2022-2023學(xué)年上海六年級數(shù)學(xué)下學(xué)期同步知識點講練第12講角含詳解

第12講角（核心考點講與練）

聚焦考點

角的概念

（1）角的定義：有公共端點是兩條射線組成的圖形叫做角，其中這個公共端點是角的頂點，這

兩條射線是角的兩條邊.

（2）角的表示方法：角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示.其中頂點字母

要寫在中間，唯有在頂點處只有一個角的情況，才可用頂點處的一個字母來記這個角，否則分不

清這個字母究竟表示哪個角.角還可以用一個希臘字母（如Na,Zp,ZY>-）表示，或用阿

拉伯?dāng)?shù)字（ZbZ2-）表示.

（3）平角、周角：角也可以看作是由一條射線繞它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，當(dāng)始邊與終邊成

一條直線時形成平角，當(dāng)始邊與終邊旋轉(zhuǎn)重合時，形成周角.

（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量單位.1度=60分，即1°=60',1分=60秒，即

1'=60".

方向角

方向角是從正北或正南方向到目標(biāo)方向所形成的小于90°的角

（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向為基準(zhǔn)，來描述物體所處的方向.

（2）用方向角描述方向時，通常以正北或正南方向為角的始邊，以對象所處的射線為終邊，故

描述方向角時，一般先敘述北或南，再敘述偏東或偏西.（注意幾個方向的角平分線按日常習(xí)

慣，即東北，東南，西北，西南.）

（3）畫方向角

以正南或正北方向作方向角的始邊，另一邊則表示對象所處的方向的射線.

三.度分秒的換算

（1）度、分、秒是常用的角的度量單位.1度=60分，即1°=60',1分=60秒，即1'=

60”.

（2）具體換算可類比時鐘上的時、分、秒來說明角的度量單位度、分、秒之間也是60進制，將

高級單位化為低級單位時，乘以60,反之，將低級單位轉(zhuǎn)化為高級單位時除以60.同時，在進行

度、分、秒的運算時也應(yīng)注意借位和進位的方法.

四.角平分線的定義

（1）角平分線的定義

從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線.

（2）性質(zhì)：若。C是44OB的平分線則NA。C=NB。C=工44。B或/4。B=2NA。C=2N

2

BOC.

A

C

B（3）平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規(guī)作圖法等，要注意積

累，多動手實踐.

五.角的計算

（1）角的和差倍分。

①是NAOC和N80C的和，記作：ZAOB^ZAOC+ZBOC.Z40C是N40B和/BOC的

差，記作：ZAOC=ZAOB-ZBOC.②若射線。C是N40B的三等分線，則NAO8=3/BOC或

ZBOC=^-ZAOB.

3

（2）度、分、秒的加減運算.在進行度分秒的加減時，要將度與度，分與分，秒與秒相加減，

分秒相加，逢60要進位，相減時，要借1化60.

（3）度、分、秒的乘除運算.①乘法：度、分、秒分別相乘，結(jié)果逢60要進位.②除法：度、

分、秒分別去除，把每一次的余數(shù)化作下一級單位進一步去除.

六.余角和補角

（1）余角：如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角.即其中一個角是另一

個角的余角.

（2）補角：如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補角.即其中一個角是另一

個角的補角.

（3）性質(zhì)：等角的補角相等.等角的余角相等.

（4）余角和補角計算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián).

注意：余角（補角）與這兩個角的位置沒有關(guān)系.不論這兩個角在哪兒，只要度數(shù)之和滿足了定

義，則它們就具備相應(yīng)的關(guān)系.

七.角的大小比較

（1）比較角的大小有兩種方法：

①測量法，即用量角器量角的度數(shù)，角的度數(shù)越大，角越大.

②疊合法，即將兩個角疊合在一起比較，使兩個角的頂點及一邊重合，觀察另一邊的位置.

（2）表示法：

?ZAOB>ZA'O'B',

?ZAOB=ZA'O'B',?ZAOB<ZA'O'B'.

Ju名師點睛

角的概念（共2小題）

1.（2019春?浦東新區(qū)期末）如圖，ZAOB=20°,NAOC=90°,點8、。、。在同一直線上,

則/C。。的度數(shù)為（）

B.105°C.110°D.115°

2.（2018春?浦東新區(qū)期末）如圖是用量角器測量角度的結(jié)果，如果NAO8=NCOO,那么N

A。。的度數(shù)是

方向角（共3小題）

3.（2021春?浦東新區(qū)期末）甲、乙兩座城市，乙城市位于甲城市南偏西25°的方向上，則甲城

市位于乙城市（）

A.北偏西25°的方向上B.北偏東25°的方向上

C.北偏西65°的方向上D.北偏東65°的方向上

4.（2021春?普陀區(qū)期末）如圖，射線04所表示的方向是（）

北

?~尹^5東

南A.西偏南3（）°B.西偏南60°C.南偏西30°D.南偏

西60°

5.（2021春?閔行區(qū)期末）點4位于點8的北偏東方向15°,若將點8以點A為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)90°

落在點C處，則點A在點C的方向.

