2023屆陜西省西安市長安一中高三上學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)(理)試題(含答案)

長安一中2020級高三第二次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)(理科)試題(共12小題5分)一、選擇題，每小題21．已知復(fù)數(shù)=（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)的模為（）i?zzi23zA．12．如圖是甲A．甲的數(shù)學(xué)成績最后3次逐漸降低B．甲的數(shù)學(xué)成績在130分以上的次數(shù)少于乙的數(shù)學(xué)成績在130分以上的C．甲有7次考試D．甲數(shù)學(xué)極差大于乙數(shù)學(xué)成績的極差B．C．D．735、乙兩人高考前10次數(shù)學(xué)模擬成績的折線圖，則下列說法正確的是（）次數(shù)成績比乙高成績的+x?4x24,5=，則（）3．已知集合A=B=0,1,2,3,4,50x，()()()()BADA．BCAB．AB．BA．RRRR4．圖形是信息傳播?互通的重要的視覺語言，《畫法幾何》是法國著名數(shù)學(xué)用“三視圖"來表示三“三視圖”，需要分別從幾何體正面、左面、上面三個不同角.下圖且網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則錐的外接球的表面積為（）家蒙日的數(shù)學(xué)巨著，該書在投影的基礎(chǔ)上，維空間中立體圖形.即做一個幾何體的度觀察，從正投影的角度作圖中粗實線畫出的是某三棱錐的三視圖，該三棱A．26B．27C．30D．33高三理科數(shù)學(xué)試題第1頁，共5頁()y=sin2xlogx的圖象大致是（）5．函數(shù)2A．C．B．D．6．已知在中，三個內(nèi)角，，的對邊分別為ca，b，，若函數(shù)ABCACB()()1fx=x3+bx2+a2+c2?acx+3無極值點，則cos的最小值是（）B3111A．BCD．．．4236?ABCDABCD中，為線段上的動點（不含端點），則下列AB1的正方體7．如圖，棱長為結(jié)論錯誤的個數(shù)是（）①平面DAP⊥平面P11111AAP1110,2②APD的取值范圍是1?③三棱1錐BDPC的體1積為定值④DC⊥DP11A．1B．2C．3D．4國古代數(shù)學(xué)的瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱為8．中“曲池”?該幾何體是上下的幾何體，底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，AA垂直于1AD圓心角為，弧長度是弧BC2AA=5，底面扇環(huán)所對的底面，13倍，=，則積為（）長度的該曲池的體CD21195．10D．A．BC．22高三理科數(shù)學(xué)試題第2頁，共5頁9．設(shè)球O與圓錐SO的體積分別為V，V，若球O的表面積與圓錐SO的側(cè)面積相等，且圓錐SO11121V1V2的軸截面為正三角形，則的值是（）323626A．BCD．3．3．33:+y2=1(ab0)的右焦點為x210．設(shè)橢圓b2C,AB關(guān)于原點對稱，且滿足F，橢圓上的兩點Ca2FAFB=0,|FB||FA|2|FB|C的離心率的最大值是（），則橢圓1253A．BCD．3．．333x+?1(0)，給出下列結(jié)論：=11．已知fx()2sin23f(x)=1，f(x2)=﹣1，且1|x﹣x|=π，則ω=1；①若12minω∈(0，2)，使得f(x)的圖象向左平移個單位長度后得到的y軸對稱；圖象關(guān)于6②存在4147f(x)在[0，2π]上恰有7個零點，則ω的取值范圍為；,24242③若?,f(x)在上單調(diào)遞增，則0,④若64ω的取值范圍為.3其中，所有錯誤結(jié)論的編號是（）A．①②B．①③C．②③D．②④a12．設(shè)=0.1e0.1,b=1，c=?ln0.9，則（）9abcA．cbaB．cabC．D．a(chǎn)cb二、填空題(共4小題，每題5分)13．已知?滿足平面向量，??，??|=2，????|=√2，則?與的夾角為．___________???=(11)，14．已知雙曲線2?2=1(>0,>0)的兩條漸近線均與圓(?5)+2=9相切，右焦點222和圓心重合，則該雙曲線的標準方程為____________．15．核酸檢測是疫情防控的一項重要舉措.