期中考試測(cè)試（提升）高一數(shù)學(xué)（人教A版2019必修第二冊(cè)）（解析版）

期中考試測(cè)試（提升）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足為純虛數(shù)，且，則z的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以所以，，因?yàn)?，所以，解得，則，即z的虛部為.故選：A.2．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)在線段上，且（），若（，）且，則（

）A． B．3 C． D．4【答案】B【解析】方法1：在平行四邊形中，因?yàn)椋?，所以，又∵，∴，∴，又∵，∴，，（平面向量基本定理的?yīng)用）又∵，∴，解得，故選：B.方法2：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，∵則，又∵，設(shè)，則即：∴，，，又∵，∴∴∴由②得，將其代入①得，故選：B.3．（2023云南·高一云南師大附中?？计谀┰O(shè)向量，，則“”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【解析】或或，故選：B．4．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)m，n是不同的直線，α、β、γ是不同的平面，有以下四個(gè)命題：①；②；③；④.其中正確的命題是（）A．①④ B．②③C．①③ D．②④【答案】C【解析】若，，則根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理和判定定理可得，故①正確；若，，則或與相交或在平面內(nèi)，故②不正確；因?yàn)椋詢?nèi)有一直線與平行，而，則，根據(jù)面面垂直的判定定理可知：，故③正確；若，，則或，故④不正確，故選：.5．（2023吉林白城·高一?？茧A段練習(xí)）若，且，那么是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由，得，化簡(jiǎn)得，所以由余弦定理得，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以由正余弦定理角化邊得，化?jiǎn)得，所以，所以為等邊三角形，故選：B6．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）空間四邊形的兩對(duì)邊，、分別是、上的點(diǎn)，且，，則與所成角大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解析】作交于，如圖，連接，則，又，所以，所以，所以是與所成的角或其補(bǔ)角，，，所以，，，所以，中，，是三角形內(nèi)角，所以，所以與所成的角是，故選：C．7．（2023·高一單元測(cè)試）已知中，，，，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以兩條直角邊為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系如圖所示，∵，∴，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，∵|CP|＝1，∴，令，∴，其中，故當(dāng)時(shí)，取最小值為7．故選：A．8．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，為的中點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．//平面C． D．//平面【答案】B【解析】不妨設(shè)棱柱的高為，.B選項(xiàng)，根據(jù)棱柱性質(zhì)，//，而平面，若//平面，無論怎樣平移直線，都不會(huì)和平面只有一個(gè)交點(diǎn)，于是得到矛盾，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；A選項(xiàng)，計(jì)算可得，，又為的中點(diǎn)，故（三線合一），A選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，連接，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)，過，計(jì)算可得，，又為的中點(diǎn)，故（三線合一），結(jié)合A選項(xiàng)，，，平面，故平面，由平面，故，棱柱的側(cè)棱//，故，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，取中點(diǎn)，連接，結(jié)合為的中點(diǎn)可知，為中位線，故//，且，即//，且，故四邊形為平行四邊形，故//，由平面，平面，故//平面，D選項(xiàng)正確.故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】對(duì)于A，，，與不垂直，A不正確；對(duì)于B，，有，B正確；對(duì)于C，，有，C不正確；對(duì)于D，，由選項(xiàng)C知，，D正確.故選：BD10．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）折扇又名“紙扇”是一種用竹木或象牙做扇骨，?紙或者綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子.如圖1，其平面圖是如圖2的扇形，其中，，點(diǎn)在弧上，且，點(diǎn)在弧上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有（

）A．在方向上的投影向量為B．若，則C．D．的最小值是【答案】ABD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由題意可知，所以，在方向上的投影向量為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則、，設(shè)點(diǎn)，其中，由可得，所以，，所以，，所以，，，則，所以，，所以，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，所以，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，其中，、，，，所以，，因?yàn)?，則，所以，故當(dāng)時(shí)，取最小值為，D對(duì).故選：ABD.11．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題正確的是（

