補(bǔ)上一課指對同構(gòu)對數(shù)與指數(shù)均值不等式（課件）《》高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（湘教版）第二章函數(shù)

第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用INNOVATIVEDESIGN補(bǔ)上一課指對同構(gòu)、對數(shù)與指數(shù)均值不等式內(nèi)容索引分層精練鞏固提升題型一同源函數(shù)的構(gòu)造

則m≤－2x3＋3x2－x在[1，10]上恒成立.設(shè)F(x)＝－2x3＋3x2－x(x∈[1，10])，當(dāng)x∈[1，10]時，F(xiàn)′(x)＜0，所以F(x)在[1，10]上單調(diào)遞減，所以F(x)min＝F(10)＝－2×103＋3×102－10＝－1710，所以m≤－1710.故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，－1710].此類問題一般是給出含有x1，x2，f(x1)，f(x2)的不等式，若能通過變形，把不等式兩邊轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)形式相同的代數(shù)式，即轉(zhuǎn)化為同源函數(shù)，可利用該函數(shù)單調(diào)性求解.感悟提升

訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax＋1，對于函數(shù)圖象上任意不同的兩點(diǎn)A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，直線AB的斜率為k，若x1＋x2＋k＞0恒成立，求a的取值范圍.不妨設(shè)x1＞x2＞0，則(x1＋x2)(x1－x2)＋f(x1)－f(x2)＞0，

設(shè)g(x)＝f(x)＋x2＝lnx＋x2－ax＋1，由已知，當(dāng)x1＞x2＞0時，不等式g(x1)＞g(x2)恒成立，則g(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù).所以當(dāng)x＞0時，g′(x)≥0，即2x2－ax＋1≥0，題型二指對同構(gòu)例2(2022·新高考Ⅰ卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝ex－x和g(x)＝x－lnx.證明：存在直線y＝b，其與兩條曲線y＝f(x)和y＝g(x)共有三個不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.證明f(x)＝ex－x，g(x)＝x－lnx，則f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，f(x)min＝g(x)min＝1.當(dāng)直線y＝b與曲線y＝f(x)和y＝g(x)共有三個不同交點(diǎn)時，如圖，設(shè)三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，x3，且x1<x2<x3，則f(x1)＝f(x2)＝g(x2)＝g(x3)＝b.∵f(x)＝ex－x，g(x)＝x－lnx＝elnx－lnx＝f(lnx)，∴f(x1)＝f(x2)＝f(lnx2)＝f(lnx3).由于x2≠x1，x2≠lnx2，∴x2＝lnx3，x1＝lnx2，則f(lnx2)＝elnx2－lnx2＝x2－lnx2＝x2－x1＝b，f(lnx3)＝elnx3－lnx3＝x3－lnx3＝x3－x2＝b，上述兩式相減得x1＋x3＝2x2，即從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.指對同構(gòu)的關(guān)鍵是利用指數(shù)、對數(shù)恒等式將所給關(guān)系式湊配成同源函數(shù).感悟提升

訓(xùn)練2(2020·新高考全國Ⅰ卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝aex－1－lnx＋lna，若f(x)≥1，求a的取值范圍.解f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f(x)＝aex－1－lnx＋lna＝elna＋x－1－lnx＋lna≥1，等價于elna＋x－1＋lna＋x－1≥lnx＋x＝elnx＋lnx.令g(x)＝ex＋x，上述不等式等價于g(lna＋x－1)≥g(lnx).顯然g(x)為單調(diào)增函數(shù)，所以又等價于lna＋x－1≥lnx，即lna≥lnx－x＋1.令h(x)＝lnx－x＋1，

當(dāng)x∈(0，1)時，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，所以h(x)max＝h(1)＝0，所以lna≥0，即a≥1，所以a的取值范圍是[1，＋∞).題型三指數(shù)、對數(shù)均值不等式解f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，①若a≤2，則f′(x)≤0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2，x＝1時，f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.②若a＞2，令f′(x)＝0，

當(dāng)x∈(0，x1)∪(x2，＋∞)時，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(x1，x2)時，f′(x)＞0.所以f(x)在(0，x1)，(x2，＋∞)上單調(diào)遞減，在(x1，x2)上單調(diào)遞增.證明法一由(1)知，f(x)存在兩個極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a＞2.由于x1x2＝1，不妨設(shè)x1＜x2，則x2＞1.

