數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破8講之07 不等式恒成立問題（十大題型）（原卷版）

重難點(diǎn)突破07不等式恒成立問題目錄1、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題的求解策略：（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．2、利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），．3、不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，，，．（1）若，，有成立，則；（2）若，，有成立，則；（3）若，，有成立，則；（4）若，，有成立，則的值域是的值域的子集．4、法則1若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；（2）在點(diǎn)的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；（3），那么=．法則2若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；（2），和在與上可導(dǎo)，且；（3），那么=．法則3若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；（2）在點(diǎn)的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；（3），那么=．注意：利用洛必達(dá)法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點(diǎn)之一，在解題中應(yīng)注意：（1）將上面公式中的，，，洛必達(dá)法則也成立．（2）洛必達(dá)法則可處理，，，，，，型．（3）在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，，，，，，型定式，否則濫用洛必達(dá)法則會出錯．當(dāng)不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達(dá)法則，這時稱洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限．（4）若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止．，如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則．題型一：直接法例1．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).(1)已知函數(shù)在處的切線與圓相切，求實(shí)數(shù)的值.(2)已知時，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例2．（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中．(1)討論方程實(shí)數(shù)解的個數(shù)；(2)當(dāng)時，不等式恒成立，求的取值范圍．例3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)若，求的取值范圍．變式1．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知函數(shù)，．(1)若曲線在處的切線與曲線相交于不同的兩點(diǎn)，，曲線在A，B點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，求的值；(2)當(dāng)曲線在處的切線與曲線相切時，若，恒成立，求a的取值范圍．題型二：端點(diǎn)恒成立例4．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)函數(shù)．(1)求在處的切線方程；(2)若任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例5．（2023·北京海淀·中央民族大學(xué)附屬中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)在處取得極值，求實(shí)數(shù)的值；(3)若不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例6．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)與分別是與的導(dǎo)函數(shù).(1)證明:當(dāng)時,方程在上有且僅有一個實(shí)數(shù)根;(2)若對任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.變式2．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)記，對任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.變式3．（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)．(1)討論在上的單調(diào)性；(2)若對于任意，若函數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．變式4．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)．(1)若單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(2)若，，求a的取值范圍．題型三：端點(diǎn)不成立例7．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時，不等式恒成立，求a的取值范圍．例8．（2023·江蘇南京·高二南京市中華中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例9．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對于任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．變式5．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．(1)若，求函數(shù)的最小值及取得最小值時的值；(2)若函數(shù)對恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．變式6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．題型四：分離參數(shù)之全分離，半分離，換元分離例10．（2023·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若的極大值為3，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例11．（2023·湖北荊門·荊門市龍泉中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)函數(shù)，且．(1)求函數(shù)的單調(diào)性；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．例12．（2023·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.變式7．（2023·福建三明·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，.(1)求證：在上單調(diào)遞增；(2)當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍.變式8．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．(1)討論的極值；(2)當(dāng)時，，求k的取值范圍．變式9．（2023·四川遂寧·射洪中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，.(1)求的極值；(2)若，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.變式10．（2023·河北滄州·校考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值點(diǎn)個數(shù)；(2)若不等式在上恒成立，求可取的最大整數(shù)值.變式11．（2023·河南開封·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．題型五：洛必達(dá)法則例13．已知函數(shù)在處取得極值，且曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例14．設(shè)函數(shù).當(dāng)時，，求的取值范圍.例15．設(shè)函數(shù)．如果對任何，都有，求的取值范圍．題型六：同構(gòu)法例16．（2023·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，判斷的零點(diǎn)個數(shù)；(2)當(dāng)時，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例17．（2023·湖南常德·常德市一中?？家荒＃┮阎瘮?shù)，.(1)若在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線互相平行，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若對，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.例18．（2023·河南鄭州·高二鄭州市第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知e是自然對數(shù)的底數(shù)．若，成立，則實(shí)數(shù)m的最小值是________．變式12．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考三模）已知，（），若在上恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（

