2021中考數(shù)學壓軸題·題型組合卷（四）及答案解析

中考壓軸題?題型組合卷(四)

(滿分：30分)

一、選擇、填空題(共2小題，每小題3分，共6分)

1.在平面直角坐標系中，將拋物線y=/+2x+3繞著它與y軸的交點旋轉(zhuǎn)180°,所得拋物線的解析式是()

A.y=-(x+1)2+2B.y=-(x-1)2+4

C.y--(x-1)2+2D.y--(x+1)2+4

2.如圖所示，在菱形ABC。中，AB=4,120°,ZvlEF為正三角形，點E、F分別在菱形的邊8C、CD1.

滑動，且E、F不與&C、O重合.當點E、F在BC、CD上滑動時，則的面積最大值是

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二、解答題(共2小題，每小題12分，共24分)

3.如圖，在平面直角坐標系xOy中，將拋物線y=/平移，使平移后的拋物線經(jīng)過點A(-3,0)、B(1,0).

(1)求平移后的拋物線的表達式.

(2)設平移后的拋物線交y軸與點C,在平移后的拋物線的對稱軸上有一動點P,當BP與CP之和最小時，P

點坐標又是多少？

(3)若y=/與平移后的拋物線對稱軸交于。點，那么，在平移后的拋物線的對稱軸上，是否存在一點M,使

得以M、0、。為頂點的三角形△BO。相似？若存在，求點M坐標；若不存在，說明理由.

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4.如圖，在△ABC中，已知AB=AC=5,BC=6,且△ABC絲△￡>￡下,將△￡>￡尸與△ABC重合在一起，ZkABC不動,

△QEF運動,并滿足：點E在邊8c上沿B到C的方向運動，且OE始終經(jīng)過點A,EF與4c交于M點.

（1）求證：AABEsAECM；

（2）探究：在△DEF運動過程中，重疊部分能否構成等腰三角形？若能，求出BE的長；若不能，請說明理由;

（3）當線段AM最短時，求重疊部分的面積.

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參考答案

一、選擇、填空題（共2小題，每小題3分，共6分）

1.在平面直角坐標系中，將拋物線），=y+2r+3繞著它與y軸的交點旋轉(zhuǎn)180°,所得拋物線的解析式是（）

A.y=-（x+1）2+2B.y=-（x-1）2+4

C.y--（x-1）-+2D.y--（x+1）2+4

【分析】先將原拋物線化為頂點式，易得出與y軸交點，繞與y軸交點旋轉(zhuǎn)180。，那么根據(jù)中心對稱的性質(zhì),

可得旋轉(zhuǎn)后的拋物線的頂點坐標，即可求得解析式.

【解答】解：由原拋物線解析式可變?yōu)椋簓=（x+1）2+2,

，頂點坐標為（-1，2）,與y軸交點的坐標為（0,3）,

又由拋物線繞著它與y軸的交點旋轉(zhuǎn)180。，

新的拋物線的頂點坐標與原拋物線的頂點坐標關于點（0,3）中心對稱，

新的拋物線的頂點坐標為（1,4）,

.?.新的拋物線解析式為:y=-（x-1）2+4.

【點評】本題主要考查了拋物線一般形式及于），軸交點，同時考查了旋轉(zhuǎn)180。后二次項的系數(shù)將互為相反數(shù)，難

度適中.

2.如圖所示，在菱形A8C。中，AB=4,ZBAD=120°,ZiAEF為正三角形，點、E、F分別在菱形的邊8C、CD1.

滑動，且￡尸不與B、C、。重合.當點E、尸在BC、CD上滑動時，則ACE尸的面積最大值是_亞_.

【分析】先求證AB=4C,進而求證△ABC、ZVIC。為等邊三角形，得N4=60°,AC=AB進而求證

ACF,可得5AABE=SZ\ACF,故根據(jù)S四邊形AECF=SAAEC+SAACF=SAAEC^SM8E=SAABC即可解題；當正三角形AEF

的邊4E與8c垂直時，邊AE最短.△AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當4E最短時，正三角形AEP

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的面積會最小，又根據(jù)SACEF=S四邊形4ECF-SMEF,則△CEF的面積就會最大.

【解答】解：如圖，連接AC,

:四邊形ABC￡>為菱形，ZBAD=UO°,

Nl+NE4c=60°,Z3+ZEAC=60°,

.*.Z1=Z3,

'：ZBAD^\20Q,

.?./ABC=60°,

AABC和MACD為等邊三角形，

AZ4=60°,AC=AB,

.,.在△ABE和△ACF中，

'/1=N3

<AC=AC，

ZABC=Z4

A/\ABE^/\ACF(ASA),

??S/sABE=S^ACFf

S四邊形AECF=Szx4EC+SAACF=SaAEC+Sa4BE=SzkABC，是定值，

作4”_L8C于“點，則8"=2,

*,?S四邊形AB2—BH2=4>\/^，

由“垂線段最短”可知：當正三角形AE尸的邊AE與8c垂直時，邊AE最短，

???△AM的面積會隨著AE的變化而變化，且當AE最短時，正三角形AEF的面積會最小,

又SACEF=S四邊形AECF-SAAEF,貝Ij

此時△CEb的面積就會最大，

22=

:.SACEF=SwnmAECF-SAA￡F=4V3-yx2V3X(2?/3)-(^)V3.