三.度分秒的換算（共5小題）

6.（2020秋?婺城區(qū)校級期末）計算：48°59'+67°31'-21°12'=.

7.（2020春?浦東新區(qū)期末）己知NA=30°45',ZB=30.45°,則乙4ZB.（填

“〉”、"V”或“=”）

8.（2018秋?蕪湖期末）用度、分、秒表示24.29°=.9.（2018春?普陀區(qū)期末）計

算：22°34'36"+34°744"=.

10.（2017春?浦東新區(qū)期末）已知/A=37°24',ZA+ZB=70°,那么NB=.

四.角平分線的定義（共3小題）

11.（2021春?浦東新區(qū)校級期末）點A在點8的北偏東80°方向上，點C在射線8A與正北方向夾

角的角平分線上，那么點C位于點A處.

12.（2021春?普陀區(qū)期末）如圖，OP、。。分別是/A08、NBOC的平分線，如果/尸。。=

28°,那么/AOC=°.

（2019春?松江區(qū)期末）已知OC是乙4。8的角平分線，如果NA08

=78°,那么/BOC的度數(shù)是0.

五.角的計算（共5小題）

14.（2021秋?驛城區(qū)期末）用一副三角板不能拼成的角度是（）

A.15°B.55°C.105°D.135°

15.（2021秋?溫州期末）如圖，已知乙4。8：NBOC=2：3,NAOC=75°,那么NAOB=

16.（2021秋?吉林期末）計算：42°36+35°43'=.

17.（2021秋?高新區(qū)期末）已知乙4。8=50°,NBOC=30°,貝i」NAOC=.

18.（2021秋?舞陽縣期末）（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板畫出？

在①135°,②120°,③75°,④25°中，小明同學(xué)利用一副三角板畫不出來的特殊角

是;（填序號）

（2）在探究過程中，愛動腦筋的小明想起了圖形的運動方式有多種.如圖①，他先用三角板

畫出了直線EF,然后將一副三角板拼接在一起，其中45°角（/A08）的頂點與60°角（N

COD）的頂點互相重合，且邊04、OC都在直線EF上.固定三角板C。。不動，將三角板A08

繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度a,當(dāng)邊。8與射線。F第一次重合時停止.①當(dāng)OB平分N

E。。時，求旋轉(zhuǎn)角度a；

②是否存在/8OC=2/A。。？若存在，求旋轉(zhuǎn)角度a；若不存在，請說明理由.

①②六.余角和補角（共4小題）

19.（2021秋?武漢期末）若NA,NB互為補角，且NA<N8,則NA的余角是（）

A.1（Z/1+ZB）B.-A-ZBC.（ZB-NA）D.上/A

2222

20.（2021秋?天府新區(qū)期末）如圖，乙4OC和/80。都是直角，如果NOOC=38°,那么/

（2021秋?南川區(qū)期末）如圖，將一副三角板疊放在一

起，使直角頂點重合于O,則乙4OC+NDOB=.

22.（2021秋?老河口市期末）如果一個角的補角的2倍減去這個角的余角恰好等于這個角的4

倍，求這個角的度數(shù).

七.角的大小比較（共2小題）

23.（2019春?崇明區(qū)期末）已知乙4。8和/OEF,如果移動乙DEF使得頂點。與頂點E重合，邊

與邊。4疊合，邊EF在NA08內(nèi)部，那么乙4。8和NDE尸大小關(guān)系是（）

A.ZAOB>ZDEFB.NAOBC/DEFC.NAOB=/DEFD.不能確定

24.（2021秋?呼和浩特期末）比較圖中NBOC、的大?。阂驗?8和OB是公共邊，

在N8。。的內(nèi)部，所以N80CNBOD.（填“>”，"V”或“=”）

分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

一.選擇題（共3小題）

1.（2020秋?莫旗期末）已知A、B兩地的位置如圖所示，且NB4C=60°,那么下列語句正確的

是（）

北

A.4地在8地的北偏東60°方向B.A地在8地的北偏東30°方向

C.B地在A地的北偏東60°方向

D.8地在A地的北偏東30°方向

2.（2021春?閔行區(qū)期末）小杰在學(xué)習(xí)“線段與角”章節(jié)有關(guān)知識時，有如下說法：

（1）兩點之間線段最短：

（2）如果Na=53°38',那么Na余角的度數(shù)為36°22,；

（3）互補的兩個角一個是銳角一個是鈍角；

（4）一個銳角的余角比這個角的補角小90°.

你認為小杰以上說法正確的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.（2021春?浦東新區(qū)月考）如圖，己知乙408=90°,則射線08表示的方向是（）

A.南偏西55°B.北偏西35°C.南偏東55°D.北偏

東35°

二.填空題（共14小題）

4.（2021春?閔行區(qū)期末）點A位于點8的北偏東方向15°,若將點B以點A為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)90°

落在點C處，則點A在點C的方向.

