2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)人教A版2019題型講義第12講解三角形與平面向量結(jié)合問題_第1頁
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文檔簡介

第12講解三角形與平面向量結(jié)合問題【例1】在中,已知,,則的最小值為()A.-1B.C.D.【答案】D【分析】先求得三角形外接圓的半徑,結(jié)合數(shù)量積的定義以及二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最小值.【詳解】設(shè)三角形外接圓半徑為,則,所以的外接圓半徑為1,為鈍角時(shí),取到負(fù)值;如圖,為的中點(diǎn),在上的投影向量為;由可知當(dāng)在上的投影長最長時(shí),即與圓相切時(shí),可取到最小值;,當(dāng)時(shí),,所以的最小值為.故選:D【例2】在中,,邊的中點(diǎn)為D,且,則的最大值為()A.B.C.D.【答案】D【分析】由已知可求,兩邊平方,利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,基本不等式可求的最大值.【詳解】解:如圖,在中,邊的中點(diǎn)為D由,可得:,,可得:,,,可得:,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)則的最大值為4.故選:D.【例3】在△ABC中,∠ACB為鈍角,AC=BC=1,,且.若函數(shù)f(m)(m∈R)的最小值為,則的最小值為()A.1B.C.D.【答案】C【分析】由題意可得||的最小值為AB邊上的高,由函數(shù)f(m)=|-m|的最小值為,即點(diǎn)A到BC邊的距離為,可求出∠ACB=120°,即可求出||的最小值.【詳解】法一:由=x+y,且x+y=1,可知A,O,B三點(diǎn)共線,所以||的最小值為AB邊上的高,又AC=BC=1,即O為AB的中點(diǎn),且函數(shù)f(m)=|-m|的最小值為,即點(diǎn)A到BC邊的距離為.又AC=1,所以∠ACB=120°,在中,,從而可得||的最小值為.故選:C.法二:由=x+y,且x+y=1,可知A,O,B三點(diǎn)共線,所以||的最小值為AB邊上的高.設(shè)的夾角為,所以依題,可得,因?yàn)槭氢g角,所以.在中,,從而可得||的最小值為.故選:C.【例4】在平面四邊形中,,,.若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值為()A.B.C.D.【答案】B【分析】取中點(diǎn)為,結(jié)合極化恒等式以及余弦定理,即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,連接,取中點(diǎn)為,作圖如下:,在三角形中,由余弦定理可得:,即,則,故,顯然當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得最小值,故,的最小值為.即的最小值為.故選:【例5】在中,角、、的對(duì)邊分別是、、,且滿足.(1)求角的大小;(2)若,求的面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用平面向量數(shù)量積的定義以及正弦定理化簡得出的值,結(jié)合角的取值范圍可求得角的值;(2)利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換化簡可得出,求出角的取值范圍,結(jié)合正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.(1)解:由可得,所以,,由正弦定理得,,、,則,所以,,故.(2)解:由正弦定理可得,則,,,,則,所以,,故.【例6】在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,滿足.(1)求∠B的值;(2)已知D在邊AC上,且,,求△ABC面積的最大值.【答案】(1);(2).【分析】(1)利用正弦定理可得,從而可求.(2)利用向量可得,平方后結(jié)合基本不等式可得,從而可求面積的最大值.【詳解】(1),由三角形正弦定理可得即,,,,故,是的內(nèi)角,,,而為三角形內(nèi)角,.(2)因?yàn)?,所以,所以,所以,故,由基本不等式可得,故,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故面積的最大值為【例7】在中,.(1)求;(2)D在邊BC上,,,求面積的最大值.【答案】(1);(2).【分析】(1)將已知條件兩邊平方得到,結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)求得,進(jìn)而可求.(2)由,根據(jù)已知模長及向量數(shù)量積的運(yùn)算律可得,結(jié)合基本不等式求得,進(jìn)而求面積最大值,注意等號(hào)(最大值)成立條件.(1)由題設(shè),所以,又,故,所以,故.(2),所以,則,故,所以面積,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故面積的最大值為.【題型專練】1.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,,,,則()A.B.C.D.【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義可得,根據(jù)正弦定理邊角互化即可求解.【詳解】因?yàn)?,所以,即,由正弦定理可得,且,所以,且,則,,所以.故選:B2.如圖,在中,,,為上一點(diǎn),且滿足,若,,則的值為()A.B.C.D.【答案】B【分析】設(shè),根據(jù)平面向量線性運(yùn)算及平面向量基本定理求出、的值,依題意可得為等邊三角形,求出,再由余弦定理求出即可;【詳解】解:設(shè),則,,解得.因?yàn)椋?,又,,所以為等邊三角形,所以,,由余弦定理,所以;故選:B3.在中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若,且,則()A.2B.C.D.【答案】D【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積以及余弦定理即可求解.【詳解】由,得.又,故,由余弦定理,得,故.故選:D.4.在中,角的對(duì)邊分別為,若,則的值為()A.B.C.D.【答案】B【分析】由向量數(shù)量積運(yùn)算法則及正弦定理得,求出,,再利用余弦定理求出.【詳解】由題意得:,因?yàn)?,所以,由正弦定理得:,即,因?yàn)椋?,故,即,則,由余弦定理及得:,即,解得:.故選:B5.已知滿足,則的形狀為()A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【答案】C【分析】利用向量數(shù)量積將原式化簡,再利用正弦定理和三角恒等變換判斷出的形狀為等腰三角形.【詳解】,則,由正弦定理可得,則,即,即,所以,的形狀為等腰三角形,故選:C.6.在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別是,.(1)求角的大小;(2)若點(diǎn)滿足,且,求面積的最小值.【答案】(1)(2)【分析】(1)由正弦定理把邊化為角,再結(jié)合三角恒等變換即可求解;(2)由題意得,進(jìn)而利用三角面積可轉(zhuǎn)化,從而有,再由面積公式與基本不等式求解即可(1)因?yàn)椋?因?yàn)?,所?因?yàn)椋?又因?yàn)?,所?(2)因?yàn)?,所以點(diǎn)D在線段上,且.因?yàn)椋?,即為的角平分線.由(1)得,所以.由,得,即,得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,.故面積的最小值為.7.已知在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,___________.①;②;③.請(qǐng)?jiān)谝陨先齻€(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在橫線處,并解答:(1)求角C的值;(2)若且,求的值.【答案】(1)(2)【分析】(1)若選①,由正弦定理及正弦的兩角和可得,若選②,由正弦定理及余弦定理可得,若選③,由余弦的二倍角公式可得;(2)由平面向量的數(shù)量積及余弦定理可求解.(1)若選①,由已知有,又因?yàn)?,在△ABC中,有,所以有,化簡得,由于,所以,所以有,于是有,因,所以得.若選②,由,得,因,所以.若選③,由,有,從而有,解得或(舍)(因?yàn)?,所以.(2)由,可得點(diǎn)為的中點(diǎn),且有,所以有,若,則,又,所以,從而可得,所以有,可得.8.在中,a,b,c分別是角A,B,C所對(duì)的邊,若,.(1)求;(2)若,D為上靠近A的一個(gè)三等分點(diǎn),求.【答案】(1)(2)【分析】(1)由已知條件結(jié)合余弦定理可得,

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