第三章平穩(wěn)時間序列分析

第三章平穩(wěn)時間序列分析第1頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月

平穩(wěn)時間序列分析一個序列經(jīng)過預處理被識別為平穩(wěn)非白噪聲序列，那說明該序列是一個蘊含著相關(guān)信息的平穩(wěn)序列。在統(tǒng)計上，我們通常是建立一個線性模型來擬合該序列的發(fā)展，借此提取序列中的有用信息。ARMA（autoregressionmovingaverage）模型是目前最常用的平穩(wěn)序列擬合模型。第2頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月本章結(jié)構(gòu)方法性工具

ARMA模型的性質(zhì)

AR模型MA模型ARMA模型平穩(wěn)序列建模

第3頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1方法性工具

差分運算延遲算子線性差分方程第4頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月差分運算1階差分相距一期的兩個序列值之間的減法運算。2階差分對1階差分后序列再進行一次1階差分運算。

第5頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月差分運算階差分對階差分后序列再進行一次1階差分運算

步差分相距期的兩個序列值之間的減法運算。第6頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月延遲算子延遲算子類似于一個時間指針，當前序列值乘以一個延遲算子，就相當于把當前序列值的時間向過去撥了一個時刻。

記B為延遲算子，有

第7頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月延遲算子的性質(zhì)

對任意兩個序列有

，其中

第8頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月用延遲算子表示差分運算階差分

步差分第9頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月線性差分方程

稱如下形式的方程為序列的線性差分方程：若，則得到齊次線性差分方程第10頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月齊次線性差分方程的解特征方程特征方程的根稱為特征根，記作齊次線性差分方程的通解p個特征根為不同的實數(shù)場合p個特征根中有相等實根場合p個特征根中有復根場合第11頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月非齊次線性差分方程的解

非齊次線性差分方程的特解使得非齊次線性差分方程成立的任意一個解非齊次線性差分方程的通解齊次線性差分方程的通解和非齊次線性差分方程的特解之和，即第12頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2ARMA模型的性質(zhì)

AR模型（AutoRegressionModel）MA模型（MovingAverageModel）

ARMA模型（AutoRegressionMovingAveragemodel），是目前最常用的擬合平穩(wěn)序列的模型第13頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月AR模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為階自回歸模型，簡記為特別當時，稱為中心化模型第14頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月AR(P)序列中心化變換稱為的中心化序列，若令第15頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月自回歸系數(shù)多項式引進延遲算子，中心化模型又可以簡記為

階自回歸系數(shù)多項式第16頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月AR模型平穩(wěn)性判別

判別原因要擬合一個平穩(wěn)序列的發(fā)展，用來擬合的模型顯然也應該是平穩(wěn)的。AR模型是常用的平穩(wěn)序列的擬合模型之一，但并非所有的AR模型都是平穩(wěn)的