）A．若，則B．若，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為1C．若，則的最大值為3D．若復(fù)數(shù)，滿足，，，則【答案】ACD【解析】設(shè)，對(duì)A，，，故正確；對(duì)B，，所以，，其虛部為，故錯(cuò)誤；對(duì)C，由的幾何意義，知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為1，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，由圓的性質(zhì)知，，故正確；對(duì)D，設(shè)，因?yàn)?，，所以，又，所以，所以，所以，故正確.故選：ACD12．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，E為棱的中點(diǎn)，則（

）A．面 B．C．平面截該長(zhǎng)方體所得截面面積為 D．三棱錐的體積為【答案】ABD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：連接，為長(zhǎng)方體，，，∴四邊形是平行四邊形，，平面，平面，面，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：，，平面，在平面上的投影為，，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：根據(jù)長(zhǎng)方體對(duì)稱性易知平面截該長(zhǎng)方體所得截面面積為，，，，，，，由，可得，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：三棱錐的底面積，高為，則三棱錐的體積為，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若四面體中，，，，則四面體的體積是________.【答案】2【解析】以四面體的各棱為長(zhǎng)方體的面對(duì)角線作出長(zhǎng)方體，如圖所示，設(shè)，則，解得，．故答案為：2．14．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若，，和的夾角為30°，則在方向上的投影為______．【答案】【解析】在方向上的投影為．故答案為：．15．（2023·高一單元測(cè)試）已知，且，為虛數(shù)單位，則的最大值是__．【答案】8【解析】因?yàn)榍遥?，根?jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，表示以為圓心，3為半徑的圓，所以，表示圓上的點(diǎn)和點(diǎn)的距離，因?yàn)閳A心到點(diǎn)的距離為，，故答案為：16．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，則△ABC面積的最大值是______．【答案】【解析】由正弦定理及，得，∵，∴,∵，∴．由余弦定理，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴的面積的最大值為．故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）（10分）如圖，在△ABC中，，，，，．(1)設(shè)，求x，y的值，并求；(2)求的值．【答案】(1)，；(2).【解析】（1），，，，.（2）.18．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）（12分）已知復(fù)數(shù)，，其中為虛數(shù)單位，．(1)當(dāng)、是實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛根時(shí)，求實(shí)數(shù)、的值．(2)求的值域．【答案】(1)，；(2)【解析】（1）復(fù)數(shù)，，是實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛根，所以，即，所以，所以，，.（2）.，，即.19．（2023四川成都·高一統(tǒng)考期中）（12分）在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，滿足．(1)求角B的大?。?2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）由于（2a﹣c）cosB＝bcosC，由正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosB＝sinBcosC，即2sinAcosB＝sinCcosB+sinBcosC，即2sinAcosB＝sin（B+C），可得：2sinAcosB＝sinA，因?yàn)閟inA≠0，所以，因?yàn)?，所以．?）因?yàn)?，，由正弦定理可得，于是，＝＝，因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，且，所以，，所以，可得：，所以△ABC周長(zhǎng)的取值范圍為：．20．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）（12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，分別是、的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)證明：平面；(3)若平面，求四棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)【解析】（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，四邊形是矩形，所以，且，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）證明：因?yàn)椋闹悬c(diǎn)為，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)榈酌媸蔷匦?，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)橛桑?）知，所以平面.（3）解：因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，所以，又，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，又E是PB的中點(diǎn)，所以，所以直角梯形的面積.因?yàn)辄c(diǎn)到平面的距離，所以.21．（2022春·河南洛陽·高一?？茧A段練習(xí)）（12分）如圖所示，四邊形為菱形，，平面平面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求三棱錐的體積．(3)若，當(dāng)二面角的正切值為時(shí)，求直線與平面所成的角．【答案】(1)證明見解析(2)1(3)45°【解析】（1）如圖所示，設(shè)點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，連接，，，由及點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，可得，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，故平面，又因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，而是的中位線，所以，可得，又由，且平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以．?）若，由于菱形，易證正三角形中，由于平面，所以．（3）設(shè)點(diǎn)是與的交點(diǎn)，由（1）可知平面，又，均在平面內(nèi)，從而有，，故為二面角的平面角，所以，所以，因?yàn)?，所以為等邊三角形?/p>