2021年中考數(shù)學 一輪復習：正方形及四邊形綜合問題

2021中考數(shù)學一輪復習：正方形及四邊形綜合

問題

一、選擇題

1.如圖，在四邊形ABCO中，AB=CD,AC,8。是對角線，E,F,G,”分別

是A。，BD,BC,AC的中點，連接ERFG,GH,HE,則四邊形EFGH的形

狀是（）

A.平行四邊形B.矩形D.正方形

2.如圖，四邊形ABCD是邊長為5的正方形，E是。。上一點，DE=1,WAADE

繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)到與△A8尸重合，則EF=（）

A.A/41B.癡

C.50D.2V13

3.如圖I,正方形ABCD的面積為1,則以相鄰兩邊中點連線EF為邊的正方形

EFGH的周長為（）

A.y[2

B.2巾

C.巾+1

0.2^2+1

4.如圖，在正方形A8CD中，AB=1,點E,F分別在邊BC和CO上，AE=AF,

5.（2020.威海）如圖，在口A8CO中，對角線8O，A。，AB=10,AD=6,。為

8。的中點，E為邊AB上一點,直線E。交8于點尸，連結(jié)OE,BF.下列結(jié)

論不成立的是（）

A.四邊形OE8E為平行四邊形

B.若AE=3.6,則四邊形。E8F為矩形

C.若AE=5,則四邊形。E3F為菱形

D.若AE=4.8,則四邊形/為正方形

6.如圖，正方形ABCD的邊長為9,將正方形折疊，使頂點D落在BC邊上的

點E處，折痕為GH,若BE：EC=2：1,則線段CH的長是（）

A.3B.4C.5D.6

7.如圖，把正方形紙片ABCD沿對邊中點所在的直線對折后展開，折痕為MN,

再過點B折疊紙片，使點A落在MN上的點F處，折痕為BE.若AB的長為2,

則FM的長為（）

A.2B.事C.yjlD.1

8.（2020.東營）如圖，在正方形ABCD中，點P是AB上一動點（不與A、B

重合），對角線AC、BD相交于點O,過點P分別作AC、BD的垂線，分別交

AC、BD于點E、F,交AD、BC于點M、N,下列結(jié)論：①△APE^^AME；

②PM+PN=AC；?PE2+PF2=PO2；?APOF^ABNF；⑤點0在M、N兩點

的連線上.其中正確的是（）

A.①②③④B.①②③⑤C.①②③④⑤

D.③④⑤

（如圖），使得點D落在對角線b上，EF與相交于點H,則HD=.（結(jié)

果保留根號）

10.如圖，四邊形ACDR是正方形，NCEA和都是直角且E,A,B三點

共線，AB=4,則陰影部分的面積是.

11.如圖，E,尸是正方形A8CO的對角線AC上的兩點，AC=8,AE=CF=2,則

四邊形BEDF的周長是.

12.如圖，在正方形ABC。中，AC為對角線，點E在4?邊上，EFLAC于點F,

連接EC,AF=3,若^EFC的周長為12,則EC的長為.

E\

51

13.如圖，正方形ABCO的頂點C,A分別在x軸，y軸上，BC是菱形BDCE

的對角線，若ND=60。，BC=2,則點D的坐標是

y

A

Cx

14.七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力游戲，被譽為“東方魔板”.由邊長為4啦的

正方形ABCD可以制作一副如圖①所示的七巧板，現(xiàn)將這副七巧板在正方形

EFGH內(nèi)拼成如圖②所示的“拼搏兔”造型（其中點Q,R分別與圖②中的點E,G

重合，點P在邊EH上），則“拼搏兔”所在正方形EFGH的邊長是.

15.如圖，有一個邊長不定的正方形ABCD,它的兩個相對的頂點A,C分別在

邊長為1的正六邊形一組平行的對邊上，另外兩個頂點B,D在正六邊形內(nèi)部（包

括邊界），則正方形邊長。的取值范圍是.

16.如圖，正方形ABCD的面積為3c*,E為BC邊上一點，NBAE=30。，F(xiàn)

為AE的中點，過點F作直線分別與AB,DC相交于點M,N.若MN=AE,則

AM的長等于_______cm.