判別方法單位根判別法平穩(wěn)域判別法第17頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.1:考察如下四個模型的平穩(wěn)性第18頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.1平穩(wěn)序列時序圖第19頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.1非平穩(wěn)序列時序圖第20頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月平穩(wěn)AR模型的統(tǒng)計性質(zhì)均值方差協(xié)方差自相關(guān)系數(shù)偏自相關(guān)系數(shù)第21頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月均值如果AR(p)模型滿足平穩(wěn)性條件，則有由于平穩(wěn)序列均值為常數(shù)，且為白噪聲序列，有第22頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月均值推導出特別地，對于中心化AR（p）模型，有第23頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月Green函數(shù)定義AR模型的傳遞形式第24頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月Green函數(shù)的定義其中系數(shù)稱為Green函數(shù)是前個時間單位以前進入系統(tǒng)的擾動對系統(tǒng)現(xiàn)在行為（響應）影響的權(quán)數(shù)。第25頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月方差平穩(wěn)AR模型的傳遞形式兩邊求方差得第26頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.2:求平穩(wěn)AR(1)模型的方差平穩(wěn)AR(1)模型的傳遞形式為Green函數(shù)為平穩(wěn)AR(1)模型的方差第27頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月協(xié)方差函數(shù)在平穩(wěn)AR(p)模型兩邊同乘，再求期望根據(jù)得協(xié)方差函數(shù)的遞推公式第28頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.3:求平穩(wěn)AR(1)模型的協(xié)方差遞推公式平穩(wěn)AR(1)模型的方差為協(xié)方差函數(shù)的遞推公式為第29頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.4:求平穩(wěn)AR(2)模型的協(xié)方差平穩(wěn)AR(2)模型的協(xié)方差函數(shù)遞推公式為特別地，當時，有即類似于例3.2，可推出AR(2)模型的方差第30頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.4:求平穩(wěn)AR(2)模型的協(xié)方差平穩(wěn)AR(2)模型的傳遞形式:第31頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.4:求平穩(wěn)AR(2)模型的協(xié)方差平穩(wěn)AR(2)模型的協(xié)方差函數(shù)遞推公式為第32頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月自相關(guān)系數(shù)自相關(guān)系數(shù)的定義在自協(xié)方差函數(shù)的遞推公式等號兩邊同除以方差函數(shù)，就得到平穩(wěn)AR(P)模型的自相關(guān)系數(shù)遞推公式：第33頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月常用AR模型自相關(guān)系數(shù)遞推公式AR(1)模型AR(2)模型第34頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月AR模型自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)拖尾性根據(jù)自相關(guān)系數(shù)的遞推公式，容易看出AR(P)模型的自相關(guān)系數(shù)的表達式實際上是一個P階齊次差分方程，那么滯后任意k階的自相關(guān)系數(shù)的通解為：第35頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月AR模型自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)為該差分方程的特征根。通過這個通解形式，容易推出自相關(guān)系數(shù)始終有非零取值，不會在k大于某個常熟之后就恒等于零，這個性質(zhì)就是拖尾性。第36頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月AR模型自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)呈負指數(shù)衰減同時隨著時間的推移，會迅速衰減，因為，所以時，，繼而導致

而且這種影響是以負指數(shù)的速度在減小。第37頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月AR模型自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)這種自相關(guān)系數(shù)以負指數(shù)衰減的性質(zhì)就是在第2章利用自相關(guān)圖判斷平穩(wěn)序列時所說的“短期相關(guān)”性。它是平穩(wěn)序列的一個重要特征。這個特征表明對平穩(wěn)序列而言通常只有近期的序列值對現(xiàn)時值的影響比較明顯，間隔越遠的過去值對現(xiàn)時值的影響越小。第38頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.5:考察如下AR模型的自相關(guān)圖第39頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.5—自相關(guān)系數(shù)按負指數(shù)單調(diào)收斂到零第40頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.5:—自相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)正負相間地衰減第41頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.5:—自相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)出“偽周期”性第42頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.5:—自相關(guān)系數(shù)不規(guī)則衰減第43頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.5從圖中我們看到，這四個平穩(wěn)AR模型，它們的自相關(guān)系數(shù)都呈現(xiàn)出拖尾性和呈負指數(shù)衰減到零值附近的性質(zhì)。第44頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月偏自相關(guān)系數(shù)對于一個平穩(wěn)AR(p)模型，求出滯后k自相關(guān)系數(shù)時，實際上得到的并不是與之間單純的相關(guān)關(guān)系，實際上摻雜了其他變量對與之間的相關(guān)關(guān)系。為了能單純測度對的影響，引進偏自相關(guān)系數(shù)的概念。第45頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月偏自相關(guān)系數(shù)定義對于平穩(wěn)AR(p)序列，所謂滯后k偏自相關(guān)系數(shù)就是指在給定中間k-1個隨機變量的條件下，或者說，在剔除了中間k-1個隨機變量的干擾之后，對影響的相關(guān)度量。用數(shù)學語言描述就是第46頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月偏自相關(guān)系數(shù)的計算假定為中心化平穩(wěn)序列，用過去的期序列值對作階自回歸擬合，即第47頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月偏自相關(guān)系數(shù)的計算在上式等號兩邊同乘，并求期望，得取前k個方程構(gòu)成的方程組第48頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月偏自相關(guān)系數(shù)的計算滯后k偏自相關(guān)系數(shù)實際上就等于k階自回歸模型第個k回歸系數(shù)的值。根據(jù)這個性質(zhì)容易計算偏自相關(guān)系數(shù)的值。解方程組求出。第49頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月偏自相關(guān)系數(shù)的截尾性AR(p)模型偏自相關(guān)系數(shù)P階截尾第50頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月常用AR模型偏自相關(guān)系數(shù)遞推公式AR(1)模型AR(2)模型第51頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月常用AR模型偏自相關(guān)系數(shù)遞推公式當k=1時，有當k=2時，有第52頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.5續(xù):考察如下AR模型的偏自相關(guān)圖第53頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.5—理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖第54頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.5:—理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖第55頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.5:—理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖第56頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.5:—理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)系數(shù)圖第57頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月MA模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為階移動平均模型，簡記為特別當時，稱為中心化模型第58頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月MA模型的定義對非中心化模型只要做一個簡單的位移，就可以轉(zhuǎn)化為中心化模型。這種中心化運算不會影響序列值之間的相關(guān)關(guān)系，所以今后在分析模型的相關(guān)關(guān)系時，常常簡化為對它的中心化模型進行分析。第59頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月移動平均系數(shù)多項式引進延遲算子，中心化模型又可以簡記為