某相鄰兩個居民小區(qū)均計劃在下天時間內(nèi)，隨機選擇其中的連續(xù)三天做檢測，則恰好僅有一天這兩個居民小區(qū)同時在做檢測的概率為16．已知的三月的1日至7日這七___________.邊長分別為，，，角是鈍角，則的取值范圍是________.△2高三理科數(shù)學(xué)試題第3頁，共5頁三、解答題：（一）必考題：共60分(每題12分)a17．已知等差數(shù)列a是單調(diào)遞增數(shù)列，a=2，且a?a,a+5成等比數(shù)列，1,S是數(shù)列的nn345n2前n項和.3b的前項和，求(1)求數(shù)列a的通項公式；設(shè)(2)b=，是數(shù)列Tnn.Tnaann+1nnn18.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，PA＝15，M，N分別為BC，PC的中點，PD⊥DC，PM⊥MD.(1)證明：CD⊥平面PDM；(2)求直線AN與平面PBC所成角的正弦值.19.在新冠肺炎疫情肆虐之初，作為重要防控物資之一的口罩是醫(yī)務(wù)人員和人民群眾抗擊疫情的武器與保障，為了打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)，我國企業(yè)依靠自身強大的科研能力，果斷轉(zhuǎn)產(chǎn)自行研制新型全自動高速口罩生產(chǎn)機，“爭分奪秒、保質(zhì)保量”成為口罩生產(chǎn)線上的重要標語．(1)在試產(chǎn)初期，某新型全自動高速口罩生產(chǎn)流水線有四道工序，前三道工序完成成品口罩的生產(chǎn)且互不影響，第四道是檢測工序，包括紅外線自動檢測與人工抽檢．已知批次I的成品口罩生產(chǎn)中，前三道工序的次品率分別為P=1P=，P=11p，．求批次I成品口罩的次品率．3534331123()(2)已知某批次成品口罩的次品率為p0p1，設(shè)100個成品口罩中恰有1個不合格品的概()()pp=p．某醫(yī)院0pp0率為，記的最大值點為，改進生產(chǎn)線后批次J的口罩的次品率J獲得批次I，J的口罩捐贈并分發(fā)給該院醫(yī)務(wù)人員使用．經(jīng)統(tǒng)計，正常佩戴使用這兩個批次的口p罩期間，該院醫(yī)務(wù)人員核酸檢測情況如下面條形圖所示，求，并判斷是否有99.9%的把握認0為口罩質(zhì)量與感染新冠肺炎病毒的風(fēng)險有關(guān)？()nad?bc2K=()()()()附：2．a(chǎn)+bc+da+cb+d高三理科數(shù)學(xué)試題第4頁，共5頁()PKk20.0503.8410.0106.6350.0057.8790.001k10.8282(3,），橢圓C的左頂點為．(?2,0)20.已知橢圓C的一個焦點為，橢圓過2P(1)求橢圓C的方程；0的直線過點(2)已知斜率存在且不為D(1,0)，設(shè)直線與橢圓C交于A，B.ll=分別交直線x=3于點,，且，記直線AB，RD的斜率分別為k,k.MNMRRN若直線,PAPB探究：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．()kkfx=ex?ax2?bx?1,a,bR,e=2.71828為自然對數(shù)的底數(shù)21.已知函數(shù).()()()(1)設(shè)gx是函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)gx在區(qū)間上的最小值；0,11()ebxa時g(x)=0，證明：當(dāng)x0時，?ln(x+1)x2．(2)若2min（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．[選修4—4：坐標系與]參數(shù)方程()22.在平面直角坐標系xOy中，圓2,2C的圓心坐標為且過原點，橢圓E的參數(shù)方程為1x=2cos（為參數(shù)）.以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，y=sin()=極坐標方程為30.C曲線的2(1)求圓C的極坐標方程C2和曲線的普通方程；1(2)若曲線CC相交于異于原點的點P，是橢圓上的動點，求面積的最大值EOPM.M1與圓2[選修4—5：不等式選講]()23.已知函數(shù)f(x)=2x+2x?1，集合A=xfx3.1?t?1s,tA，求證(2)若t(1)求A；ss.高三理科數(shù)學(xué)試題第5頁，共5頁2020級高三第二次質(zhì)量檢測理數(shù)答案詳解一、選擇題題號123456C7A89101112CD答案CCBBADBC二、填空題14.