法二由(1)知，f(x)存在兩個極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a＞2.由于f(x)的兩個極值點(diǎn)x1，x2滿足x2－ax＋1＝0，所以x1x2＝1，不妨設(shè)x1＜x2，則x2＞1.

又g(1)＝0，從而當(dāng)x∈(1，＋∞)時，g(x)＜0.關(guān)鍵是湊配出利用對數(shù)均值不等式的形式.感悟提升訓(xùn)練3(1)若函數(shù)f(x)＝lnx－ax有兩個不同的零點(diǎn)x1，x2，證明：x1x2＞e2.證明借助a作為媒介，構(gòu)造對數(shù)均值不等式.依題意，lnx1－ax1＝0，lnx2－ax2＝0.兩式相減，得lnx1－lnx2＝a(x1－x2)，兩式相加，得lnx1＋lnx2＝a(x1＋x2).故欲證x1x2＞e2，即證lnx1＋lnx2＞2，即證a(x1＋x2)＞2，由對數(shù)均值不等式知上式顯然成立.綜上，x1x2＞e2成立.

證明先證對數(shù)均值不等式

當(dāng)x＞1時，h′(x)＜0，所以函數(shù)h(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，h(x)＜h(1)＝0，從而不等式成立.

所以對任意的n∈N*，利用切線放縮法解決不等式問題微點(diǎn)突破一、用切線放縮法求參數(shù)值例1已知f(x)＝ex－ax－1(a＞0)，若f(x)≥0對任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的值.解由切線放縮法可知ex≥x＋1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時等號成立，所以f(x)≥x＋1－ax－1＝(1－a)x，要使f(x)≥0，則只需(1－a)x≥0對任意x∈R恒成立，所以1－a＝0，即a＝1.可驗(yàn)證當(dāng)a＝1時，f(x)≥0恒成立.所以eln(ax)－x＋1＝ln(ax)－x＋2，令t＝ln(ax)－x＋1，則et＝t＋1，由切線放縮法得et≥t＋1，當(dāng)且僅當(dāng)t＝0時等號成立，因?yàn)閑t＝t＋1，所以t＝0，即ln(ax)－x＋1＝0有解，所以ln(ax)＝x－1，即lna＋lnx＝x－1，因?yàn)榍€y＝lnx在x＝1處的切線方程為y＝x－1，所以當(dāng)a＝1，即lna＝0時，直線y＝x－1與曲線y＝lnx有一個交點(diǎn)，即方程ln(ax)－x＋1＝0有一個解，結(jié)合圖象可知，當(dāng)a＞1時，直線y＝x－1與曲線y＝lna＋lnx有兩個交點(diǎn)，即方程ln(ax)－x＋1＝0有兩個解，所以a≥1.因?yàn)閥＝ex－1在x＝1處的切線方程為y＝x，因此用切線放縮法可得不等式ex－1≥x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號，所以得ex－1－lnx－1≥x－lnx－1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號.設(shè)g(x)＝x－lnx－1，當(dāng)0＜x＜1時，g′(x)＜0，所以g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時，g′(x)＞0，所以g(x)單調(diào)遞增.所以x＝1是g(x)的最小值點(diǎn).故當(dāng)x＞0時，g(x)≥g(1)＝0.因?yàn)楹瘮?shù)y＝ex＋1在x＝－1處的切線方程為y＝x＋2，因此用切線放縮法可得不等式ex＋1≥x＋2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1時取等號，所以ax2＋x－1＋ex＋1≥ax2＋x－1＋x＋2＝ax2＋2x＋1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1時取等號.又因?yàn)閍≥1，所以ax2＋2x＋1≥x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1取等號.故當(dāng)a≥1時，有f(x)＋e≥0.FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分層精練鞏固提升1.若不等式xex－a≥lnx＋x－1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解∵xex－a≥lnx＋x－1，∴elnx＋x－a≥lnx＋x－1，令t＝lnx＋x，則et－a≥t－1恒成立，則a≤et－t＋1恒成立，令φ(t)＝et－t＋1，∴φ′(t)＝et－1，當(dāng)t∈(－∞，0)時，φ′(t)＜0；當(dāng)t∈(0，＋∞)時，φ′(t)＞0，∴φ(t)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴φ(t)min＝φ(0)＝2，∴所求a的取值范圍是(－∞，2].【A級

基礎(chǔ)鞏固】2.(2023·常德模擬改編)已知函數(shù)f(x)＝xex－x.證明：當(dāng)x＞0時，f(x)－lnx≥1.證明要證f(x)－lnx≥1，即證xex－x－lnx