）A． B． C． D．變式13．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中.(1)討論函數(shù)極值點(diǎn)的個數(shù)；(2)對任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.變式14．（2023·海南·?？寄M預(yù)測）已知，函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.變式15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，求a的取值范圍．變式16．（2023·廣東佛山·校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中，.(1)當(dāng)時，求函數(shù)的零點(diǎn)；(2)若函數(shù)恒成立，求的取值范圍.變式17．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.題型七：必要性探路例19．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)(1)討論f(x)的單調(diào)性：(2)當(dāng)時，若，，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．例20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在上有且僅有2個零點(diǎn)，求a的取值范圍；(2)若恒成立，求a的取值范圍．例21．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)）在處的切線斜率為.(1)求a的值；(2)若，，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.變式18．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)若，求的值．變式19．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若，，求證：有且僅有一個零點(diǎn)；(2)若對任意，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．題型八：max，min函數(shù)問題例22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，其中.(1)證明：當(dāng)時，；當(dāng)時，；(2)用表示中的最大值，記.是否存在實(shí)數(shù)a，對任意的，恒成立.若存在，求出，若不存在，請說明理由.例23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，其中.（1）證明：當(dāng)時，；當(dāng)時，；（2）用表示m，n中的最大值，記.是否存在實(shí)數(shù)a，對任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，請說明理由.例24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，其中.（1）證明：當(dāng)時，；當(dāng)時，；（2）用表示m，n中的最大值，記.是否存在實(shí)數(shù)a，對任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，請說明理由.變式20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.（1）證明恒成立；（2）用表示m，n中的最大值.已知函數(shù)，記函數(shù)，若函數(shù)在上恰有2個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.變式21．（2023·寧夏銀川·高三銀川一中?？茧A段練習(xí)）已知是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)，直線為曲線的切線，.(1)求的值；(2)①判斷的零點(diǎn)個數(shù)；②定義函數(shù)在上單調(diào)遞增.求實(shí)數(shù)的取值范圍.變式22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù).（1）若，證明：在上存在唯一零點(diǎn)；（2）設(shè)函數(shù)，（表示中的較小值），若，求的取值范圍.題型九：構(gòu)造函數(shù)技巧例25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且關(guān)于的不等式在上恒成立，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例26．（2023·江蘇·統(tǒng)考高考真題）已知關(guān)于x的函數(shù)與在區(qū)間D上恒有．（1）若，求h(x)的表達(dá)式；（2）若，求k的取值范圍；（3）若求證：．例27．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.變式23．（2023·江蘇南京·高二南京市江寧高級中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若恒成立，求的取值范圍.變式24．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)判斷的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)；(2)若，求a的取值范圍．變式25．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)若函數(shù)的最大值為0，求a的值；(2)若對于任意正數(shù)x，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．變式26．（2023·重慶萬州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論的極值；(2)當(dāng)時，關(guān)于x的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．變式27．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值點(diǎn)的個數(shù)；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.變式28．（2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)與的圖象有公切線.(1)求實(shí)數(shù)和的值；(2)若，且，求實(shí)數(shù)的最大值.題型十：雙變量最值問題例28．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，對于，恒成立，則的最小值為（

）A． B．－1 C． D．－2例29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，其中．（1）當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象相切，求的值；（2）當(dāng)時，若對任意，都有恒成立，求的最小值．例30．（2023·河南南陽·高三南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，其中(1)若，且的圖象與的圖象相切，求的值；(2)若對任意的恒成立，求的最大值.變式29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中.(為自然對數(shù)的底數(shù))（1）求在點(diǎn)處的切線方程；（2）若時，在上恒成立.當(dāng)取得最大值時，求的最小值.變式30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=aex﹣x，（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間，（2）若關(guān)于x不等式aex≥x+b對任意和正數(shù)b恒成立，求的最小值.變式31．（2023·江蘇常州·高二常州高級中學(xué)?？计谥校┙o定實(shí)數(shù)，函數(shù)，（其中，．(1)求經(jīng)過點(diǎn)的曲線的切線的條數(shù)；(2)若對，有恒成立，求的最小值．變式32．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈九中校考開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)，.(1)若，討論的單調(diào)性；(2)若（其中）恒成立，求的最小值，并求出的最大值.變式33．（2023·高二單元測試）若對于任意正實(shí)數(shù)，都有(為自然對數(shù)的底數(shù))成立，則的最小值是________.變式34．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最小值是___________.整套《重難點(diǎn)突破8講》原卷版及解析版見：重難點(diǎn)突破8講之0