階移動平均系數(shù)多項式第60頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月MA模型的統(tǒng)計性質(zhì)常數(shù)均值特別地，如果該模型為中心化模型，該模型均值為零。常數(shù)方差第61頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月MA模型的統(tǒng)計性質(zhì)自協(xié)方差函數(shù)q階截尾第62頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月MA模型的統(tǒng)計性質(zhì)自相關(guān)系數(shù)q階截尾第63頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月常用MA模型的自相關(guān)系數(shù)MA(1)模型MA(2)模型第64頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月MA模型的統(tǒng)計性質(zhì)偏自相關(guān)系數(shù)拖尾兩個重要結(jié)論（1）當時，模型一定為平穩(wěn)模型（2）模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾，自相關(guān)系數(shù)階截尾。第65頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.6:考察如下MA模型的相關(guān)性質(zhì)第66頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月MA模型的自相關(guān)系數(shù)截尾

第67頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月MA模型的自相關(guān)系數(shù)截尾

第68頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月MA模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾

第69頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月MA模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾

第70頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月ARMA模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為自回歸移動平均模型，簡記為特別當時，稱為中心化模型第71頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月ARMA模型的定義缺省默認條件，中心化模型可以簡寫為：默認條件與模型、模型相同第72頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月系數(shù)多項式引進延遲算子，中心化模型又可以簡記為

階自回歸系數(shù)多項式階移動平均系數(shù)多項式第73頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月ARMA模型的定義當時，模型就退化成了模型；

當時，模型就退化成了模型；所以，模型和模型實際上是模型的特例，它們都統(tǒng)稱為模型。

第74頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月ARMA模型的定義而模型的統(tǒng)計性質(zhì)也正是模型和模型統(tǒng)計性質(zhì)的有機組合。

第75頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月傳遞形式對于一個平穩(wěn)可逆模型，它的傳遞形式為：式中，為Green函數(shù)第76頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月ARMA(p,q)模型的統(tǒng)計性質(zhì)均值對于一個非中心化平穩(wěn)可逆的模型兩邊同求均值，有第77頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月ARMA(p,q)模型的統(tǒng)計性質(zhì)自協(xié)方差函數(shù)第78頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月ARMA(p,q)模型的統(tǒng)計性質(zhì)自相關(guān)系數(shù)第79頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月ARMA模型的相關(guān)性自相關(guān)系數(shù)拖尾偏自相關(guān)系數(shù)拖尾第80頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.7:考察ARMA模型的相關(guān)性擬合模型ARMA(1,1):

并直觀地考察該模型自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)。假定為標準正態(tài)白噪聲序列。

第81頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)拖尾性樣本自相關(guān)圖樣本偏自相關(guān)圖第82頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月ARMA模型相關(guān)性特征模型自相關(guān)系數(shù)偏自相關(guān)系數(shù)AR(P)拖尾P階截尾MA(q)q階截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾第83頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3平穩(wěn)序列建模