三、解答題

17.如圖，已知四邊形ABCD和四邊形DEFG為正方形，點E在線段DC上，點

A,D,G在同一條直線上，且AD=3,DE=1,連接AC,CG,AE,并延長

AE交CG于點H.

(1)求5/nZEAC的值；

(2)求線段AH的長.

18.(2020?河南)將正方形ABCD的邊AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至AB，，記旋轉(zhuǎn)角為a.

連接BBT過點D作DE垂直于直線BB，，垂足為點E,連接DBTCE.

(1)如圖1,當。=60。時，ADEB，的形狀為,連接BD,可求出篝的值

為;

(2)當0。＜。＜360。且。#90。時，①⑴中的兩個結(jié)論是否仍然成立?如果成立，請

僅就圖2的情形進行證明；如果不成立，請說明理由；

②當以點B，、E、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出絲的值.

19.如圖，在直角梯形A8CD中，NA=NO=90。，AB=8cm,C￡＞=10cm,AD

=6cm,點E從點A出發(fā)，沿A—方向運動，運動速度為2cm/s,點尸同

時從點A出發(fā)，沿A—B方向運動，運動速度為1cm/s.設(shè)運動時間為心)，△CEF

的面積為5(cm2).

(1)當03/3時，t=,EF=VH).

(2)當叱/3時(如圖①)，求S與，的函數(shù)關(guān)系式，并化為S=a(/-//)2+Z的形式，

指出當，為何值時，S有最大值，最大值為多少？

(3)當30E8時(如圖②)，求S與/的函數(shù)關(guān)系式，并求出當/為何值時，S有最大

值，最大值為多少？

圖①圖②

20.如圖①，在四邊形ABC。中，點尸是AB上一點，點E在射線QP上，且N

BED=/BAD,連接AE.

(1)若A8=AO,在0P上截取點R4更得DF=BE,連接AF求證：XNBEQX

ADF；

(2)如圖②，若四邊形ABCD是正方形，點P在的延長線上，BE=1,AE=35

求。E的長；

(3)如圖③，若四邊形ABCD是矩形，AD=2A5,點尸在AB的延長線上，AE=y/5

21.已知，在RMABC中，ZACB=90°,BC=AC,AB=6,。是A3的中點，動

點E從點D出發(fā)，在AB邊上向左或右運動，以CE為邊向左側(cè)作正方形CEFG,

直線BG,FE相交于點M點七向左運動時如圖①，點￡向右運動時如圖②).

(1)在點E的運動過程中，直線8G與C。的位置關(guān)系為；

(2)設(shè)￡>E=x,NB=y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最大值；

(3)如圖②，當。石的長度為小時，求NBFE的度數(shù).

圖①圖②

2021中考數(shù)學一輪復習：正方形及四邊形綜合

問題?答案

一、選擇題

1.【答案】C［解析「.?點E,F,G,H分別是四邊形45C。中A。，BD,BC,

G4的中點，：.EF=GH=^AB,EH=FG=［CD,'：AB=CD,：.EF=FG=GH=EH,

四邊形EFG”是菱形，故選C.

2.【答案】D［解析］由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，

△ADE咨AABF,

：.BF=DE=l,：.FC=6,VCE=4,.?.E/WJFC?+CE?”豆=2^/13.故選:D.

3.【答案】B【解析】?.?正方形ABCD的面積為1,...8。=CD=1,，：E、F是

邊的中點，.?。=。?=4，；.EF=、［J)2+(曰)2=嘩,則正方形EFG”的

周長為4x乎=26.

4.【答案】C［解析］連接NE4F=60。，為等邊三角形，

.?.4七=￡7丁.，四邊形48。。為正方形，，/8=/。=/。=90。,48=4),.，爾/ABE

且RtAADF(HL),：.BE=DF,,EC=CF.設(shè)CF=x,則EC=x,

AE=EF=^EC2+FC2=^2x,BE=l-x.在RtAABE中，AB2+BE2=AE2,：.

1+(1-X)2=(缶)2,解得X=4-l(舍負).故選C.