5.（2021春?浦東新區(qū)期末）如圖，/AOB=85°,N8OC=45°.。。平分/AOC,則NA。。

6.（2021春?浦東新區(qū)校級期末）若Na的余角是56°36',則Na的補角

是.

7.（2021春?嘉定區(qū)期末）已知Na=26°37',那么Na的補角等于.

8.（2021春?寶山區(qū)期末）如圖，已知NAOB=63°,NBOC=23°09',那么N4OC

=.（用度、分、秒表示NAOC的大?。?/p>

39.（2021?上海）70°的余角是.10.（2021春?浦東新區(qū)月考）若

Na=53°18',則Na的補角為.

11.（2020秋?鎮(zhèn)江期末）如圖，已知NAOB=90°,射線OC在/A08內(nèi)部，平分NAOC,

OE平分/8OC,則NQOE=°.

512.（2021春?松江區(qū)期末）己知NA的余角等于36°25',那么N4

13.（2021春?金山區(qū)期末）A地與。地的大致位置關(guān)系如圖所示，那么4地在。地的方

14.（2021春?浦東新區(qū)校級期末）點A在點B的北偏東80°方向上，點C在

射線A4與正北方向夾角的角平分線上，那么點C位于點A處.

15.（2021春?奉賢區(qū)期末）已知NA=38°24',則NA的補角的大小是.

16.（2021春?普陀區(qū)期末）如圖，OP、。。分別是乙408、NBOC的平分線，如果NPOQ=

28°,那么NAOC=°.

C17.（2021春?金山區(qū)期末）已知一個角的補角的度數(shù)是113°,那么

這個角的余角的度數(shù)是

三.解答題(共6小題)

18.(2021春?寶山區(qū)校級月考)已知，如圖所示，。為直線48上一點，。。平分/80C,OE平

分NAOC,則。E與。。的位置關(guān)系是怎么樣的？請完成下列解題過程.

解：?.?。。平分/3。€1,OE平分NAOC()

NOOcl/BOC,NEOC=：()

22-----------------------

:.NDOE=NDOC+=工(+)：/AOC+/5OC=180。

----------2------------------------

()

，ZDOE=90°

1()

O319.(2021春?虹口區(qū)校級期末)N1與N2互補，N2比N1的3倍的大

20°,求Nl、N2的大小.

20.(2021春?虹口區(qū)校級期末)填空.

(1)如圖1,已知NAOB=NCOQ=90°,AAOD=1AAOC,那么乙40c的度數(shù)為

度.

(2)如圖2,己知NAOB=9()°,如果射線04、OB同時繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)(當(dāng)射線。4旋轉(zhuǎn)

360°后，兩條射線同時停止旋轉(zhuǎn))，射線。4以每秒3°的速度旋轉(zhuǎn)至OC,射線OB以每秒1°

的速度旋轉(zhuǎn)至OO.當(dāng)NCOO=60°時，求NA。。的度數(shù).

B

圖221.(2021春?奉賢區(qū)期末)已知點。為直

線4B上一點.

(1)如圖1,過點。作射線。C,使/40C：/BOC=3：2,求NAOC與NBOC的度數(shù)；

(2)如圖2,射線OC為NA03內(nèi)部任意一條射線，射線?！辏?、OE分別是NAOC、NBOC的角

平分線，寫出N￡)OE=°,此時圖中互余的角有對，互補的角有

對.(3)如圖3,在第(2)小題情況下，保持/OOE的度數(shù)不變，但改變其他條件，并使得

射線OC是N8O。的角平分線，此時NA。。與NCOE滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

春?楊浦區(qū)期末）如圖，己知N4OB=58°,ZAOC^ZAOB^,ON、0M分別平分/

AOC、ZBOC.

（1）^ZAOC=32°,則/MON=；

（2）若NAOC=〃°（0<n<90°）,ON、OM依舊分別平分NAOC、ZBOC,NMCW的大

小是否改變？;

（3）試說明（2）的結(jié)論的理由.

8A2、C2相交于點人2.

（1）如果N4=64°,那么N4的度數(shù)是多少，試說明理由并完成填空；

（2）如圖2,/AI=64°,如果N&BC、NA2cM*1勺角平分線區(qū)與、C&相交于點小，請直接

寫出乙43度數(shù)；

（3）如圖2,重復(fù)上述過程，的角平分線BA“、C4”相交于點A”得到/

設(shè)/由=?！?請用。表示NA”的度數(shù)（直接寫出答

說理如下：因為BA2、C4平分NA13C和/&CM（已知），

所以NAI8C=2N1,/A|CM=2/2（角平分線的意義）.

因為NA]CM=NAI8C+NAi，Z2=Z1+ZA2（）.

（完成說理過程）

題組B能力提升練

填空題（共7小題）

1.（2021春?浦東新區(qū)期末）若Na=48°36',則/a的余角為.

