112解由橢圓的定義，得高考題型精練設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知PF1⊥PF2，123456789101112高考題型精練(2)若|PF1|＝|PQ|，求橢圓的離心率e.解方法一如圖，設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓上，且PF1⊥PF2，則123456789101112高考題型精練123456789101112由|PF1|＝|PQ|＞|PF2|得x0＞0，從而由橢圓的定義，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，從而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|.高考題型精練123456789101112高考題型精練123456789101112方法二如圖，由橢圓的定義，得|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.從而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|.高考題型精練123456789101112高考題型精練

123456789101112解過(guò)點(diǎn)(c,0)，(0，b)的直線方程為bx＋cy－bc＝0，高考題型精練123456789101112

易知，AB與x軸不垂直，設(shè)其方程為y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0，高考題型精練123456789101112高考題型精練123456789101112從而x1x2＝8－2b2.高考題型精練123456789101112解得b2＝3，方法二由(1)知，橢圓E的方程為x2＋4