5.【答案】：：。為8。的中點，

:.OB=OD,

???四邊形ABC。為平行四邊形，

C.DC//AB,

：.ZCDO=ZEBO,ZDFO=ZOEB,

：./\FDO^AEBO(AAS),

，OE=OF,

四邊形DEBF為平行四邊形,

故A選頂結(jié)論正確，

若AE=3.6,AD=6,

.AE3.63

,'AD=~6=5,

_AD63

乂?48—10一5，

.AEAD

"'AD=AB,

ZDAE=ZBAD,

:.ADAEsABAD,

：.AED=ZADB=9Q°.

故B選項結(jié)論正確，

AE=5,

：.BE=5,

又：ZADB=90°,

1

：.DE=^AB=5,

：.DE=BE,

.?.四邊形。EBE為菱形.

故C選項結(jié)論正確，

???AE=3.6時，四邊形。硝尸為矩形，AE=5時，四邊形DEB/為菱形，

：.AE=4.8時，四邊形DEBF不可能是正方形.

故D不正確.

故選：D.

6.【答案】B【解析】設(shè)Ca=x,,：BE：EC=2：1,BC=9,：.EC=3,由折

疊可知，EH=DH=9—x,在Rt^EC”中，由勾股定理得：(9-%)2=32+^,解

得：x=4.

7.【答案】B【解析】?:AB=2,：.BF=2,又?.?8M=g3C=1,由勾股定理得

FM=ylFB2-BM2=y[3.

8?【答案】B

【解析】本題考查了垂線、平行線和正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、

等腰直角三角形的判斷和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，是常見問題的綜合，

靈活的運用所學知識是解答本題的關(guān)鍵.綜合應用垂線、平行線和正方形的性質(zhì)，

全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判斷和性質(zhì)、相似三角形的判定和

性質(zhì)等知識，逐個判斷5個結(jié)論的正確性，得出結(jié)論.

①?.,正方形ABC。，/.ZAPE=ZAME=45°,'：PM±AE,：.ZAEP=ZAEM=^°,

'：AE=AE,：.^APE^^AME(ASA)；

②過點N作N0_LAC于點。，則四邊形PNQE是矩形，，PN=EQ,..?正方形ABC。,

：.ZPAE=ZMAE=45°,\'PM±AE,：.ZPEA=45°,：.ZPAE=AAPE,PE=NQ,

.?.△APE等腰直角三角形，...AE=PE,同理得：△NQC等腰直角三角形，

NQ=CQ,V/XAPE^/XAME,：.PE=ME,：.PE=ME=NQ=CQ,：.PM=AE+CQ,

：.PM+PN=AE+CQ+EQ=AC,即PM+PN=AC成立;

③?.?正方形ABC。，.?.4C_LBD,；.NEO尸是直角，?過點尸分別作AC、8。的

垂線，分別交AC、BD于點、E、R和/PFO是直角，，四邊形PR9E

是矩形，??.PQOE,在RdPEO中，有。/+0層=尸02,.”爐+「產(chǎn)=尸02,即

PU+PF2=P()2成立;

④Z^BN/是等腰直角三角形，點尸不在43的中點時，△POE不是等腰直角三

角形，所以尸與△3NR不一定相似，即△POFSARVE不一定成立；

⑤?.'△AMP是等腰直角三角形，△PMNsaAMP,.?.△PMN是等腰直角三角形，

?:/MPN=90。,：.PM=PN,'：AP=—PM,BP=—PN,：.AP=BP,，點尸是

22

AB的中點，又;。為正方形的對稱中點，.?.點。在M、N兩點的連線上.綜上，

①②③⑤成立，即正確的結(jié)論有4個，答案選B.

二、填空題

9.【答案】也-1［解析］?.?四邊形ABCO為正方形，

：.CD=\,ZCDA=90°,

???邊長為1的正方形ABC。繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)到正方形FECG的位置，

使得點D落在對角線CF上，

：.CF=\2,NCEE=45。，DFH為等腰直角三角形，.,??！?。/=。K。。=也-1.

故答案為也-1.

10.【答案】8［解析?四邊形AC。尸是正方形，

：.AC=AF,ZCAF=90°,ZCAE+ZBAF=90°,

又/C4E+NECA=90。，

二ZECA=ZBAF,則在△ACE和△E43中，

ZAEC=ZABF=90°,

..4ECA=NBAF,

'(AC=AF,

；.△ACE^AMB(AAS),：.AB^CE=4,

...陰影部分的面積，4BCE=5X4X4=8.