2.（202（）秋?閔行區(qū)期末）如果港口A的南偏東52°方向有一座小島8,那么從小島B觀察港口4

的方向是

3.（2020春?浦東新區(qū)期末）A、8兩城市的位置如圖所示，那么8城市在A城市的位置.

（2020春?寶山區(qū)期末）如果一個角的補角的一半比這個角的余角的2倍

小3°,那么這個角等于度.

5.（2019春?青浦區(qū)期末）在同一平面內(nèi)，已知乙408=30°,ZBOC^且OE平

分乙40C,則乙40E=度.

6.（2017秋?松江區(qū)期末）如圖，已知△ABC中，NC=9（）°,AD平分NCAB,如果C￡>=1,且

的周長比△AC。的周長大2,那么30=

（2017秋?固始縣期末）如圖，A,0,B是同一直線上的三點，0C,

OD,OE是從。點引出的三條射線，且Nl：Z2：Z3：Z4=l：2：3：4,則/5=

度.

解答題（共11小題）

8.（2021春?寶山區(qū)期末）一個角的補角比它的余角的3倍少18°,求這個角的度數(shù).

9.（2019春?浦東新區(qū)期末）已知一個角的余角的度數(shù)是這個角的補角的度數(shù)的2,求這個角的

5

度數(shù).

10.（2019春?浦東新區(qū)期末）如圖，。在直線AC上，。。是NAOB的平分線，OE在NBOC內(nèi).

(1)若。E是/80C的平分線，則有O￡>_LOE,試說明理由;

(2)若NBOE=I/EOC,ZDOE=72",求/EOC的度數(shù).

2

(2018春?黃浦區(qū)期末)如圖，O是直線MN上一點，OB、0c分

別是/AON與NAOM的平分線，且NBQW=120°

(1)NBON的度數(shù)是°,NM0C的度數(shù)是

(2)在圖中存在若干對互補的角，如/40M與NA0M問除了這對角以外，圖中互補的角還

12.(2021秋?碑林區(qū)校級期末)已知。是直線48上的一點，/C。。是直角，0E平分NBOC.

(1)如圖1,當(dāng)/AOC=40°時，求乙DOE的度數(shù)：

(2)如圖2,OF平分N8。。，求NEOF的度數(shù)；

(3)如圖3,ZAOC=36°,此時/C。。繞點。以每秒6°沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)f秒(0</<

60),請直接寫出/AOC和NOOE之間的數(shù)量關(guān)系.

淀區(qū)校級期末)己知NAOB=100°,NCOO=40°,OE,。尸分別平分NA。。，ZBOD.

(1)如圖1,當(dāng)。4,0c重合時，NEOF=度；

(2)若將NCO。從圖1的位置繞點。順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角NAOC=a,滿足0°<a<90°且a

片40°.

①如圖2,用等式表示/BOF與NCOE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②在NCOO旋轉(zhuǎn)過程中，請用等式表示NBOE與NCOF之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出答案.

BB

末)已知乙408=90°,過點。作射線。C,射線0。平分NAOC.

(1)如圖1,射線OC在NA08的外部(90°VNAOC<180°),

①若NBOC=30°,求N8O。的度數(shù).

②若NBOC-/8。。=15。，求NBOC的度數(shù).

(2)如圖2,射線OC在NAOB的內(nèi)部(0°<ZAOC<60°),若存在射線ON(0°<ZBON

<30"),使得NAON-NBON=NDON,試求出NA。。與NCON之間的等量關(guān)系.

(備用佟)115.(2020秋?渝中區(qū)校級期末)

如圖1,NAOB=40°,ZCO￡>=60°,OM.ON分別為/AO8和N8O。的角平分線.

(1)若NMON=70°,則NBOC=°；

(2)如圖2,/COO從第(1)問中的位置出發(fā)，繞點。逆時針以每秒4°的速度旋轉(zhuǎn)；當(dāng)OC

與。4重合時，NCOO立即反向繞點O順時針以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn)，直到OC與。4互為反向延

長線時停止運動.整個運動過程中，NCOO的大小不變，OC旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)射線記為OC',

。。旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)射線記為。。'，ZBOD'的角平分線記為ON',ZAOD'的角平分線記為

OP.設(shè)運動時間為f秒.

①當(dāng)OC'平分/BON'時，求出對應(yīng)的f的值；

②請問在整個運動過程中，是否存在某個時間段使得INBOP-NMON'I的值不變？若存在，

請直接寫出這個定值及其對應(yīng)的r的取值范圍(包含運動的起止時間)：若不存在，請說明理

由.

N

cND'

-J°16.(2020秋?紅谷灘區(qū)校級期

末)探究題：如圖①，已知線段AB=14E,點C為AB上的一個動點，點￡)、E分別是AC和8c

ADCEB

①

的中點.

