變換群置換群與循環(huán)群課件

1.彭姝Email:pengshu@實(shí)驗(yàn)室:軟件樓3102.顧俊Email:gujun@

實(shí)驗(yàn)室：軟件樓3103.趙一鳴BBS:zhymEmail:zhym@每周三交作業(yè)1.彭姝§2變換群、置換群與循環(huán)群例13.8:證明不等邊長(zhǎng)方形所有對(duì)稱的集合,關(guān)于其合成

構(gòu)成群。B4={e,

,

,

},[B4;

]是4元素群,稱為Klein四元群?！?變換群、置換群與循環(huán)群例13.8:證明不等邊長(zhǎng)方形所有一、變換群變換:非空集合S到S的一個(gè)映射,當(dāng)映射是一一對(duì)應(yīng)時(shí),稱為一一變換。SS表示S到S的所有映射全體組成的集合,SS={f|f:S

S}，[SS;

]是半群。是擬群。不是群T(S)表示S上所有一一變換組成的集合。T(S)={f|f

SS,且f為一一對(duì)應(yīng)}[T(S);

]是群一、變換群變換:非空集合S到S的一個(gè)映射,定義13.5:設(shè)G

T(S),當(dāng)[G;

]為群時(shí),就稱該群為變換群,其中

為一一變換的合成(復(fù)合)運(yùn)算,并稱為變換的乘法。定理13.9:[T(S);

]是一個(gè)變換群。變換群不一定是交換群定義13.5:設(shè)GT(S),當(dāng)[G;]為群時(shí),就稱該群為二、置換群定義13.6:設(shè)S

,|S|<+

,S上的一個(gè)一一變換稱為置換。S上的某些置換關(guān)于乘法運(yùn)算構(gòu)成群時(shí),就稱為置換群。若|S|=n,設(shè)S={1,2,

,n},其置換全體組成的集合表示為Sn;[Sn;

]是一個(gè)置換群,n次對(duì)稱群。二、置換群定義13.6:設(shè)S,|S|<+,S上的一個(gè)一S上的置換

Sn,習(xí)慣上寫成這里

(i)即為i在函數(shù)

下的象，這里1,2,

,n次序無關(guān)，即S上的置換Sn,習(xí)慣上寫成這里(i)即為i在函數(shù)變換群置換群與循環(huán)群課件n次對(duì)稱群Sn是有限群,問|Sn|=?S上的一一變換個(gè)數(shù)有多少?S上的一一變換個(gè)數(shù)是n!,即|Sn|=n!。下面以三次對(duì)稱群S3為例，考察群運(yùn)算。n次對(duì)稱群Sn是有限群,問|Sn|=?變換群置換群與循環(huán)群課件定義13.7:設(shè)|S|=n,

Sn,形如:其中2≤d≤n。這種形式的置換叫做循環(huán)置換,稱其循環(huán)長(zhǎng)度為d。上述

可寫為

=(i1,…,id)，其中在變換

下的象是自身的元素就不再寫出。特別,當(dāng)d=2時(shí)稱為對(duì)換。定義13.7:設(shè)|S|=n,Sn,形如:其中2≤d≤定理13.10:Sn中的任一個(gè)置換均可分解為不含公共元的若干個(gè)循環(huán)置換的乘積。證明:對(duì)n作歸納n=1,成立假設(shè)當(dāng)|S|n-1,結(jié)論成立(n>1)當(dāng)|S|=n,任取Sn中的置換

由元素1出發(fā)取上的循環(huán)置換推論13.1:任意一個(gè)置換可以分解為若干個(gè)對(duì)換的乘積。定理13.10:Sn中的任一個(gè)置換均可分解為不含公共元的若干說明分解不唯一說明分解不唯一定理13.11：任意一個(gè)置換可分解成對(duì)換的乘積,這種分解是不唯一的,但是這些對(duì)換的個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)還是偶數(shù)個(gè)卻完全由置換本身確定。對(duì)一個(gè)置換，它可能有不同的對(duì)換乘積，但它們的對(duì)換個(gè)數(shù)的奇偶性則是一致的。定義13.8：一個(gè)置換的對(duì)換分解式中,對(duì)換因子的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)稱該置換為偶置換,否則,稱它為奇置換。定理13.11：任意一個(gè)置換可分解成對(duì)換的乘積,這種分解是長(zhǎng)度為k的循環(huán)置換(i1i2…ik)=(i1i2)(i2i3)…(ik-2ik-1)(ik-1ik)

共k-1個(gè)對(duì)換所以當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，該循環(huán)為偶置換當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，該循環(huán)為奇置換推論13.2：一個(gè)長(zhǎng)度為k的循環(huán)置換,當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),它是一個(gè)偶置換;當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),它是一個(gè)奇置換。長(zhǎng)度為k的循環(huán)置換推論13.3：每個(gè)偶置換均可分解為若干個(gè)長(zhǎng)度為3的循環(huán)置換的乘積,循環(huán)置換中可以含有公共元。證明:對(duì)任兩個(gè)對(duì)換:(a,b)(c,d)(a,b)(b,c)推論13.3：每個(gè)偶置換均可分解為若干個(gè)長(zhǎng)度為3的循環(huán)置推論14.4：Sn中的奇、偶置換在置換的乘法運(yùn)算下,其奇偶性由下表給出:

偶置換奇置換 偶置換偶置換奇置換奇置換奇置換偶置換

恒等置換看作為偶置換Sn=On∪AnOn∩An=偶置換與偶置換的乘積仍是偶置換，

是An上的運(yùn)算[An;

]是代數(shù)系統(tǒng)。推論14.4：Sn中的奇、偶置換在置換的乘法運(yùn)算下,其奇偶性1.封閉性2.結(jié)合律當(dāng)然成立3.恒等置換e

An4.對(duì)于

An,在Sn中有逆元-1,

-1也是偶置換推論13.5：對(duì)稱群Sn中所有偶置換組成的集合,記為An,關(guān)于置換的乘法構(gòu)成群。1.封閉性定義13.9：稱上述[An;

]為n次交待群。由于An中每個(gè)元素都是置換,因此根據(jù)置換群的定義可知[An;

]也是置換群.|An|=?若n=1，Sn只有一個(gè)置換——恒等置換，它也是An的元素，|An|=1。若n>1,|An|=|On|=定義13.9：稱上述[An;]為n次交待群。例：G={g1,g2,

gn},[G;

]是群,對(duì)任意g

G,定義映射

g:G

G,使得對(duì)任意g'

G,有

g(g')=g

g'。設(shè)

={

g|g

G},則[

;

]是置換群。這里是關(guān)于映射的復(fù)合運(yùn)算.證明:(0)

是上的運(yùn)算(1)

是滿足結(jié)合律的.(2)存在單位元(3)對(duì)任意

g

,存在逆元(4)g是G上的置換例：G={g1,g2,gn},[G;]是群,對(duì)任意g三、循環(huán)群1.元素的階定義13.10:設(shè)G為群,e是G的單位元，對(duì)于a

G,如果存在最小正整數(shù)r，使得ar=e，則稱r為元素a的階;也可稱a是r階元。若不存在這樣的r，則稱a為無限階元或說a的階無限。三、循環(huán)群1.元素的階元素a的階有限的特征：若元素a的階有限，則存在k,l

Z(k

l),使ak=al，如果a的任意兩個(gè)冪都不相等,則元素a的階無限