11.【答案】8右［解析］如圖，連接8。交AC于點0

?.?四邊形A3Q9為正方形,BDLAC,OD=OB=OA=OC,

'：AE=CF=2,

：.OA-AE=OC-CF,BPOE=OF,

，四邊形BED/為平行四邊形，且BD上EF,

，四邊形BE。尸為菱形，

:.DE=DF=BE=BF,

'：AC=BD=S,0E=0F=^Y=2,，由勾股定理得:￡>E=JOD2++2?=2、行,

/.四邊形BEDF的周長=4OE=4X2/=8A5，故答案為:8亞

12.【答案】5［解析］?.?四邊形A8CD是正方形，AC為對角線,

/.ZME=45°,XVEF±AC,

/.ZAFE=90°,/.ZAEF=45°,

：.EF=AF=3,

EFC的周長為12,

：.FC=l2-3-EC=9-EC,

在RtAEFC中，E(^=EF2+FC2,

：.EC2=9+(9-EC)2,

解得EC=5.

13.【答案】（,+2,1）【解析】如解圖，過點D作DGLBC于G,DF，x軸

于F,?.?在菱形BDCE中，BD=CD,ZBDC=60°,，4BCD是等邊三角形，

.,.DF=CG=1BC=1,CF=DG=4，OF=4+2,，D（小+2,1）.

CFa解圖

14.【答案】44［解析］如圖，連接EG,作GMLEN交硒的延長線于K

在RQEMG中，'：GM=4,￡M=2+2+4+4=12,

EG=VEM2+GM2=V122+42=4\/10,

:?EH=^=

15.【答案】事七3-S【解析】:ABCD是正方形，.3=4=乎AC,

的取值范圍與AC的長度直接相關(guān).如解圖①，當A,C兩點恰好是正六邊形一

組對邊中點時，。的值最小，?.?正六邊形的邊長為1,，AC=小，，AB=a=坐

AC=*;如解圖②，連接MN,延長AE,BF交于點G,二?正六邊形和正方形

ABCD,.?.△MNG、zXABG、AEFG為正三角形，設(shè)AE=BF=x,則AM=BN

=l-x,AG=BG=AB=l+x=a,VGM=MN=2,ZBNM=60°,

BCa

22

sinZBNM=sin60°=,?,?木(1-x)=〃，，仍(2—a)=〃，解得，a

=瀟7=3一小;正方形邊長a的取值范圍是唳好3一小.

c

圖①

【解析】如解圖，過N作NGLAB,交AB于點G,?..四

邊形ABCD為正方形，.?.AB=AD=NG=/cm,在RtAABE中，ZBAE=30°,

AB=#cm,/.BE=1cm,AE=2cm,,.'F為AE的中點，.,.AF=^AE=1cm,

AB=NG

在Rf^ABE和RfZXNGM中，彳，/?rAABE/?/△NGM(HL),/.BE=

,AE=NM

GM,ZBAE=ZMNG=30°,ZAEB=ZNMG=60°,.,.ZAFM=90°,即

?AEAF12s

MN1AE,在/?rAAMF中，NFAM=30°,AF=1cm,

2

cm,由對稱性得到AM，=BM=AB-AM=，§—邛^=坐

cm,綜上，AM的長

等于￥或理cm.

三、解答題

17.【答案】

解：(1)由題意知EC=2,AE=V10,

如解圖，過點E作EMJ_AC于點M,

.,.ZEMC=90°,易知NACD=45。，

.?.△EMC是等腰直角三角形，

；.EM=小,

.?.szt〃/EAC=^^=W;(4分)

A匕J

(2)在4GDC與^EDA中，

fDG=DE

<ZGDC=ZEDA,

IDC=DA

.,.△GDC^AEDA(SAS),

/.ZGCD=ZEAD,

又；NHEC=NDEA,

.,.ZEHC=ZEDA=90°,

/.AH±GC,（7分）

SAAGC=^XAGXDC=|XGCXAH,

/.1x4x3=^x^H）xAH,（9分）

.,.AH=1\/ib.（10分）

18.【答案】

解：(1)等腰直角三角形，72.

