函數(shù)的奇偶性(2) 課件-高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

3.2函數(shù)的基本性質(zhì)3.2.2函數(shù)的奇偶性(2)

奇函數(shù)偶函數(shù)定義定義域為I，如果?x∈I，都有-x∈I，且f(-x)＝-f(x)定義域為I，如果?x∈I，都有-x∈I，且f(-x)＝f(x)圖象特征關(guān)于原點對稱關(guān)于y軸對稱定義域特征關(guān)于原點對稱復(fù)習(xí)回顧

奇偶函數(shù)的運算

奇±奇=奇偶±偶=偶

奇×奇=偶奇÷奇=偶

偶×偶=偶偶÷偶=偶

奇×偶=奇奇÷偶=奇題型一

利用函數(shù)奇偶性求解析式例1(1)

已知f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x<0時，f(x)=x(x+1),則當(dāng)x>0時，f(x)=________解析：當(dāng)x>0時，-x<0，

所以f(-x)=-x(-x+1)=x(x-1)，

因為f(x)是偶函數(shù)，

所以當(dāng)x>0時，f(x)=f(-x)=x(x-1)x(x-1)題型一

利用函數(shù)奇偶性求解析式例1(2)

已知f(x),g(x)分別是R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f(x)+g(x)=3x2-x+1，試求f(x)和g(x)的表達(dá)式.解析：因為

f(x)+g(x)=3x2-x+1，

①

用-x代替①中的

x，得f(-x)+g(-x)=3x2+x+1，

因為

f(x),g(x)分別是R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，

所以

f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，

所以

-f(x)+g(x)=3x2+x+1，

②

聯(lián)立①②得，f(x)=-x，g(x)=3x2+1題型一

利用函數(shù)奇偶性求解析式鞏固練習(xí)1

已知f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)＝x2＋x，求當(dāng)x<0時，f(x)的解析式．解：當(dāng)x<0時，-x>0，

所以f(-x)=x2-x，

因為f(x)是奇函數(shù)，

所以當(dāng)x<0時，f(x)=-f(-x)=-x2+x題型一

利用函數(shù)奇偶性求解析式鞏固練習(xí)2

設(shè)f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函數(shù)f(x)，g(x)的解析式．解：因為

f(x)+g(x)=x2+2x，

①

用-x代替①中的

x，得f(-x)+g(-x)=x2-2x，

因為

f(x),g(x)分別是偶函數(shù)和奇函數(shù)，

所以

f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，

所以

f(x)-g(x)=x2-2x，

②

聯(lián)立①②得，f(x)=x2，g(x)=2x題型二

奇偶性的應(yīng)用例2

已知函數(shù)

f(x)=x5-ax3+bx+2，f(-5)=17，則f(5)的值是________解析：∵g(x)=x5-ax3+bx是奇函數(shù), ∴g(-x)=-g(x), ∵f(-5)=17=g(-5)+2, ∴g(5)=-15, ∴f(5)=g(5)+2=-15+2=-13-13題型二

奇偶性的應(yīng)用鞏固練習(xí)3

已知f(x)=ax5+bx3+cx-9，且f(-3)=12，那么f(3)=______解析：∵g(x)=ax5+bx3+cx是奇函數(shù), ∴g(-x)=-g(x), ∵f(-3)=12=g(-3)-9, ∴g(3)=-21, ∴f(3)=g(3)-9=-21-9=-30-30題型二

奇偶性的應(yīng)用鞏固練習(xí)4

若函數(shù)g(x)=f(x)+x3是偶函數(shù)，且f(-1)=2，則f(1)=______解析：∵函數(shù)g(x)=f(x)+x3是偶函數(shù), ∴g(1)=f(1)+1=g(-1)=f(-1)-1, ∵f(-1)=2, ∴f(1)=00題型三

利用奇偶性和單調(diào)性比較大小例3

若偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[5,7]上是增函數(shù)且最小值是6，則f(x)在[-7,-5]上是( )A.增函數(shù)，最大值是6 B.增函數(shù)，最小值是6C.減函數(shù)，最小值是6 D.減函數(shù)，最大值是6解析：任取x1、x2∈[-7,-5]且

x1<x2，即-7≤x1<x2≤-5，則5≤-x2<-x1≤7，

由題意可得

f(-x2)<f(-x1)，由偶函數(shù)的性質(zhì)可得

f(x1)>f(x2)，

且對任意的x∈[-7,-5],-x∈[5,7],由題意可得6=f(5)≤f(-x)≤f(7)

則6=f(-5)≤f(x)≤f(7)

因此，f(x)在[-7,-5]上是減函數(shù)，最小值是6C方法小結(jié)偶函數(shù)

y軸兩側(cè)的函數(shù)單調(diào)性相反；奇函數(shù)原點兩側(cè)的函數(shù)單調(diào)性相同；題型三

利用奇偶性和單調(diào)性比較大小鞏固練習(xí)5

設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在[0,＋∞)上單調(diào)遞增，則f(-2)，f(-π)，f(3)的大小順序是

．解析：∵f(x)是R上的偶函數(shù)， ∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，

又f(x)在[0，＋∞)上遞增，而2<3<π，

∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2).

f(-π)>f(3)>f(-2)題型三

利用奇偶性和單調(diào)性比較大小鞏固練習(xí)6

已知f(x)是定義在[-6,6]上的奇函數(shù)，且f(5)>f(2)，則f(-2)與f(-5)的大小關(guān)系是：f(-2)____f(-5)解析：因為f(x)是定義在[-6,6]上的奇函數(shù)，

所以f(5)=-f(-5)，f(2)=-f(-2).

又f(5)>f(2)，所以-f(-5)>-f(-2)，即f(-2)>f(-5).>題型四

利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式例4

若偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，且f(1)=0，則不等式f(x2-3x+3)≥0的解集是__________解：因為偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，

所以

f(x)在(-∞，0)上單調(diào)遞增，

又

f(1)=0，所以

f(-1)=f(1)=0，

所以當(dāng)

-1≤x≤1時，f(x)≥0，

則不等式

f(x2-3x+3)≥0等價于

-1≤x2-3x+3≤1，解得1≤x≤2，

所以不等式的解集為[1,2]Oxy1-1[1,2]題型四

利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式鞏固練習(xí)7

已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x