(1)若點C恰好是AB中點，則。E=cm；

(2)若AC=4cvn,求。E的長;

(3)試?yán)谩白帜复鏀?shù)”的方法，設(shè)4C=ac，〃請說明不論。取何值(。不超過14c〃?)，DE

的長不變；

(4)知識遷移：如圖②，己知NAOB=120°,過角的內(nèi)部任一點C畫射線OC,若O。、OE分

別平分NAOC和NBOC,試說明/￡>OE=60°與射線OC的位置無關(guān).

17.(2020秋?敘州區(qū)期末)點。為直線48上一點，過點。作射線。C,使/BOC=65°,將一直

角三角板的直角頂點放在點。處.

(1)如圖①，將三角板MON的一邊ON與射線。8重合時，則；

(2)如圖②，將三角板MON繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，此時0C是/的角平分線，求

旋轉(zhuǎn)角N80N和NCON的度數(shù)：

(3)將三角板MON繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)至圖③時，ZNOC=—ZAOM,求NNO8的度數(shù).

(2019秋?河?xùn)|區(qū)期

末)如圖(a),將兩塊直角三角尺的直角頂點C疊放在一起.

(1)若NDCE=35°,NACB=；若N4CB=140°,則/OCE=；

(2)猜想N4C8與/OCE的大小有何特殊關(guān)系，并說明理由：

(3)如圖(b),若是兩個同樣的三角尺60°銳角的頂點4重合在一起，則4DAB與NCAE的大

小有何關(guān)系，請說明理由；(4)已知乙4O8=a,ZCOD=p(a,0都是銳角)，如圖(c),

若把它們的頂點。重合在一起，請直接寫出NAOO與N8OC的大小關(guān)

第12講角（核心考點講與練）

聚焦考點

角的概念

（1）角的定義：有公共端點是兩條射線組成的圖形叫做角，其中這個公共端點是角的頂點，這

兩條射線是角的兩條邊.

（2）角的表示方法：角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示.其中頂點字母

要寫在中間，唯有在頂點處只有一個角的情況，才可用頂點處的一個字母來記這個角，否則分不

清這個字母究竟表示哪個角.角還可以用一個希臘字母（如Na,Zp,ZY>-）表示，或用阿

拉伯?dāng)?shù)字（ZbZ2-）表示.

（3）平角、周角：角也可以看作是由一條射線繞它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，當(dāng)始邊與終邊成

一條直線時形成平角，當(dāng)始邊與終邊旋轉(zhuǎn)重合時，形成周角.

（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量單位.1度=60分，即1°=60',1分=60秒，即

1'=60".

方向角

方向角是從正北或正南方向到目標(biāo)方向所形成的小于90°的角

（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向為基準(zhǔn)，來描述物體所處的方向.

（2）用方向角描述方向時，通常以正北或正南方向為角的始邊，以對象所處的射線為終邊，故

描述方向角時，一般先敘述北或南，再敘述偏東或偏西.（注意幾個方向的角平分線按日常習(xí)

慣，即東北，東南，西北，西南.）

（3）畫方向角

以正南或正北方向作方向角的始邊，另一邊則表示對象所處的方向的射線.

三.度分秒的換算

（1）度、分、秒是常用的角的度量單位.1度=60分，即1°=60',1分=60秒，即1'=

60”.

（2）具體換算可類比時鐘上的時、分、秒來說明角的度量單位度、分、秒之間也是60進制，將

高級單位化為低級單位時，乘以60,反之，將低級單位轉(zhuǎn)化為高級單位時除以60.同時，在進行

度、分、秒的運算時也應(yīng)注意借位和進位的方法.

四.角平分線的定義

（1）角平分線的定義

從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線.

（2）性質(zhì)：若OC是NAOB的平分線貝1」/4（^:=/8。。=//408或/4。8=2/4。。=2/

BOC.

A

C

s（3）平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規(guī)作圖法等，要注意積

累，多動手實踐.

五.角的計算

（1）角的和差倍分°A

①NAOB是NAOC和NBOC的和，記作：ZAOB=ZAOC+ZBOC.N4OC是N4OB和NBOC的

差，記作：ZAOC=ZAOB-ZBOC.②若射線。C是N40B的三等分線，則NAOB=3/8OC或

ZBOC=—ZAOB.

3

（2）度、分、秒的加減運算.在進行度分秒的加減時，要將度與度，分與分，秒與秒相加減，

分秒相加，逢60要進位，相減時，要借1化60.

（3）度、分、秒的乘除運算.①乘法：度、分、秒分別相乘，結(jié)果逢60要進位.②除法：度、

分、秒分別去除，把每一次的余數(shù)化作下一級單位進一步去除.

六.余角和補角

（1）余角：如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角.即其中一個角是另一

個角的余角.

（2）補角：如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補角.即其中一個角是另一

個角的補角.

（3）性質(zhì)：等角的補角相等.等角的余角相等.

（4）余角和補角計算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián).