建模步驟樣本自相關(guān)系數(shù)與偏自相關(guān)系數(shù)模型識別參數(shù)估計模型檢驗模型優(yōu)化第84頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月建模步驟假如某個觀察值序列通過序列預處理，可以判定為平穩(wěn)非白噪聲序列，那就說明該序列是一個蘊含著相關(guān)信息的平穩(wěn)序列，我們就可以利用模型對該序列建模，ARMA（AutoRegressionMovingAverage）模型是目前最常用的平穩(wěn)序列擬合模型。第85頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月建模步驟(1)求出該觀察值序列的樣本自相關(guān)系數(shù)（ACF）和樣本偏自相關(guān)系數(shù)（PACF）的值。(2)根據(jù)樣本自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，選擇階數(shù)適當?shù)腁RMA（p,q）模型進行擬合。(3)估計模型中未知參數(shù)的值。第86頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月建模步驟(4)檢驗模型的有效性。如果擬合模型通不過檢驗，轉(zhuǎn)向步驟(2)，重新選擇模型再擬合。(5)模型優(yōu)化。如果擬合模型通過檢驗，仍然轉(zhuǎn)向步驟(2)，充分考慮各種可能，建立多個擬合模型，從所有通過檢驗的擬合模型中選擇最優(yōu)模型。(6)利用擬合模型，預測序列的將來走勢。第87頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月建模步驟平穩(wěn)非白噪聲序列計算樣本相關(guān)系數(shù)ARMA模型識別參數(shù)估計模型檢驗模型優(yōu)化序列預測YN第88頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月計算樣本相關(guān)系數(shù)我們是通過考察平穩(wěn)序列樣本自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)選擇適合的模型擬合觀察值序列，所以模型擬合的第一步是要根據(jù)觀察值序列的取值求出該序列的樣本自相關(guān)系數(shù)和樣本偏自相關(guān)系數(shù)的值。第89頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月計算樣本相關(guān)系數(shù)樣本自相關(guān)系數(shù)第90頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月計算樣本相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)系數(shù)式中第91頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月模型識別計算出樣本自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的值之后，就要根據(jù)它們表現(xiàn)出來的性質(zhì)，選擇適當?shù)腁RMA模型擬合觀察值序列。這個過程實際上就是要根據(jù)樣本自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)估計自相關(guān)階數(shù)和移動平均階數(shù)，因此，模型識別過程也稱為模型定階過程。第92頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月模型識別基本原則選擇模型拖尾P階截尾AR(P)q階截尾拖尾MA(q)拖尾拖尾ARMA(p,q)第93頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月模型定階的困難因為由于樣本的隨機性，樣本的相關(guān)系數(shù)不會呈現(xiàn)出理論截尾的完美情況，本應截尾的或仍會呈現(xiàn)出小值振蕩的情況。由于平穩(wěn)時間序列通常都具有短期相關(guān)性，隨著延遲階數(shù)，與都會衰減至零值附近作小值波動。當或在延遲若干階之后衰減為小值波動時，什么情況下該看作為相關(guān)系數(shù)截尾，什么情況下該看作為相關(guān)系數(shù)在延遲若干階之后正常衰減到零值附近作拖尾波動呢？

第94頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月模型定階的困難這實際上沒有絕對的標準，很大程度上依靠分析人員的主觀經(jīng)驗。但樣本自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的近似分布可以幫助做出盡量合理的判斷。Jankins和Watts于1968年證明第95頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月模型定階的困難也就是說樣本自相關(guān)系數(shù)是總體自相關(guān)系數(shù)的有偏估計值。當k足夠大時，根據(jù)平穩(wěn)序列自相關(guān)系數(shù)呈負指數(shù)衰減，有。根據(jù)Bartlett公式計算樣本自相關(guān)系數(shù)的方差近似等于第96頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月樣本相關(guān)系數(shù)的近似分布當樣本容量n充分大時，樣本自相關(guān)系數(shù)Quenouille證明，樣本偏自相關(guān)系數(shù)第97頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月模型定階經(jīng)驗方法根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，得到95％的置信區(qū)間模型定階的經(jīng)驗方法（利用2倍標準差范圍輔助判斷）第98頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月模型定階經(jīng)驗方法如果樣本(偏)自相關(guān)系數(shù)在最初的d階明顯大于兩倍標準差范圍，而后幾乎95％的自相關(guān)系數(shù)都落在2倍標準差的范圍以內(nèi)，而且由非零自相關(guān)系數(shù)衰減為小值波動的過程非常突然。這時，通常視為自(偏)相關(guān)系數(shù)截尾。截尾階數(shù)為d。第99頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月模型定階經(jīng)驗方法如果有超過5％的樣本相關(guān)系數(shù)落入2倍標準差范圍之外，或者是由顯著非零的相關(guān)系數(shù)衰減為小值波動的過程比較緩慢或者非常連續(xù)，這時，通常視為相關(guān)系數(shù)不截尾。第100頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.8續(xù)選擇合適的模型ARMA擬合1950年——1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列。根據(jù)前面的分析已知該序列為平穩(wěn)非白噪聲序列?？梢詫υ撔蛄袛M合ARMA模型。第101頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月序列自相關(guān)圖第102頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月序列偏自相關(guān)圖第103頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月擬合模型識別自相關(guān)圖顯示延遲3階之后，自相關(guān)系數(shù)全部衰減到2倍標準差范圍內(nèi)波動，這表明序列明顯地短期相關(guān)。但序列由顯著非零的相關(guān)系數(shù)衰減為小值波動的過程相當連續(xù)，相當緩慢，該自相關(guān)系數(shù)可視為不截尾