故答案為：Vs

【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)及三角形面積的計算，根據(jù)△ABE絲ZVICF,得出

四邊形AECF的面積是定值是解題的關鍵.

二、解答題(共2小題，每小題12分，共24分)

3.如圖，在平面直角坐標系xOy中，將拋物線y=/平移，使平移后的拋物線經(jīng)過點A(-3,0)、8(1,0).

(1)求平移后的拋物線的表達式.

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(2)設平移后的拋物線交y軸與點C,在平移后的拋物線的對稱軸上有一動點尸，當BP與CP之和最小時，P點

坐標又是多少？

(3)若y=/與平移后的拋物線對稱軸交于。點，那么，在平移后的拋物線的對稱軸上，是否存在一點使得

以M、0、。為頂點的三角形△BOD相似？若存在，求點M坐標；若不存在，說明理由.

【分析】(1)設平移后拋物線的表達式為(x+3)(x-1).由題意可知平后拋物線的二次項系數(shù)與原拋物線

的二次項系數(shù)相同，從而可求得“的值，于是可求得平移后拋物線的表達式；

(2)先根據(jù)平移后拋物線解析式求得其對稱軸，從而得出點C關于對稱軸的對稱點C'坐標，連接BC',與

對稱軸交點即為所求點P,再求得直線BC'解析式，聯(lián)立方程組求解可得；

(3)先求得點。的坐標，由點。、B、E、。的坐標可求得02、OE、DE、8。的長，從而可得到△EDO為等腰

三角直角三角形，從而可得到NMOO=NBOO=135°,故此當吼=毀或?_=毀時，以M、0、。為頂點的

DOOBDOOD

三角形與△80。相似.由比例式可求得MO的長，于是可求得點M的坐標.

【解答】解：(1)設平移后拋物線的表達式為(x+3)(x-1).

?.?由平移的性質(zhì)可知原拋物線與平移后拋物線的開口大小與方向都相同，

平移后拋物線的二次項系數(shù)與原拋物線的二次項系數(shù)相同.

???平移后拋物線的二次項系數(shù)為1，即“=1.

.,.平移后拋物線的表達式為)=(x+3)(x-1),

整理得：y=7+2x-3.

(2)：y=f+2x-3=(x+1)2-4,

拋物線對稱軸為直線x=-1,與y軸的交點C(0,-3),

則點C關于直線x=-1的對稱點C'(-2,-3),

如圖1,

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連接B,C,與直線x=-1的交點即為所求點P,

由3(1,0),C'(-2,-3)可得直線8C'解析式為y=x-1,

則卜=x-l,

|x=-l

解得產(chǎn)-1，

ly=-2

所以點P坐標為(-1,-2)；

則DE=OE=l,

...△OOE為等腰直角三角形，

；.NDOE=NODE=45°,N8OO=135°,OD=近,

，BO=泥，

VZBOD=135°,

...點M只能在點。上方，

'：ZBOD=ZODM=135°,

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...當業(yè)=毀或］/=毀時，以M、0、。為頂點的三角形△BOQ相似，

DOOBDOOD

①若吼=毀，則粵=返，解得QM=2,

DOOBV21

此時點M坐標為(-1,3)；

②若吼=2殳，則%=3,解得。M=l,

DOODV2V2

此時點M坐標為(-1,2)；

綜上，點M坐標為(-1,3)或(-1,2).

【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了平移的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖

象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定，證得

=135°是解題的關鍵.

4.如圖，在△ABC中，已知AB=4C=5,BC=6,且將△￡)￡尸與△ABC重合在一起，△ABC不動，

△DEF運動,并滿足：點E在邊BC上沿8到C的方向運動，且QE始終經(jīng)過點A,EF與AC交于M點.

(1)求證：AABEsAECM；

(2)探究：在△OEF運動過程中，重疊部分能否構成等腰三角形？若能，求出8E的長；若不能，請說明理由；

(3)當線段AM最短時，求重疊部分的面積.

BE

【分析】(1)由AB=AC,根據(jù)等邊對等角，可得NB=NC,又由△ABCWaOE尸與三角形外角的性質(zhì)，易證

得NCEM=NBAE,則可證得：AABE^AECM；

(2)首先由且/AME>NC,可得AEWAM,然后分別從AE=EM與AM=EM去分析，注

意利用全等三角形與相似三角形的性質(zhì)求解即可求得答案；

(3)首先設BE=x,由△ABES/XECM,根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，易得CM=--A(x-3)

555

2+9,繼而求得AM的值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得線段AM的最小值，繼而求得重疊部分的面積.

5

【解答】(1)證明：?；A8=4C,

；.NB=NC,

NAEF=ZB,

又；NAEF+NCEM=ZAEC=/B+NBAE,

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:.NCEM=NBAE,

：.△ABES^ECM；

(2)能.

解：VZAEF=ZB=ZC,且NAME>NC,

NAME〉ZAEF,

.?.AEWAM；

當AE=EM時，則MABE藝XECM,

：.CE=AB=5,

.'.BE=BC-EC=