注意：余角（補角）與這兩個角的位置沒有關(guān)系.不論這兩個角在哪兒，只要度數(shù)之和滿足了定

義，則它們就具備相應(yīng)的關(guān)系.

七.角的大小比較

（1）比較角的大小有兩種方法：

①測量法，即用量角器量角的度數(shù)，角的度數(shù)越大，角越大.

②疊合法，即將兩個角疊合在一起比較，使兩個角的頂點及一邊重合，觀察另一邊的位置.

（2）表示法:

?ZAOB>ZA'O'B',

②NAOB=NA'O'B'，?ZAOB<ZA'O'B'.

1.（2019春?浦東新區(qū)期末）如圖，ZAOB=20°,NAOC=90°,點8、。、。在同一直線上,

則NCOO的度數(shù)為（）

A.100°B.105°C.110°D.115

【分析】先求出NBOC,再由鄰補角關(guān)系求出NCO。的度數(shù).

【解答】解：：乙4。8=20°,N4OC=90°,

，N8OC=90°-20°=70°,

...NCOQ=180°-70°=110°.

故選：C.

【點評】本題考查了鄰補角的定義和角的計算；弄清各個角之間的關(guān)系是關(guān)鍵.

2.（2018春?浦東新區(qū)期末）如圖是用量角器測量角度的結(jié)果，如果NAOB=NCO。，那么/

的度數(shù)是80°.

D【分析】依據(jù)NAOC=55°,NBOC=30°,可得NAOB=

25°,再根據(jù)N4OB=NCOO,可得NCOO=25°,進而得出乙4。。的度數(shù).

【解答】解：由圖可得，乙4OC=55°,NBOC=30°,

.?.NAO8=25°,

又,：4A0B=NC0D,

：.ZCOD=25°,

AZAO￡>=550+25°=80°,

故答案為：80°.

【點評】此題主要考查了角的計算，關(guān)鍵是理清角之間的和差關(guān)系.二.方向角（共3小題）

3.（2021春?浦東新區(qū)期末）甲、乙兩座城市，乙城市位于甲城市南偏西25°的方向上，則甲城

市位于乙城市（）

A.北偏西25°的方向上B.北偏東25°的方向上

C.北偏西65°的方向上D.北偏東65°的方向上

【分析】根據(jù)方向角的定義即可得到結(jié)論.

【解答】解：.??乙城市位于甲城市南偏西25°的方向上，

，甲城市位于乙城市北偏東25°的方向上，

故選:B.

【點評】本題考查了方向角的定義，理解定義是解題的關(guān)鍵.

4.（2021春?普陀區(qū)期末）如圖，射線。4所表示的方向是（）

西60°

【分析】用方向角描述方向時，通常以正北或正南方向為角的始邊，以對象所處的射線為終

邊，根據(jù)方位角的概念，寫出射線OA表示的方向即可.

【解答】解：90°-30°=60°，

根據(jù)方位角的概念，射線。4表示的方向是南偏西60度.

故選：￡）.

【點評】本題主要考查了方向角.解題的關(guān)鍵是弄清楚描述方向角時，一般先敘述北或南，

再敘述偏東或偏西.

5.（2021春?閔行區(qū)期末）點A位于點8的北偏東方向15°,若將點8以點A為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)90°

落在點C處，則點A在點C的北偏西75或南偏東75°方向.

【分析】分兩種情況：根據(jù)方向角的定義解答即可.

【解答】解：①若將點8以點A為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)90°落在點C處，則點A在點C的南偏東

90°-15°=75°方向上，

②若將點B以點A為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)90°落在點C處，則點A在點C的北偏西90°-15°=

75°方向上，

綜上所述，點A在點C的北偏西75或南偏東75°方向，

故答案為：北偏西75或南偏東75°?【點評】本題考查了方向角，分類討論思想的運用是解

題的關(guān)鍵.

三.度分秒的換算（共5小題）

6.（2020秋?婺城區(qū)校級期末）計算：48°59'+67°31'-21°12'=95°18'.

【分析】根據(jù)度分秒加減法計算法則進行解答.

【解答】解：48°59'+67°31'-21°12'=116°30'-21°12'=95°18'.

故答案為:95°18'

【點評】本題主要考查了度、分、秒的四則混合運算，是角度計算中的一個難點，注意以60

為進制即可，難度適中.

7.（2020春?浦東新區(qū)期末）己知乙4=30°45',NB=30.45°,則乙4>NB.（填

“>”、或“=”）

【分析】先統(tǒng)一單位，再比較大小即可求解.

【解答】解：VZA=3（）°45'=30.75°,ZB=30.45°,

30.75°>30.45°,

，ZA>ZB.

故答案為：>.

【點評】考查了度分秒的換算以及大小比較，注意1°=60'.

8.（2018秋?蕪湖期末）用度、分、秒表示24.29°=24°17'24".

【分析】進行度、分、秒的轉(zhuǎn)化運算，注意以60為進制.