偏自相關(guān)圖顯示除了延遲1階的偏自相關(guān)系數(shù)顯著大于2倍標準差之外，其它的偏自相關(guān)系數(shù)都在2倍標準差范圍內(nèi)作小值隨機波動，而且由非零相關(guān)系數(shù)衰減為小值波動的過程非常突然，所以該偏自相關(guān)系數(shù)可視為1階截尾

所以可以考慮擬合模型為AR(1)第104頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.8選擇合適的ARMA模型擬合美國科羅拉多州某一加油站連續(xù)57天的OVERSHORT序列。第105頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.8首先繪制時序圖，直觀檢驗序列的平穩(wěn)性第106頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月序列自相關(guān)圖第107頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月序列偏自相關(guān)圖第108頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月擬合模型識別自相關(guān)圖顯示除了延遲1階的自相關(guān)系數(shù)在2倍標準差范圍之外，其它階數(shù)的自相關(guān)系數(shù)都在2倍標準差范圍內(nèi)波動。根據(jù)這個特點可以判斷該序列具有短期相關(guān)性，進一步確定序列平穩(wěn)。同時，可以認為該序列自相關(guān)系數(shù)1階截尾偏自相關(guān)系數(shù)顯示出典型非截尾的性質(zhì)。綜合該序列自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，為擬合模型定階為MA(1)

第109頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.9選擇合適的ARMA模型擬合1880-1985年全球氣表平均溫度改變值差分序列。對1880-1985年全球氣表平均溫度改變值序列進行差分運算，并對差分后序列繪制時序圖。第110頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月序列時序圖1880-1985全球氣表平均溫度改變值差分序列

第111頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月序列自相關(guān)圖第112頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月序列偏自相關(guān)圖第113頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月擬合模型識別時序圖顯示序列的波動非常平穩(wěn)自相關(guān)系數(shù)顯示出不截尾的性質(zhì)偏自相關(guān)系數(shù)也顯示出不截尾的性質(zhì)綜合該序列自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，可以嘗試使用ARMA(1,1)模型擬合該序列第114頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月參數(shù)估計選擇好擬合模型之后，下一步就是要利用序列的觀察值確定該模型的口徑，即估計模型中未知參數(shù)的值。對于一個非中心化ARMA(p,q)模型，有其中第115頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月參數(shù)估計該模型共含有個未知參數(shù)：參數(shù)是序列均值，通常采用矩估計方法，用樣本均值估計總體均值即可得到它的估計值：對原序列中心化，有第116頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月參數(shù)估計待估參數(shù)個未知參數(shù)對這個未知參數(shù)的常用估計方法矩估計極大似然估計最小二乘估計第117頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月矩估計原理運用個樣本自相關(guān)系數(shù)估計總體自相關(guān)系數(shù)從中解出的參數(shù)值就是的矩估計。第118頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月矩估計用序列樣本方差估計序列總體方差在ARMA(p,q)模型兩邊同時求方差，整理得到關(guān)于的函數(shù)形式第119頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月矩估計把及代入上式，即得到白噪聲序列方差的矩估計第120頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.10:求AR(2)模型系數(shù)的矩估計AR(2)模型根據(jù)Yule-Walker方程，有矩估計（Yule-Walker方程的解）第121頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.11:求MA(1)模型系數(shù)的矩估計MA(1)模型根據(jù)MA(1)模型自協(xié)方差函數(shù)的性質(zhì)，有解一元二次方程，考慮可逆性條件，得矩估計第122頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月對矩估計的評價優(yōu)點估計思想簡單直觀不需要假設總體分布計算量?。ǖ碗A模型場合）缺點信息浪費嚴重只用到了p+q個樣本自相關(guān)系數(shù)信息，其他信息都被忽略估計精度差通常矩估計方法被用作極大似然估計和最小二乘估計迭代計算的初始值