=115.616.(?1,√2?1]2513.42?21692選填詳解：()1．C【詳解】因為2z?z2=2?12i．故選：C．?是，所以其共軛復(fù)數(shù)i2=+12i3i32．C【詳解】對于A，由折線圖可知最后三次數(shù)學(xué)成績逐漸升高，故A說法錯誤；對于B，甲的數(shù)學(xué)成績在130故B說法錯誤；65分以上的次數(shù)分以上的次數(shù)為次，為次，乙的數(shù)學(xué)成績在130對于C,甲有7次考試成績比乙高故的說法正確；,C對于D，由折線圖可知，甲乙兩人的數(shù)學(xué)成績的最高成績相同，甲的最低成績?yōu)?20分，乙的最低成績?yōu)?10分，因此甲數(shù)學(xué)成績的極差小于乙數(shù)學(xué)成績的極差，D說法錯誤.x+2x?40(2,4)，所以e=Ax|x≤?2或x≥4}.{3．B【詳解】因為A=<=?xR(){}e=所以AB4,5故選：B.R4B．【詳解ABCD?】依題意，如圖，三棱錐是給定的三視圖對應(yīng)的兩兩垂直，且A=BACAD3，==三棱錐，其中AB,AC,AD三棱錐ABCD?與以AB,AC,AD為棱的正方體有共同的外接球，其直徑是該正方體的體對角線，ππ，故選：B因此，三棱錐的外接球直徑2R=AB2+AC2+AD2=33，其體積V4R27==2()()f(x)ysin2xlogx，則f(?x)=sin?2x?log?x=?f(x)，25．A【詳解】設(shè)==?2()故=f(x)sin2xlogx為奇函數(shù)，故C,D?錯誤；2π()而令y=sin2x?logx=0時，在π之間的函數(shù)零點有1,兩個，故B錯誤，故選：A(0,)22=1x3+bx2acacx+3，+()+?()6C．【詳解】解：因為fx223所以f(x)x+2bxa++c2?ac，′=22′=若無極值點，即無變號零點，又二次函數(shù)f(x)yx2bx+a2=++c2?ac開口向上，f(x)02′≥?≤0所以恒成立，等價為判別式，f(x)0a2+c2?b2，所以=+?≥accosB≥1故選：．C即=??4(a2+c2?ac)?0，得b24b2ac222ac27A．【詳解】∵DA平面AAP，∴平面⊥⊥DAP平面AAP，111111①正確；22=9，此時8=+若P是AB上靠近A的一個四等分點，DP1211145AP2AA2+AP2?2AA×AP×cos45DP+AP2<AD2，2，8111111此時∠DPA為鈍角，②錯；1BDC，因此P?BDC的底面由于BP//CD，則BP//平面是確定的，高也是定值，其體積為定11111③值，正確；而DC⊥DC，DC//AB，所以DC⊥AB，且DC,⊥AD111111111,APDABAD=A，所以平面DC⊥1111111DP?平面APD，因此DC⊥DP，④A正確．故選：．111118．【詳解】D不妨設(shè)弧AD所在圓的半徑為，弧所在圓的半徑為，由弧AD長度為弧RBCrBC長度的3倍可知R=3r=?==，CDRr2r2，ππ=×?×=(R2r)510故選：=r1R3=.所以，故該曲池的體積V.D.24R9．【詳解】C設(shè)球O的半徑為，圓錐SO的底面半徑為，r則圓錐SO的母線長l=2r，114πR34πR3V=∴1V6.33==3=πrl=2πr24πR=由題意得2，解得，r2R13πr3πr332?4r2?r2210D．【詳解】如圖所示：設(shè)橢圓的左焦點，由橢圓的對稱性可知，F(xiàn)'FAFB0FAFB⊥四邊形AFBF'為平行四邊形，又?=，即，=ABF=F'2c，所以平行四邊形AFBF'為矩形，所以設(shè)AF'=n，AF=m，在直角ABF中，，+=22m+n=2amn4c2，mn2c2，nmb2mn2b=+=得，所以2[]，m12c2m=令，得t+=FBFA≤2FB，得≤=t∈1,2，又由tntb2n5∈1,441，9212c5cb2∈2,2，即2∈,+=所以t，所以tb22ba2225==1?b2∈c25,，所以離心率的取值范圍是，故選：D.23,所以eaa232ππω+2π611B=ω+?=?ω+=sin2x，．【詳解】∵f(x)2sin2x1cos2x33ππ2ωω2=.∴的最小正周期為f(x)=π①()=1()=1||xxmin2，所以=2π的最小正周期為，Tf(x)對于：因為，﹣，且﹣fxfx121πω∴=2?=1πω.故錯誤；①2ωπ+πω=對于：圖象變換后所得函數(shù)為ysin2x+②，63ωπππ+=+π，∈，解得kkZ若其圖象關(guān)于軸對稱，則yω=1+3k，k∈Z，362當(dāng)k時，=1∈(0,2).故正②+πω=0確；πππ[]ωx∈0,2π時，t=2ωx+∈,4ωπ+，當(dāng).