【解答】解：根據(jù)角的換算可得24.29°=24°+0.29X60',

=24°+17.4',

=24°+17,+0.4X60",

=24°17'24M.

故答案為:24°17'24".

【點評】此類題是進行度、分、秒的轉(zhuǎn)化運算，相對比較簡單，注意以60為進制.

9.（2018春?普陀區(qū)期末）計算：22°34'36”+34°7'44"-56°42120".

【分析】1度=60分，即1°=60',1分=60秒，即1'=60".

【解答】解：22°3436"+34°744"=56°42'20".

故答案是:56°42'20".

【點評】考查了度分秒的換算.將高級單位化為低級單位時，乘以60,反之，將低級單位轉(zhuǎn)

化為高級單位時除以60.同時，在進行度、分、秒的運算時也應(yīng)注意借位和進位的方法.

10.（2017春?浦東新區(qū)期末）已知乙4=37°24',NA+NB=70°,那么NB=32°

36'.

【分析】根據(jù)角的和差，可得答案.

【解答】解：ZB=70°-ZA=70°-37°24'=32°36',故答案為：32°36'.

【點評】本題考查了度分秒的換算，利用角的和差是解題關(guān)鍵.

四.角平分線的定義（共3小題）

11.（2021春?浦東新區(qū)校級期末）點A在點8的北偏東80°方向上，點C在射線8A與正北方向夾

角的角平分線上，那么點C位于點A北偏東40。處.

【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，可得/OBF=80°,DB//EA,由平行線的性質(zhì)可得NEAF=

Z￡>BF=80°,結(jié)合角平分線的定義可求解/E4C=40°,進而可求解答案.

【解答】解：如圖，ZDBF=80°,DB//EA,

；.NEAF=NOBF=8()°,

平分/EAF,

AZE4C=40",

.?.點C位于點A北偏東40。，

故答案為北偏東40°.

【點評】本題主要考查方向角,角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形是解題

的關(guān)鍵.

12.（2021春?普陀區(qū)期末）如圖,OP、OQ分另!J是NAOB、NBOC的平分線，如果NPOQ=

28°,那么N4OC=56”.

【分析】根據(jù)角平分線的概念以及角的和的關(guān)系，找到乙4”和N

尸。。之間的關(guān)系.

【解答】解：因為。尸是/A08的平分線,

所以尸因為OQ是ZBOC的平分線,

所以N8OC=2N8OQ,

所以NAOC=2NPOQ,

因為/尸。。=28°,

所以/AOC=28°X2=56°.

故答案為：56.

【點評】本題考查了角平分線定義的運用，解題的關(guān)鍵是能夠用幾何式子根據(jù)角平分線的概

念表示角之間的倍分關(guān)系.

13.（2019春?松江區(qū)期末）已知。C是乙4OB的角平分線，如果乙408=78°,那么ZBOC的度

數(shù)是39°.

【分析】根據(jù)角平分線定義得出代入求出即可.

【解答】解：：OC是4。8的角平分線，

AZBOC=-^-ZAOB=—X780=39°.

22

故答案為：39.

【點評】本題考查了對角平分線定義的應(yīng)用，注意：如果。C是NAOB的角平分線，則NAOC

=ZB0C=—ZA0B.

2

五.角的計算（共5小題）

14.（2021秋?驛城區(qū)期末）用一副三角板不能拼成的角度是（）

A.15°B.55°C.105°D.135°

【分析】用三角板畫角，無非是用角度加減法.根據(jù)選項一一分析，排除錯誤答案即可.

【解答】解：選項A、45°-30°=15°,能畫出15°的角，此選項不符合題意；

選項8、55°的角不能用30°、45°、60°、90°的角來畫，此選項符合題意；

選項C、45°+60°=105°,能畫出105°的角,此選項不符合題意；

選項￡＞、90°+45°=135°,能畫出135°的角，此選項不符合題意；

故選：B.

【點評】本題考查了角之間的和差關(guān)系，解題關(guān)鍵是熟知三角板各個角的度數(shù)，根據(jù)和差關(guān)

系正確畫出所求的角.

15.（2021秋?溫州期末）如圖，己知NHOB：ZBOC=2：3,N40c=75°,那么NAOB=

k_

()0c

A.20°B.30°C.35°D.45°

可得乙4。8=34。。進而求出答案，做出選擇.

【分析】由NAOB：NBOC=2：3,

5

【解答】解：???NAOB：NBOC=2：3,NAOC=75°,

29

AZAOB=-^—ZAOC=—X75°=30°,

2+35

故選:B.

【點評】本題考查角的有關(guān)計算，按比例分配轉(zhuǎn)化為是解答的關(guān)鍵.

5

16.（2021秋?吉林期末）計算：42°36+35°43'=78°19'.

【分析】根據(jù)角的度數(shù)計算方法，將相同單位的數(shù)字相加，然后再進行化簡即可.

【解答】解：42°36'+35°43'=77°79'=78°19'.