第123頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.8續(xù)確定1950年——1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列擬合模型的口徑

擬合模型：AR(1)估計方法：極大似然估計模型口徑第124頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.8續(xù)確定美國科羅拉多州某一加油站連續(xù)57天的OVERSHORTS序列擬合模型的口徑

擬合模型：MA(1)估計方法：條件最小二乘估計模型口徑第125頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.9續(xù)確定1880-1985全球氣表平均溫度改變值差分序列擬合模型的口徑

擬合模型：ARMA(1,1)估計方法：條件最小二乘估計模型口徑第126頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月模型檢驗確定了擬合模型的口徑之后，還要對該擬合模型進行必要的檢驗。模型的顯著性檢驗整個模型對信息的提取是否充分參數(shù)的顯著性檢驗模型結(jié)構(gòu)是否最簡第127頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月模型的顯著性檢驗目的檢驗模型的有效性（對信息的提取是否充分）檢驗對象殘差序列判定原則一個好的擬合模型應該能夠提取觀察值序列中幾乎所有的樣本相關(guān)信息，即殘差序列應該為白噪聲序列

反之，如果殘差序列為非白噪聲序列，那就意味著殘差序列中還殘留著相關(guān)信息未被提取，這就說明擬合模型不夠有效第128頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月假設條件原假設：殘差序列為白噪聲序列備擇假設：殘差序列為非白噪聲序列第129頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月檢驗統(tǒng)計量LB統(tǒng)計量第130頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.8續(xù)檢驗1950年——1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列擬合模型的顯著性

殘差白噪聲序列檢驗結(jié)果延遲階數(shù)LB統(tǒng)計量P值檢驗結(jié)論65.830.3229擬合模型顯著有效1210.280.50501811.380.8361第131頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.8續(xù)由于各階延遲下LB統(tǒng)計量的P值都顯著大于0.05，可以認為這個擬合模型的殘差序列屬于白噪聲序列，即該擬合模型顯著有效。第132頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月參數(shù)顯著性檢驗目的檢驗每一個未知參數(shù)是否顯著非零。刪除不顯著參數(shù)使模型結(jié)構(gòu)最精簡如果某個參數(shù)不顯著，即表示該參數(shù)所對應的那個自變量對因變量的影響不顯著，該自變量就可以從擬合模型中刪除。最終模型將由一系列參數(shù)顯著非零的自變量表示。第133頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月參數(shù)顯著性檢驗假設條件構(gòu)造統(tǒng)計量進行檢驗第134頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.8續(xù)檢驗1950年——1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列極大似然估計模型的參數(shù)是否顯著

參數(shù)檢驗結(jié)果檢驗參數(shù)t統(tǒng)計量P值結(jié)論均值46.12<0.0001顯著6.72<0.0001顯著第135頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.8續(xù):對OVERSHORTS序列的擬合模型進行檢驗

殘差白噪聲檢驗參數(shù)顯著性檢驗檢驗參數(shù)t統(tǒng)計量P值結(jié)論均值－3.710.0005顯著10.53<0.0001顯著延遲階數(shù)LB統(tǒng)計量P值結(jié)論63.140.6780模型顯著有效129.100.6130第136頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.9續(xù):對1880-1985全球氣表平均溫度改變值差分序列擬合模型進行檢驗

殘差白噪聲檢驗參數(shù)顯著性檢驗檢驗參數(shù)t統(tǒng)計量P值結(jié)論16.34<0.0001顯著3.50.0007顯著延遲階數(shù)LB統(tǒng)計量P值結(jié)論65.280.2595模型顯著有效1210.300.4147第137頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月模型優(yōu)化問題提出當一個擬合模型通過了檢驗，說明在一定的置信水平下，該模型能有效地擬合觀察值序列的波動，但這種有效模型并不是唯一的。優(yōu)化的目的選擇相對最優(yōu)模型第138頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.12:擬合某一化學序列等時間間隔，連續(xù)讀取70個某次化學反應的過程數(shù)據(jù)，構(gòu)成一時間序列。試對該序列進行模型擬合。第139頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.12:擬合某一化學序列第140頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月序列自相關(guān)圖第141頁，課件共153頁，創(chuàng)作于2023年2月序列偏自相關(guān)圖第142