=③對于：設(shè)t2x6666π,4ωπ+π在[0,2]上有7個零點，即在t∈ysintπ=上有7個零點.f(x)66π+<641≤<47ω.故錯誤；③，解得2424πωππ87≤則4π+πππkπ+3πkππω剟2k2xπ?++2k,kZ∈?ωω剟x6ω+ω,k∈Z,④對于：由，得，262ππ???πω3π6ωππω362，若在,fx上單調(diào)遞增，則<ω，解得0=0?剟x()?.取，可得kππ?364ω…64④.B.故正確故選：f(x)ln(1+x)?x(x>?1)，因為=11+xx，1+x12C=?1=?．【詳解】設(shè)f′(x)x(1,0)∈?時，f′(x)>0，當(dāng)x∈(0,+∞)時f′(x)<0，當(dāng)f(x)ln(1+x)?x在(0,+∞)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，(?1,0)所以函數(shù)1f()f(0)0101ln?<0110<所以=>ln=?ln0.9>，即，bc，所以，故9999919191111<f(?所以10)f(0)0=<ln+<0<?<ab，所以，故，所以，故，ee101010101010()9x1ex+1?，則′=()g(x)x+1ex+12,g(x)xex+ln(1?x)(0<x<1)=設(shè)x?1=x?1=h(x)ex(x2?1)+1，h′(x=)ex(x2+2x?1)，令當(dāng)0<x<?時，，函數(shù)′<h(x)0=h(x)ex(x2?1)+1單調(diào)遞減，21′>=h(x)ex(x2?1)+1單調(diào)遞增，當(dāng)?<<時，，函數(shù)h(x)021x1<h(x)0，又h(0)=0，所以當(dāng)0<x<?時，21′>g(x)=xex+ln(1?x)單調(diào)遞增，g(x)0，函數(shù)所以當(dāng)0<x<?時，21g(0.1)>g(0)=0，即>?ln0.9>C.所以，所以ac故選：0.1e0.1二、填空題13．【詳解】因為?=(1,1)，所以|?|=√2，因為?????=√2?+2?2????=2．所以??，所以????=2，2???設(shè)??夾角為，則?,由平面向量數(shù)量積的定義可得2=√2，2==|??|?|??|√2×2.故答案為：.4因為0≤≤，所以=414．【詳解】由題意可知，雙曲線2?2=1(>0,>0)的漸近線方程為=±，即±=220.由圓的方程為(?5)2+2=9，得圓心為(5,0)，半徑為=3.雙曲線右焦點的坐標為(5,0).=5=1(>0,>0)的兩條漸近線均與圓:(?5)2+2=9相切，因為右焦點和圓心重合，所以又因為雙曲線22?22所以|5×±0×|=3，即5×=3，解得=3.所以=2?2=25?9=16,2222=1.故答案為：=1.9所以該雙曲線的標準方程為2?22?21691615．【詳解】在下月的1日至7日這七天時間內(nèi)，隨機選擇其中的連續(xù)三天做核酸檢測，兩個居51324354民小區(qū)均有種選擇，分別為日至日，日至日，日至日，日至日，日至日，65752=25種，其中這兩個居民小區(qū)恰好有一天同時在做核酸檢測的情況：（123,345），故總的情況有234,4563455673（），（，）共有種情況，再進行排列，所以共有3=6種情況，2266所以恰好僅有一天這兩個居民小區(qū)同時在做核酸檢測的概率為故答案為：252516．【詳解】的三邊長分別為，，，且角是鈍角，則2△>+2，2?1c>b當(dāng)時，令=>1，(2)<22===2+1(，)+22()2+1)2+2(111=√2?1≤=“=”，當(dāng)且僅當(dāng)=√2+1時取，)+22√2+22(+22?()?2+2即()≤√2?1，0<22?1c≤b當(dāng)時，=∈(0,1]，(2)>22==，2+12()2+1，∈(0,1]，′()=1?(2+1)()=2>0，()在(0,1]上單調(diào)遞增，(0)<ft令()=2+1(2+1)2(2+1)2()≤(1)，即?1<()≤0，2].綜上得(?1<()2?1.故答案為：2?1)≤√2?1，所以的取值范圍是√]2(?1,√2(?1,222三、解答題{}．【詳解】解：（）設(shè)()171>0a的公差為dd，則na+d=2,∴2?2d?3=0，∵>0，∴，=3d=?11)()()da1da+2d?1a+4d+5=a+3d2111{}()∴a的通項公式為a=a+n?1d=3n?4.nn133=11=bn=（）由（）得aa3n?43n?13n?4?3n?1，()()21nn+1111111T=?+?+?+...