平面幾何中的向量方法教案

2.5.1教學(xué)目的：1.通過平行四邊形這個幾何模型,歸納總結(jié)出用向量方法解決平面幾何的問題的”三步曲”；2.明確平面幾何圖形中的有關(guān)性質(zhì),如平移、全等、相似、長度、夾角等可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示.；3.讓學(xué)生深刻理解向量在處理平面幾何問題中的優(yōu)越性.教學(xué)重點：用向量方法解決實際問題的基本方法：向量法解決幾何問題的“三步曲”.教學(xué)難點：如何將幾何等實際問題化歸為向量問題.教學(xué)方法：討論式．教具準(zhǔn)備：多媒體投影．教學(xué)過程：（Ⅰ）新課引入：師：由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何意義，所以平面幾何圖形的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長度、夾角等都可以用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來，因此可以用向量方法解決平面幾何中的一些問題．本節(jié)課，我們就通過幾個具體實例，來說明向量方法在平面幾何中的運(yùn)用．（Ⅱ）講授新課：例1證明：平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和．已知：平行四邊形ABCD．求證：．分析：用向量方法解決涉及長度、夾角的問題時，我們常常要考慮向量的數(shù)量積．注意到，，我們計算和．證明：不妨設(shè)a，b，則a+b，a-b，|a|2，|b|2．∴(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2．①同理|a|2-2a·b+|b|2．②①+②得2(|a|2+|b|2)=2()．所以，平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和．師：你能用幾何方法解決這個問題嗎？生：（探索、研究得出本例的幾何證法如右圖）略．師：由于向量能夠運(yùn)算，因此它在解決某些幾何問題時具有優(yōu)越性，他把一個思辨過程變成了一個算法過程，可以按照一定的程序進(jìn)行運(yùn)算操作，從而降低了思考問題的難度.用向量方法解決平面幾何問題，主要是下面三個步驟，⑴建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；⑵通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；⑶把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．例2，如圖，平行四邊形ABCD中，點E、F分別是AD、DC邊的中點，BE、BF分別與AC交于R、T兩點，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？分析：由于R、T是對角線AC上兩點，所以要判斷AR、RT、TC之間的關(guān)系，只需要分別判斷AR、RT、TC與AC之間的關(guān)系即可．解：設(shè)a，b，則a+b．∵與共線∴存在實數(shù)m，使得=m(a+b)．又∵與共線∴存在實數(shù)n，使得=n=n(b-a)．由=n，得m(a+b)=a+n(b-a)．整理得a＋b＝0．由于向量a、b不共線，所以有，解得．所以．同理．于是．所以AR＝RT＝TC．說明：本例通過向量之間的關(guān)系闡述了平面幾何中的方法，待定系數(shù)發(fā)誓用向量方法證明平面幾何問題的常用方法．(Ⅲ)練習(xí)題練習(xí)1.已知AC為⊙O的一條直徑，∠ABC為圓周角.求證：∠ABC＝90o.證明：設(shè)練習(xí)2平行四邊形ABCD中,E為AB的中點,用向量方法,求EF:FD的值(可選為基底)。ADADBCEF解:設(shè) 又因為A、F、C共線，可設(shè) 由向量相等知識得所以EF：FD=1：2.（Ⅳ）課時小結(jié):幾何中的向量方法完全與幾何中的代數(shù)方法一致，不同的只是用“向量和向量運(yùn)算”來替代“數(shù)和數(shù)的運(yùn)算”.這就是把點、線等幾何要素直接歸結(jié)為向量，對這些向量借助于它們之間的運(yùn)算進(jìn)行討論，然后把這些計算結(jié)果翻譯成關(guān)于點、線的相應(yīng)結(jié)果．如果把代數(shù)方法簡單地表述為［形到數(shù)］——［數(shù)的運(yùn)算］——［數(shù)到形］，則向量方法可以簡單的表述為［形到向量］——［向量的運(yùn)算］