(2)①兩個結(jié)論仍成立.

證明:連接BD.：AB=AB',NBAB'=。，工NAB'B=900-],

YNBAD=a-90。，AD=AB\AZABfD=135--,AZEB^ZAB^-ZAB^MS0.

2

?.?DELBB，，.?.NEDB，=NEB，D=45。，.?.△DEB，是等腰直角三角形，.?.”~=萬

DE

???四邊形ABCD為正方形，=應，NBDC=45。....喘=箸，

VZEDB^ZBDC,AZEDB,+ZEDB=ZBDC+ZEDB,即NBDB，=NCDE.，△

B'DBs^EDC,

.BB_BD_r-

??------------------A/2;

CECD

②3或1.思路提示：分兩種情況.

情形一，如圖，當點B，在BE上時，由處=?,設(shè)BB，=2加，CE=,/2m.

?.?CE〃B'D,CE=B'D,.?.B'D=0m，在等腰直角三角形DEB'中，斜邊B'D=0,〃，

丁n,口…BE2m。

???B'E=DE=",于是得到3：=--------=3.

BEm

情形二，如圖，當點B，在BE延長線上時，由段~=及,設(shè)BB，=2加，CE=^2,n

?.?CE〃B'D,CE=B'D,...B'D="〃，在等腰直角三角形DEB'中，斜邊B'D="〃,

【解析】(1)aABB，是等邊三角形，△ABT)是等腰三角形，且NAB，D=75。,

ZDBrE=45°,結(jié)合DELB'E,可得aDEB，是等腰直角三角形.連接BD,.?./

BDC=45°,易得

NBDB，=NCDE,結(jié)合股=四=叵，：.AB^B^AEDC,二處=或=血.

DCDEBCCE

(2)結(jié)論成立，證明方法與(1)一樣；(3)分兩種情況：當點B，在BE上時和

當點B，在BE延長線上時.

19.【答案】

(1)^/2；【解法提示】根據(jù)題意知，AF=f,AE=2r,?.?NA=90。，，A尸2+4序

=EF2,即5+(2r)2=(?)2,解得：片色(負值舍去).

(2)當0WE3時，如解圖①，過點。作CP_LAB,交A3延長線于點P,

解圖①

,/ZA=ZD=90°,

...四邊形APC。是矩形，

則CP=A￡)=6cm,

V/4B=8cm,AD=6cm,

/.BF=(8—r)cm,DE=(6—2r)cm,

貝！JS=S梯形ABC。一AE/—CBF—SxCDE

=^x(8+10)x6—1xrx2r—1x(8—r)x6—1x(6—20><10

=—產(chǎn)+13方

/13、2/69

=-(r-y)2+—)

即S=一Q—學產(chǎn)+竽，

13

?.?當，<了時，S隨f的增大而增大，

.?.當t=3時，S取得最大值，最大值為30；

(3)當3s/8時，如解圖②，過點F作/。_LCO于點0,

解圖②

由/A=NO=90。，知四邊形ADQR是矩形,

FQ=AD=6cm,

VAD+DE=2r,AD=6cm,CD=10cm,

:.CE=(16—2r)cm,

則此時S=；x(16—27)x6=48—63

V-6<0,

.??S隨1的增大而減小，

.?.當r=3時，S取得最大值，最大值為30cm2.

20.【答案】

(1)證明：":/BED=NBAD,ZBPE=ZDPA,

二NABE=ZADF,

又?.,A3=AO,BE=DF,

(2)解：如解圖①，延長ED到點F,使得。連接AF,

解圖①

?.?四邊形ABC。是正方形，

:.NBAD=NBED=NBEP,

NP=ZP,：.ZPBE=ZADP,

：./ABE=ZADF,

'：BE=DF,AB=AD,

：.AABE經(jīng)AADF,

：.AE=AF,ZBAE=ZFAD,

：.ZFAD+ZEAD=ZBAE+ZEAD=90°,

：.EF=y]2AE=3啦X啦=6,

:.DE=EF~DF=EF~BE=6~1=5；

(3)解：如解圖②，過點A