+58111113n.?122518.解析：3n?7?3n?43n?4?3n?1=?1?3n?1=?3n?111(1)證明因為底面ABCD是平行四邊形，∠ABC＝120°，BC＝4，AB＝1，且M為BC的中點，所以CM＝2，CD＝1，∠DCM＝60°，易得CD⊥DM.又PD⊥DC，且PD∩DM＝D，?PD，DM平面PDM，所以CD⊥平面PDM.?(2)解因為PM⊥MD，由(1)知PM⊥DC，又MD，DC平面ABCD，MD∩DC＝D，所以PM⊥平面ABCD.連接AM，則PM⊥AM.因為∠ABC＝120°，AB＝1，BM＝2，所以AM＝7.又PA＝15，所以PM＝22.由(1)知CD⊥DM，過點M作ME∥CD交AD于點M為坐標原點，MD，ME，MP所在直線分別為A(－3，2，0)，P(0，0，22)，C(3，－1，0)，E，則ME⊥MD.故可以以x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則321233252→所以N，－，2，所以AN＝，－，2.設(shè)平面PBC一個法向量為n＝(x，y，z).設(shè)直線AN與平面PBC所成的角為θ，()()3,?1,?22=BC23,?2,0nBC=0,由可求出n＝(1，3，0).nPC=0PC=→55正弦值為.10則sinθ＝|cos〈AN→，n〉|＝＝.故直線AN與平面PDM所成角的AN→·n10|AN|·|n|19.【詳解】解：（1）批次Ⅰ成品口罩的次品率為()()()3433323××=35343335．p=?11?p1?p1?p=?11123（2）100個成品口罩中恰有1個不合格品的概率?()()p=C1p?1?p99．100?′()()()()()p=1001?p?99p1?p=1001?p?1?100p999898因此．令?′(p)=0，得p=0.01．當(dāng)p∈(0,0.01)時，?′(p)>0；當(dāng)p∈(0.01,1)時，?′(p)<0．?(p)的最大值點為p=0.01．所以0pp3≈0.09==0.01由（1）可知，=p1，，故批次J口罩的次品率低于批次Ⅰ，35J0故批次J的口罩質(zhì)量優(yōu)于批次Ⅰ．由條形圖可建立2×2列聯(lián)表如下：口罩批次核酸檢測結(jié)果合計JI呈陽性呈陰性合計12284035760(1585100())nad?bc=1001257283××?×22K2=()()()()a+bc+da+cb+d×××40601585=100×600×600200≈11.765>10.828．=40×60×15×8517因此，有99.9%的把握認為口罩質(zhì)量與感染新冠肺炎病毒的風(fēng)險有關(guān)．x2y2=1+20.(1)42=yk(x?1),l的方程為：yk(x?1)，與橢圓方程聯(lián)立可得=(2)由題意得直線x2y2=1,+42(2k+x2?4k2+1)x2k整理得2?4=0，24k22k2+12k2?4xx=2k2+1②，（8分）12A(x,k(x?1)),B(x,k(x?1))，則設(shè)①，xx+=112212k(x?1)x+215k(x?1)x+21y(x+2)，令x=3，解得M(3,)，又P(?2,0)，所以直線的方程為PA115k(x?1))，N(3,同理可得，2x+22x(1?1x?125kMRRNR(x,y).因為=，所以x==3，2x+2+x+2)，設(shè)RyRRR125?3k=?53?1556將①②代入上式并化簡可得，所以k′==?，故k?k′=?6k，為定值．yR3k()()()gx=fx=ex?2ax?b∴g'x=?ex2a21.解析：（1）'[]gx∈1?2a,e?2a∴當(dāng)1?2a≥0?a≤1時，g'x≥0[]()()當(dāng)x∈0,1時，'2()∴gx()()∴gx=g0=1?b單調(diào)遞增min()()()ln2,1單調(diào)遞增當(dāng)1?2a<0<e?2a?1<a<e()時在a單調(diào)遞減，在a2()∴gx=gln2a=2a?2aln2a?bgx()0,ln22()()()min()()當(dāng)e?2a≤0?a≥e時，gx≤0∴gx單調(diào)遞減'2()()1綜上所述：時，()()∴gx=g1=e?2a?ba≤gx=g0=1?b2minmin()12<a<e()時，()()gx=gln2a=2a?2aln2a?b2min()()gx=g1=e?2a?ba≥e時，2min1a≤時g(x)=1?b（2）由（1）知,當(dāng)2min,>++x,即ex?1>x+x2=x2+2x,∴b=1且2x>0時1exx222()x2要證不等式e?1ln(x+1)>x2,只需證明ex?1>ln(x+1),xx