【點評】本題考查了度、分、秒的換算，熟練掌握角的單位進率是解答本題的關(guān)鍵.

17.（2021秋?高新區(qū)期末）已知08=50°,ZBOC=30°,則NAOC=20°或80°.

【分析】本題是角的計算的多解問題，求解時要注意分情況討論，可以根據(jù)OC與NAOB的位

置關(guān)系分為。C在/A08的內(nèi)部和外部兩種情況求解.

【解答】解：當(dāng)0c在NAOB內(nèi)部，

因為NAOB=50°,N8OC=30°,

所以NAOC為20°；

當(dāng)。。在乙4。8外部，

因為NAO8=50°,/8OC=30°,

所以乙40c為80°；

故NAOC為20°或80°.

【點評】本題只是說出了兩個角的度數(shù)，而沒有指出0c與NAQB的位置關(guān)系，因此本題解題

的關(guān)鍵是根據(jù)題意準(zhǔn)確畫出圖形.

18.（2021秋?舞陽縣期末）（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板畫出？

在①135°,②120°,③75°,④25°中，小明同學(xué)利用一副三角板畫不出來的特殊角是_

④；（填序號）

（2）在探究過程中，愛動腦筋的小明想起了圖形的運動方式有多種.如圖①，他先用三角板

畫出了直線EF,然后將一副三角板拼接在一起，其中45°角（NAOB）的頂點與60°角（N

COD）的頂點互相重合，且邊。4、OC都在直線E尸上.固定三角板COO不動，將三角板4。8

繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度a,當(dāng)邊OB與射線OF第一次重合時停止.

①當(dāng)08平分ZE。。時，求旋轉(zhuǎn)角度a；

②是否存在/BOC=2/A。。？若存在，求旋轉(zhuǎn)角度a；若不存在，請說明理由.

①②【分析】（1）根據(jù)一副三角板中的特殊

角，運用角的和與差的計算，只要是15°的倍數(shù)的角都可以畫出來；

（2）①根據(jù)已知條件得到NEOD=180°-ZCO￡>=180°-60°=120°,根據(jù)角平分線的

定義得到/EO8=1/EOO=1X120°=60°,于是得到結(jié)論；

22

②當(dāng)OA在0。的左側(cè)時，當(dāng)OA在。。的右側(cè)時，列方程即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)V135°=90°+45°,120°=90°+30°,75°=30°+45°,

...只有25°不能寫成90°、60°、45°、30°的和或差，故畫不出：

故選④；

(2)①???NCOD=60°,

：.ZEOD=ISOQ-ZCOD=180°-60°=120°,

OB平分/EOD,

：.ZEOB=—ZEOD=—X120°=60°,

22

；408=45°,

：.a=ZEOB-ZAOB=6Q°-45°=15°；

②當(dāng)。4在0。的左側(cè)時，如圖②，

則N4O￡>=120°-a,ZBOC=\35a-a,

"：ZBOC=2ZAOD,

：.135°-a=2(120°-a),

.,.a=105°：

當(dāng)04在。。的右側(cè)時如圖③，則/4O￡)=a-120°,ZBOC=\35°-a,

,/ZBOC=2ZAOD,

A135--a=2(a-120),

，a=125°,

綜上所述,當(dāng)a=105°或125°時，存在NBOC=2NAOC.

【點評】本題考查了解得計算,特殊角,角平分線的定義，正確的理

解題意是解題的關(guān)鍵.

六.余角和補角（共4小題）

19.（2021秋?武漢期末）若N4,N8互為補角，且NAVNB,則N4的余角是（）

A.—(ZA+Zfi)B.—ZBC.—(Zfi-ZA)D.—ZA

2222

【分析】根據(jù)互為補角的和得到乙4,的關(guān)系式，再根據(jù)互為余角的和等于90°表示出/

A的余角，然后把常數(shù)消掉整理即可得解.

【解答】解：根據(jù)題意得，NA+NB=180°,

的余角為：90°-/4=儂--ZA,

2

—(NA+NB)■/A,

2

=—(ZB-ZA).

2

故選：C.

【點評】本題主要考查了互為補角的和等于180°,互為余角的和等于90°的性質(zhì)，利用消掉

常數(shù)整理是解題的關(guān)鍵.

20.(2021秋?天府新區(qū)期末)如圖，/AOC和都是直角，如果NOOC=38°,那么N

【分析】從圖形中可看出NAOC和相加，再減去N

OOC即為所求.

【解答】解："：ZAOC=ZDOB=90°,/OOC=38°,

：.ZAOB=ZAOC+ZDOB-ZDOC=90Q+900-38°=142°.故答案為：142.

【點評】此題主要考查學(xué)生對角的計算的理解和掌握，此題的解法不唯一，只要合理即可.

21.(2021秋?南川區(qū)期末)如圖，將一副三角板疊放在一起，使直角頂點重合于O,則/AOC+

ZDOB=180